(广西专用)2019中考数学一轮新优化复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第21讲 解直角三角形及其应
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a 正切：tanA＝∠∠AA的的对邻边边＝②___b_____.
第2页
角的度数
• 2．特殊 三角函数值
30° 45° 60°
角的三角 函数
sinα
1
2
3
2
2
2
cosα
3
2
1
2
2
2
tanα
3 3
1
3
第3页
知识点二 解直角三角形的实际应用 1．解直角三角形的有关概念 (1)定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求未知元素的过程就是解直 角三角形． (2)依据：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c， 则①边角关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab；②三边之间的关系：a2＋b2＝c2；③三 角之间的关系：∠A＋∠B＝∠C.
先 利 用 平 行 线 的 性 质 得 ∠ MCA ＝ ∠ CAD ＝ 15° ， 再 利 用 平 角 的 定 义 计 算 出 ∠ACB＝105°，然后根据三角形内角和计算∠ABC的度数．
【解答】由题意可知∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝30°＋15°＝45°， ∠MCA＝∠CAD＝15°， ∴∠ACB＝180°－∠MCA－∠BCN＝180°－15°－60°＝105°， 在△ABC 中，∠ABC＝180°－∠BCA－∠BAC＝180°－105°－45°＝30°.
第 15 页
• 类型2 方位角问题 • 例2(2018·钦州二模)王亮同学要测量广场内被
湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，它在A 处测得B在A的北偏西30°方向，他从A处出发 向北偏东15°方向走了200米到达C处，这时 测得大树B在C的北偏西60°的方向．
第 16 页
☞ 思路点拨
• (1)求∠ABC的度数；
第5页
• 2．解直角三角形的常见类型和解法 A)
∠B＝90°－∠A，c＝sinaA，b ＝taanA(或 b＝ c2－a2)
已知斜边和一个锐角(c，∠A)
∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b ＝c·cosA(或 b＝ c2－a2)
第6页
已知条件 已知两条直角边(a，b) 已知斜边和一条直角边(c，a)
第 17 页
(2)求两棵大树 A 和 B 之间的距离．(结果精确到 1 米)(参考数据： 2≈1.414， 3 ≈1.732, 6≈2.449)
☞ 思路点拨
• 过点C作CH⊥AB于点H，如答图，在Rt△ACH中，利用锐角三 角函数求得AH的长；在Rt△BCH中，利用锐角三角函数求得 BH的长，最后由AB＝AH＋BH即可求得答案．
第9页
• 4．解直角三角形实 际应用的常见模型 及辅助线的作法
• (1)母子型及其变式：
第 10 页
• (2)背靠背型及其变式：
第 11 页
• (3)其他图形：
第 12 页
重难点 ·突破
重难点 解直角三角形的实际应用 难点
类型 1 仰俯角问题 例 1(2018·昆明)小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中 国—南亚博览会”的竖直标语牌 CD.她在 A 点测得标语牌顶端 D 处 的仰角为 42°，测得隧道底端 B 处的俯角为 30°(B，C，D 在同一条 直线上)，AB＝10 m，隧道高 6.5 m(即 BC＝6.5m)，求标语牌 CD 的 长．(结果保留小数点后一位)(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74， tan42°≈0.90， 3≈1.73)
第 20 页
☞ 思路点拨
• 在Rt△ABC，Rt△DBC中，利用锐角三角函数分别计算DB，AB， 然后计算DH的长，根据DH与3的关系，得结论．
【解答】由题意知，AH＝10 米，BC＝10 米． 在 Rt△ABC 中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10 米． 在 Rt△DBC 中，∵∠CDB＝30°，∴DB＝tan∠BCCDB＝10 3(米)． ∴DH＝AH－DA＝AH－(DB－AB)＝10－10 3＋10＝20－10 3≈2.7(米)． ∵2.7<3，∴建筑物需要拆除． 答：建筑物需要拆除．
1 (3)面积公式：S△ABC＝12ab＝①___2_c_h_______.(h 为斜边 c 上的高) (4)边角间关系：sinA＝cosB＝ac，cosA＝sinB＝bc，tanA＝ab，tanB＝ba.
第4页
• 【注意】直角三角形中的边角关系
三边关系 勾股定理：a2＋b2＝c2 三角关系 ∠A＋∠B＝∠C 边角关系 sinA＝ac＝cosB，cosA＝bc＝sinB，tanA＝ab＝ta1nB
第 13 页
☞ 思路点拨
• 解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问 题．如答图，作AE⊥BD于点E.分别求出BE，DE，可得BD的长， 再根据CD＝BD－BC计算即可．
第 14 页
【解答】如答图，作 AE⊥BD 于点 E. 在 Rt△AEB 中，∵∠EAB＝30°，AB＝10 m， ∴BE＝12AB＝5(m)，AE＝5 3(m)． 在 Rt△ADE 中，DE＝AE·tan42°≈7.79(m)， ∴BD＝DE＋BE＝12.79(m)， ∴CD＝BD－BC＝12.79－6.5≈6.3(m)． 答：标语牌 CD 的长约为 6.3 m.
第8页
概念
定义
图形
一般指以观测者的位置为中心，将正北或
正南方向作为起始方向旋转到目标方向
线所成的角(一般指锐角)，通常表示成北
方向角 (南)偏东(西)多少度，方向角的角度值在
0°～90°之间．如图，点 A，B，C 关于 O
点的方向角分别是北偏东 30°，南偏东
60°，北偏西 45°(也称西北方向)
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第21讲 解直角三角形及其应用
知识要点·归纳
知识点一 锐角三角函数 1．锐角三角函数的定义 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图所示： 正弦：sinA＝∠A斜的边对边＝ac； 余弦：cosA＝∠A斜的边邻边＝①___bc_____；
∴BH＝taCnH30°＝1003
2＝300 3
2＝100
6(米)，
3
∴AB＝AH＋BH＝100 2＋100 6≈386(米)．
答：两棵大树 A 和 B 之间的距离约为 386 米．
第 19 页
类型 3 坡度、坡角问题 例 3(2018·安顺)如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高 BC 是 10 米，坡面 AC 的倾斜角∠CAB＝45°，在距 A 点 10 米处有一建筑物 HQ.为了方便行人 推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的倾斜角∠BDC＝30°.若新坡 面下 D 处与建筑物之间需留下至少 3 米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？(计 算最后结果保留一位小数)(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
图形
解法
c＝ a2＋b2，由 tanA＝ab求∠ A，∠B＝90°－∠A
b＝ c2－a2，由 sinA＝ac求∠ A，∠B＝90°－∠A
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• 3．解直角三角形应用的有关概念
概念
定义
图形
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水
仰角、俯角 平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方
的角叫俯角
坡面的铅直高度 h 与水平宽度 l 的比叫坡 坡度(坡 度(坡比)，用字母 i 表示；坡面与水平面 比)、坡角 的夹角 α 叫坡角，i＝tanα＝hl
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【解答】过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，如答图，在 Rt△ACH 中，
∵AC＝200 米，∠CAH＝45°，
∴CH＝AC·sin∠CAH＝200×sin45°＝200× 22＝100 2米， ∴AH＝CH＝100 2 米．
在 Rt△BCH 中，∵CH＝100 2米，∠CBH＝30°，
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角的度数
• 2．特殊 三角函数值
30° 45° 60°
角的三角 函数
sinα
1
2
3
2
2
2
cosα
3
2
1
2
2
2
tanα
3 3
1
3
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知识点二 解直角三角形的实际应用 1．解直角三角形的有关概念 (1)定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求未知元素的过程就是解直 角三角形． (2)依据：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c， 则①边角关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab；②三边之间的关系：a2＋b2＝c2；③三 角之间的关系：∠A＋∠B＝∠C.
先 利 用 平 行 线 的 性 质 得 ∠ MCA ＝ ∠ CAD ＝ 15° ， 再 利 用 平 角 的 定 义 计 算 出 ∠ACB＝105°，然后根据三角形内角和计算∠ABC的度数．
【解答】由题意可知∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝30°＋15°＝45°， ∠MCA＝∠CAD＝15°， ∴∠ACB＝180°－∠MCA－∠BCN＝180°－15°－60°＝105°， 在△ABC 中，∠ABC＝180°－∠BCA－∠BAC＝180°－105°－45°＝30°.
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• 类型2 方位角问题 • 例2(2018·钦州二模)王亮同学要测量广场内被
湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，它在A 处测得B在A的北偏西30°方向，他从A处出发 向北偏东15°方向走了200米到达C处，这时 测得大树B在C的北偏西60°的方向．
第 16 页
☞ 思路点拨
• (1)求∠ABC的度数；
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• 2．解直角三角形的常见类型和解法 A)
∠B＝90°－∠A，c＝sinaA，b ＝taanA(或 b＝ c2－a2)
已知斜边和一个锐角(c，∠A)
∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b ＝c·cosA(或 b＝ c2－a2)
第6页
已知条件 已知两条直角边(a，b) 已知斜边和一条直角边(c，a)
第 17 页
(2)求两棵大树 A 和 B 之间的距离．(结果精确到 1 米)(参考数据： 2≈1.414， 3 ≈1.732, 6≈2.449)
☞ 思路点拨
• 过点C作CH⊥AB于点H，如答图，在Rt△ACH中，利用锐角三 角函数求得AH的长；在Rt△BCH中，利用锐角三角函数求得 BH的长，最后由AB＝AH＋BH即可求得答案．
第9页
• 4．解直角三角形实 际应用的常见模型 及辅助线的作法
• (1)母子型及其变式：
第 10 页
• (2)背靠背型及其变式：
第 11 页
• (3)其他图形：
第 12 页
重难点 ·突破
重难点 解直角三角形的实际应用 难点
类型 1 仰俯角问题 例 1(2018·昆明)小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中 国—南亚博览会”的竖直标语牌 CD.她在 A 点测得标语牌顶端 D 处 的仰角为 42°，测得隧道底端 B 处的俯角为 30°(B，C，D 在同一条 直线上)，AB＝10 m，隧道高 6.5 m(即 BC＝6.5m)，求标语牌 CD 的 长．(结果保留小数点后一位)(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74， tan42°≈0.90， 3≈1.73)
第 20 页
☞ 思路点拨
• 在Rt△ABC，Rt△DBC中，利用锐角三角函数分别计算DB，AB， 然后计算DH的长，根据DH与3的关系，得结论．
【解答】由题意知，AH＝10 米，BC＝10 米． 在 Rt△ABC 中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10 米． 在 Rt△DBC 中，∵∠CDB＝30°，∴DB＝tan∠BCCDB＝10 3(米)． ∴DH＝AH－DA＝AH－(DB－AB)＝10－10 3＋10＝20－10 3≈2.7(米)． ∵2.7<3，∴建筑物需要拆除． 答：建筑物需要拆除．
1 (3)面积公式：S△ABC＝12ab＝①___2_c_h_______.(h 为斜边 c 上的高) (4)边角间关系：sinA＝cosB＝ac，cosA＝sinB＝bc，tanA＝ab，tanB＝ba.
第4页
• 【注意】直角三角形中的边角关系
三边关系 勾股定理：a2＋b2＝c2 三角关系 ∠A＋∠B＝∠C 边角关系 sinA＝ac＝cosB，cosA＝bc＝sinB，tanA＝ab＝ta1nB
第 13 页
☞ 思路点拨
• 解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问 题．如答图，作AE⊥BD于点E.分别求出BE，DE，可得BD的长， 再根据CD＝BD－BC计算即可．
第 14 页
【解答】如答图，作 AE⊥BD 于点 E. 在 Rt△AEB 中，∵∠EAB＝30°，AB＝10 m， ∴BE＝12AB＝5(m)，AE＝5 3(m)． 在 Rt△ADE 中，DE＝AE·tan42°≈7.79(m)， ∴BD＝DE＋BE＝12.79(m)， ∴CD＝BD－BC＝12.79－6.5≈6.3(m)． 答：标语牌 CD 的长约为 6.3 m.
第8页
概念
定义
图形
一般指以观测者的位置为中心，将正北或
正南方向作为起始方向旋转到目标方向
线所成的角(一般指锐角)，通常表示成北
方向角 (南)偏东(西)多少度，方向角的角度值在
0°～90°之间．如图，点 A，B，C 关于 O
点的方向角分别是北偏东 30°，南偏东
60°，北偏西 45°(也称西北方向)
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第21讲 解直角三角形及其应用
知识要点·归纳
知识点一 锐角三角函数 1．锐角三角函数的定义 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图所示： 正弦：sinA＝∠A斜的边对边＝ac； 余弦：cosA＝∠A斜的边邻边＝①___bc_____；
∴BH＝taCnH30°＝1003
2＝300 3
2＝100
6(米)，
3
∴AB＝AH＋BH＝100 2＋100 6≈386(米)．
答：两棵大树 A 和 B 之间的距离约为 386 米．
第 19 页
类型 3 坡度、坡角问题 例 3(2018·安顺)如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高 BC 是 10 米，坡面 AC 的倾斜角∠CAB＝45°，在距 A 点 10 米处有一建筑物 HQ.为了方便行人 推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的倾斜角∠BDC＝30°.若新坡 面下 D 处与建筑物之间需留下至少 3 米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？(计 算最后结果保留一位小数)(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
图形
解法
c＝ a2＋b2，由 tanA＝ab求∠ A，∠B＝90°－∠A
b＝ c2－a2，由 sinA＝ac求∠ A，∠B＝90°－∠A
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• 3．解直角三角形应用的有关概念
概念
定义
图形
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水
仰角、俯角 平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方
的角叫俯角
坡面的铅直高度 h 与水平宽度 l 的比叫坡 坡度(坡 度(坡比)，用字母 i 表示；坡面与水平面 比)、坡角 的夹角 α 叫坡角，i＝tanα＝hl
第 18 页
【解答】过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，如答图，在 Rt△ACH 中，
∵AC＝200 米，∠CAH＝45°，
∴CH＝AC·sin∠CAH＝200×sin45°＝200× 22＝100 2米， ∴AH＝CH＝100 2 米．
在 Rt△BCH 中，∵CH＝100 2米，∠CBH＝30°，
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