2025届南昌县莲塘第一中学高三一诊考试数学试卷含解析

2025届南昌县莲塘第一中学高三一诊考试数学试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）
A ．4
B ．
34
C ．
211
D ．
14
2．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）
A ．2223S S ∉∉，且
B ．2223S S ∉∈，且
C ．2223S S ∈∉，且
D ．2223S S ∈∈，且 3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，(
2
log
3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，2
314c f ⎛⎫⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则a ，b ，
c 满足（ ）
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．b c a <<
D ．c b a <<
5．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ） A ．162
B ．15
C ．3
D ．83
6．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在
C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，
由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）
A ．3
B ．32
C ．4
D ．42
7．设抛物线2
4y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2
B ．
153
C ．
163
D ．3
8．已知3log 74a =，2log b m =，5
2
c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4
B ．23
C ．8
D ．17
9．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><<
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则38
f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（ ）
A 26
-B 26
+C 62
-D 62
+10．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．
的是( )
A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；
B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；
C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；
D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y
t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.
11．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A ．22n n
-
B ．212n -
C ．2
12n (-)
D ．22
n
12．下列判断错误的是( ) A ．若随机变量ξ服从正态分布(
)()2
1,,40.78N P σ
ξ≤=，则()20.22P ξ≤-=
B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件
C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ
⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若5(3)n
x x
-的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为_____
14．已知椭圆22
143
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过椭圆的右焦点2F 作一条直线l 交椭圆于点P 、Q .则1F PQ
内切圆面积的最大值是_________.
15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P Q 、是面对角线11A C 上两个不同的动点.以下四个命题：①存在
P Q 、两点，使BP DQ ⊥；②存在P Q 、两点，使BP DQ 、与直线1B C 都成45︒的角；③若||1PQ =，则四面体
BDPQ 的体积一定是定值；④若||1PQ =，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为
真命题的是____.
16．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥；
②直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是21,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； ③α与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为22；
④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()()1ln f x x x x λλ⎛⎫
=+-∈
⎪⎝⎭
R . （1）当1x >时，不等式()0f x <恒成立，求λ的最小值； （2）设数列()*1
N n a n n =
∈，其前n 项和为n S ，证明：2ln 24
n n n a S S -+>. 18．（12分）已知函数2
2
()|||23|,()3f x x a x a g x x ax =-+-+=++. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()6f x ≤；
（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围.
19．（12分）在以ABCDEF 为顶点的五面体中，底面ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，2AB AE ED EF ===，
//EF AB ，二面角E AD B --为直二面角.
（Ⅰ）证明：BD FC ⊥；
（Ⅱ）求二面角A CF B --的余弦值.
20．（12分）已知{}n a 为各项均为整数的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若3a 为21
3
a 和13a 的等比中项，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12233412222...n n n T a a a a a a a a +=
+++++，求最大的正整数n ，使得20182019
n T <. 21．（12分） [选修4-4：极坐标与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若射线θβ=02πβ⎛
⎫
<< ⎪⎝
⎭
与曲线1C 交于O ，A 两点，
与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取最大值时tan β的值
22．（10分）已知函数()f x x x a =+-. （1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集；
（2）若()1f x ≥对任意x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
试题分析：先画出可行域如图：由{2y x x y =+=，得(1,1)B ，由{x a
y x
==，得(,)C a a ，当直线2z x y =+过点(1,1)B 时，
目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点(,)C a a 时，目标函数2z x y =+取得最小值，
最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以1
4
a =
，故选D.
考点：线性规划. 2、D 【解析】
如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}
2,22,23S =，得到答案. 【详解】
如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BC
CD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =.
故{}
2,22,23S =，故22S ∈，23S ∈.
故选：D .
【点睛】
本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
3、A 【解析】
分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为
，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：
.
4、D 【解析】
首先由函数为偶函数，可得函数()f x 在[)0,+∞内单调递增，再由2
log 3sin 5π⎛⎫>- ⎪⎝⎭2
3
14⎛⎫> ⎪⎝⎭
，即可判定大小
【详解】
因为偶函数()f x 在(],0-∞减，所以()f x 在[)0,+∞上增，
2
log
31>，1sin ,152π⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2
3
110,42⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴c b a <<.
故选：D 【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题. 5、B 【解析】
利用正弦定理求出CD ，可得出BC ，然后利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD ∆的面积. 【详解】
AD 为BAC ∠的角平分线，则BAD CAD ∠=∠.
ADB ADC π∠+∠=，则ADC ADB π∠=-∠，
()sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠，
在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin AB BD ADB BAD =∠∠，即42sin sin ADB BAD
=∠∠，①
在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC ADC =∠∠，即8sin sin CD
ADC CAD
=∠∠，②
①÷②得
21
2
CD =，解得4CD =，6BC BD CD ∴=+=，
由余弦定理得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，sin B ∴==
因此，ABD ∆的面积为1
sin 2
ABD S AB BD B ∆=⋅=故选：B. 【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 6、B 【解析】
先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可. 【详解】
由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒， 所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒，
所以DAC ADC ∠=∠，所以CA CD ==
又因为
sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以BC ==
所以AB ===故选：B. 【点睛】
本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 7、A 【解析】
分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.
详解：由2434120
y x x y ⎧=⎨
++=⎩①得到2
316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解， 所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的.
由121211d d d d +=++-，
而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离， 从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=
3=，
故12d d +的最小值为2，故选A.
点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解. 8、C 【解析】
首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可； 【详解】
解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8. 故选：C 【点睛】
本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题. 9、A 【解析】
先利用最高点纵坐标求出A ，再根据324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫
⎪
⎝⎭
代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可. 【详解】
由图象可知A ＝1， ∵
324123
T ππ
⎛⎫=-- ⎪
⎝⎭
，所以T ＝π，∴22T π
ω==. ∴f （x ）＝sin （2x +φ），将112，π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入得(6sin π+φ）＝1，
∴
6π+φ22k k Z π
π=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3
π=.
∴()23f x sin x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
.
∴3384312f sin sin πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
34344sin cos cos sin ππππ⎛⎫=--=
⎪⎝
⎭. 故选：A . 【点睛】
本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题. 10、D 【解析】
根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项. 【详解】
对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为
1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，故D 选项描述不正
确.所以本题选D. 【点睛】
本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题. 11、B 【解析】
直接代入检验，排除其中三个即可． 【详解】
由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =， 故选：B ． 【点睛】
本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解． 12、D 【解析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解. 【详解】
对于A 选项，若随机变量ξ服从正态分布(
)()2
1,,40.78N P σ
ξ≤=，根据正态分布曲线的对称性，有
()()()241410.780.22P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，故A 选项正确，不符合题意；
对于B 选项，已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则当//αβ时一定有l m ⊥，充分性成立，而当l m ⊥时，不一定有//αβ，故必要性不成立，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故B 选项正确，不符合题意； 对于C 选项，若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ
⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则()114E np ξ==4⨯=，故C 选项正确，不符合题意；
对于D 选项，am bm >，仅当0m >时有a b >，当0m <时，a b >不成立，故充分性不成立；若a b >，仅当0m >时有am bm >，当0m <时，am bm >不成立，故必要性不成立.
因而am bm >是a b >的既不充分也不必要条件,故D 选项不正确，符合题意. 故选：D 【点睛】
本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2025 【解析】
利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得n 的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中x 的系数. 【详解】
依题意，令1x =，解得232n =，所以5n =，则二项式5
5x ⎛- ⎝的展开式的通项为：
5135522155535(3)r
r
r
r r r r
r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫
=⋅-=- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⋅⋅⋅⎭
⋅ 令
3
512
r -=，得4r =，所以x 的系数为544455(3)2025C -=⨯-⨯. 故答案为：2025 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题. 14、
9π16
【解析】
令直线l ：1x my =+，与椭圆方程联立消去x 得()22
34690m y my ++-=，可设()()1122,,,P x y Q x y ，则
122634m y y m +=-+，1229
34
y y m =-+．可知
112121
2
F PQ
S
F F y y =-==又()
()
22
222
1
1
1
1
16349161
m m m m +=
≤
+++
++，故13F PQ
S
≤．三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角
形面积的二倍，则内切圆半径123
8
4
F PQ
S
r =
≤
，其面积最大值为9π16．故本题应填9π16．
点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(１)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(２)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式及函数的单调性法等． 15、①③④ 【解析】
对于①中，当P 点与1A 点重合，Q 与点1C 重合时，可判断①正确；当点P 点与1A 点重合，BP 与直线1B C 所成的角最小为60，可判定②不正确；根据平面OBD 将四面体BDPQ 可分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，可判定③正确；四面体BDPQ 在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确. 【详解】
对于①中，当P 点与1A 点重合，Q 与点1C 重合时，BP DQ ⊥，所以①正确；
对于②中，当点P 点与1A 点重合，BP 与直线1B C 所成的角最小，此时两异面直线的夹角为60，所以②不正确； 对于③中，设平面1111D C B A 两条对角线交点为O ，可得PQ ⊥平面OBD ， 平面OBD 将四面体BDPQ 可分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥， 所以四面体BDPQ 的体积一定是定值，所以③正确；
对于④中，四面体BDPQ
在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义， 四面体BDPQ 在四个侧面上的投影，均为上底为
2
，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确. 故答案为：①③④.
【点睛】
本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 16、①②③④ 【解析】
取CD 中点G ,11C D 中点M ,1CC 中点N ,先利用中位线的性质判断点F 的运动轨迹为线段MN ,平面1B MN 即为平面
α,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断；②直线1B F 与直线BC 所成角即为直线1B F 与直线11
B C 所成角,设正方体的棱长为2,进而求解；
③由//MN EG ,取F 为MN 中点,则11,MN C F MN B F ⊥⊥,则11B FC ∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角,进而求解；④由平行的性质及图形判断即可. 【详解】
取CD 中点G ,连接EG ,则1//EG CD ,所以1//EG A B ,所以平面1A BE 即为平面1A BGE , 取11C D 中点M ,1CC 中点N ,连接11,,B M B N MN ,则易证得111//,//B M BG B N A E , 所以平面1//B MN 平面1A BGE ,所以点F 的运动轨迹为线段MN ,平面1B MN 即为平面α.
①取F 为MN 中点,因为1B MN △是等腰三角形,所以1B F MN ⊥,又因为1//MN CD ,所以11B F CD ⊥,故①正确； ②直线1B F 与直线BC 所成角即为直线1B F 与直线11B C 所成角,设正方体的棱长为2,当点F 为MN 中点时,直线1B F
与直线11B C 所成角最小,
此时1C F =
11111
tan 4C F C B F B C ∠==；
当点F 与点M 或点N 重合时,直线1B F 与直线11B C 所成角最大,此时111
tan 2
C B F ∠=
, 所以直线1B F 与直线BC
所成角的正切值的取值范围是12⎤
⎥⎣
⎦,②正确； ③α与平面11CDD C 的交线为EG ,且//MN EG ,取F 为MN 中点,则1111,,MN C F MN B F B FC ⊥⊥∴∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角
,11
111tan B C B FC C F
∠=
=,所以③正确； ④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中,平面ABCD ,平面1111D C B A ,平面11BCC B ,平面11ADD A 与平面α所成的角相等,所以④正确． 故答案为:①②③④ 【点睛】
本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1
2
；（2）证明见解析. 【解析】
（1）()2'
2
x x f x x
λλ
-+-=，分12λ≥，102λ<<，0λ≤三种情况推理即可； （2）由（1）可得()111111121ln 112121n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦+<=
⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪
⎝⎭
，即()()11ln 1ln 221n n n n +-<++，利用累加法即可得到证明. 【详解】
（1）由()()1ln f x x x x λλ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R ，得()2
'
2
x x f x x
λλ-+-=. 当1
2
λ≥
时，方程20x x λλ-+-=的2140λ∆=-≤，因此2x x λλ-+-在区间()1,+∞ 上恒为负数.所以1x >时，()'
0f
x <，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递减.
又()10f =，所以函数()0f x <在区间()1,+∞上恒成立；
当102λ<<时，方程2
0x x λλ-+-=
有两个不等实根，且满足1211122x x λλ
+=<<=
， 所以函数()f x 的导函数()'f x
在区间⎛ ⎝
⎭
上大于零，函数()f x 在区间
11,2λ⎛+ ⎪⎝⎭上单增，又()10f =，所以函数()f x
在区间11,2λ⎛+ ⎪⎝
⎭
上恒大于零，不满足题意； 当0λ≤时，在区间()1,+∞上()1ln ln f x x x x x λ⎛⎫
=+-≥
⎪⎝⎭
，函数ln y x =在区间()1,+∞ 上恒为正数，所以在区间()1,+∞上()f x 恒为正数，不满足题意； 综上可知：若1x >时，不等式()0f x <恒成立，λ的最小值为1
2
. （2）由第（1）知：若1x >时，()()1111ln 22x x x x x x +-⎛⎫<-
-= ⎪⎝⎭
. 若*n ∈N ，则()111111121ln 112121n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
+<=
⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭
， 即()()
11ln 1ln 221n n n n +-<
++成立. 将n 换成1n +，得()()()()11
ln 11ln 121211n n n n ++-+<
+⎡⎤⎣⎦+++⎡⎤⎣⎦
成立，即
()()()()
11
ln 2ln 12122n n n n +-+<
+++，
以此类推，得()()()()
11
ln 3ln 22223n n n n +-+<
+++，
()()11
ln 2ln 212214n n n n
--<
+-，
上述各式相加，得11111ln 2ln ln 2212214n n n n n n n
-=<+++++++-， 又211
11
12
212n n S S n n n n -=++++++-，所以2ln 24
n n n a S S -+>. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题，考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力，是一道难题.
18、（1）{|33}x x -≤≤；（2）()8
,0,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.
（2）因为对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，等价于min min ()()f x g x >，min ()f x 根据绝对值不等式易求，min ()g x 根据二次函数易求， 然后解不等式即可. 【详解】
解：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =-++，则2,1,()2,11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪
=-<⎨⎪⎩
当1x <-时，由()6f x 得，26x -，解得31x -<-； 当11x -<时，()6f x 恒成立；
当1x 时，由()6f x 得，26x ，解得13x . 所以()6f x 的解集为{|33}x x -≤≤
（2）对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，得12()()f x g x >成立，等价于min min ()()f x g x >. 因为2
2
23(1)20a a a -+=-+>，所以223a a >-， 且|222|23|
()(23)23x a x a x a x a a a -+-+---+=-+
223a a =-+，①
当223a x a -时，①式等号成立，即2
min ()23f x a a =-+.
又因为22
2
23()33244
a a a x ax x ++=++--，②
当2a x =-时，②式等号成立，即2
min ()34a g x =-
. 所以2
2
2334
a a a -+>-，即2580a a ->
即a 的取值范围为：()8
,0,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；中档题.
19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）5
【解析】
（Ⅰ）连接,AC BD 交于点O ，取AD 中点M ，连结,,EM OM OF ，证明BD ⊥平面OFC 得到答案.
（Ⅱ）分别以,,OA OB OF 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面BCF 的法向量为(1,3,1)n =-，平面
ACF 的法向量为(0,1,0)m =，计算夹角得到答案.
【详解】
（Ⅰ）连接,AC BD 交于点O ，取AD 中点M ，连结,,.EM OM OF 因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥. 因为AE ED =，所以EM AD ⊥.
因为二面角E AD B --为直二面角，所以平面EAD ⊥平面ABCD ， 且平面EAD 平面ABCD AD =，所以EM ⊥平面,ABCD 所以EM BD ⊥
因为,OM
AB 1
,2
OM AB =
,EF AB 1
,2
EF AB =,,OM EF OM EF =
所以OMEF 是平行四边形，所以EM OF .
所以BD OF ⊥，所以AC
OF O ＝，所以BD ⊥平面OFC ，
又FC ⊂平面OFC ，所以BD ⊥FC .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,OA OB OF 两两垂直，分别以,,OA OB OF 为,,x y z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系.
设2,(0,1,0),(3,0,0),3),AB B C F =-则 (3,1,0),(0,3),BC BF ∴=--=-
设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z =，由30
0030z y n BC n BF x y ⎧⎧-=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩
， 取1,(1,3,1)z n =∴=-.
平面ACF 的法向量为(0,1,0)m = ||15
|cos ,|5||||
n m n m n m ⋅∴
<>==
所以二面角A CF B --15
. 【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20、（1）21n a n =-（2）1008 【解析】
（1）用基本量求出首项1a 和公差d ，可得通项公式； （2）用裂项相消法求得和n T ，然后解不等式2018
2019
n T <可得． 【详解】
解：（1）由题得23213
71349a a a S ⎧=⋅⎪⎨⎪=⎩，即()()()2111112123
72149a d a d a d a d ⎧
+=++⎪⎨⎪+=⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩或1
73a d =⎧⎪⎨=⎪⎩
因为数列{}n a 为各项均为整数，所以11
2
a d =⎧⎨=⎩，即21n a n =-
（2）令()()12211
21212121
n n n b a a n n n n +=
==--+-+
所以11111111220181133557212121212019
n n T n n n n =-
+-+-+-=-=<-+++ 即120181212019
n -
<+，解得1009n < 所以n 的最大值为1008 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查裂项相消法求数列的和．在等差数列和等比数列中基本量法是解题的基本方法．
21、 (1) 1C
的极坐标方程为ρθ=.曲线2C 的直角坐标方程为22
40x y y +-=
. (2)
【解析】
(1)先得到1C 的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将222
x y y sin ρρθ
⎧+=⎨=⎩代入得22
4x y y +=，得到
曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点A 、B 的极坐标分别为()1,ρθ，()2,ρθ， 将θβ= 02πβ⎛
⎫
<<
⎪⎝
⎭
分别代入曲线1C 、2C
极坐标方程得：1ρβ=，24sin ρβ=
，4sin OA OB ββ+=+，之后进行化一，可得到最值，此时2
π
βϕ=
-，可求解.
【详解】
（1
）由x y α
α
⎧=+⎪⎨=⎪⎩
得220x y -+=，
将222
x y x cos ρρθ⎧+=⎨=⎩
代入得：
ρθ=，故曲线1C
的极坐标方程为ρθ=.
由4sin ρθ=得2
4sin ρρθ=，
将222
x y y sin ρρθ
⎧+=⎨=⎩代入得224x y y +=，故曲线2C 的直角坐标方程为22
40x y y +-=. （2）设点A 、B 的极坐标分别为()1,ρθ，()2,ρθ，
将θβ= 02πβ⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
分别代入曲线1C 、2C
极坐标方程得：1ρβ=，24sin ρβ=，
则4sin OA OB ββ+=+
()sin cos 33βββϕ⎫=⋅+⋅=+⎪⎪⎭，其 中ϕ
为锐角，且满足sin 3ϕ=
，cos 3
ϕ=，当2πβϕ+=时，OA OB +取最大值，
此时2πβϕ=-，tan tan 2πβϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ sin 2cos 2πϕπϕ⎛⎫- ⎪
⎝⎭=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
cos 3sin sin ϕϕϕ====【点睛】
这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t 的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t 的应用更广泛一些. 22、（1）{}13x x -<<（2）(][),11,-∞-+∞
【解析】
（1）把2a =代入，利用零点分段讨论法求解；
（2）()1f x ≥对任意x ∈R 成立转化为求()f x 的最小值可得. 【详解】
解：（1）当2a =时，不等式()4f x <可化为24x x +-<. 讨论：
①当0x <时，()24x x ---<，所以1x >-，所以10x -<<； ②当02x ≤≤时，()24x x --<，所以24<，所以02x ≤≤； ③当2x >时，()24x x +-<，所以3x <，所以23x <<. 综上，当2a =时，不等式()4f x <的解集为{}
13x x -<<. （2）因为()x x a x x a --≤+-， 所以x x a a +-≥.
又因为()f x x x a =+-，()1f x ≥对任意x ∈R 成立，
所以1a ≤，
所以1a ≤-或1a ≥.
故实数a 的取值范围为(]
[),11,-∞-+∞. 【点睛】
本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.。