高考数学压轴专题新备战高考《集合与常用逻辑用语》易错题汇编附答案

【最新】数学《集合与常用逻辑用语》高考知识点
一、选择题
1．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2A =，集合{}2,3B =，则()C A B ⋃⋃=（ ） A ．∅
B ．{}1,2,3,4
C ．{}2,3,4
D ．{}0,1,2,3,4
【答案】C
【解析】
【分析】
先求C A ⋃，再根据并集定义求结果.
【详解】
因为{}3,4C A ⋃=，所以(){}2,3,4C A B ⋃⋃=，选C.
【点睛】
本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基本题.
2．下列四个命题中真命题的个数是
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>
③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.
④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】D
【解析】
【分析】
根据四种命题的关系进行判断．
【详解】
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；
②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确；
③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.
④命题[
):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题， 则p q ∨为真命题，正确．
因此4个命题均正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．
3．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( )
A ．(1,3)
B ．(－∞，－1)
C ．(－1,1)
D ．(－3,1)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解.
【详解】
依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)，
∴A ∩B ＝(－1,1)．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．下列三个命题中，真命题的个数为（ ）
①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，0002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02
x x ≤-； ②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件；
③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】C
【解析】
【分析】
对三个命题逐一判断即可.
【详解】 ①中p ⌝：()1
x ∀∈+∞，，02
x x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题； ③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C .
【点睛】
本题考查命题的真假，属于基础题.
5．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）
∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题
又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点
∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题；
故p 是q 的必要不充分条件
故选B
6．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果.
详解：若//l αβα⊥，，则l β⊥，又//m β，所以l m ⊥；
若l m ⊥，当//m β时，直线l 与平面β的位置关系不确定，无法得到//αβ. 综上，“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件.
本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．
8．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
9．已知集合{}
2|log ,1,|A y y x x B x y ⎧
==>==⎨⎩，则A B =I （ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】 ∵集合{}
2log ,1A y y x x ==
∴集合(0,)A =+∞
∵集合|
B x y ⎧
==⎨⎩ ∴集合1(,)2B =-∞ ∴1(0,)2
A B ⋂=
故选A.
10．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果．
【详解】
由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，
所以530,0a a >>，
若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，
所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，
则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.
11．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ） A ．{}
13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<< 【答案】C
【解析】
【分析】 解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð.
【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.
{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.
【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
12．给出下列说法：
①定义在[],a b 上的偶函数
()()24f x x a x b =-++的最大值为20； ②“4x π
=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；
③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +
≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x +<”． 其中正确说法的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】 根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42
a x +=， 该函数为偶函数，则402
a +=，得4a =-，且定义域[]4,
b -关于原点对称，则4b =， 所以，()2
4f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确； 对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+
∈， 所以，tan 14x x π=
⇒=，tan 14x x π=⇐=/， 则“4x π
=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；
对于命题③，由特称命题的否定可知③正确.
故选：D.
【点睛】
本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．
13．已知实数a b 、满足0ab >，则“
11a b <成立”是“a b >成立”的（ ） A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】 由11b a a b ab
--=， 0ab >Q ，∴若
11a b < 成立, 则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >，
0ab >Q ，110b a a b ab
-∴-=<， 即11a b
<成立， ∴“11a b
<成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
14．“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】 方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案.
【详解】 因为方程22
117x y m m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<. 故“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：A
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
15．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是
A ．M N N =I
B ．()U M N =∅I ð
C ．M N U =U
D ．()
U M N ⊆ð 【答案】A
【解析】
【分析】
求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．
【详解】
由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．
故选A ．
【点睛】
本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．
16．若命题“[1,2]x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．5,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(,1)-∞ D ．(1,)+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
分离参数，将问题转化为[]1,2x ∀∈，2111()22x a x x x
+<=+恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.
【详解】
若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，
则[]1,2x ∀∈，2
12x ax +>，即2111()22x a x x x +<=+恒成立， 111()12x x x x
+≥⋅=Q ，当且仅当1x =时等号成立， ∴1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞.
故选：C ．
【点睛】
此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.
17．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋
14<0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sinx ＋cosx ＝2成立”．则下列判断正确的是（ ）
A ．p ∨q 为假命题
B ．p ∧q 为真命题
C ．非p ∧q 为真命题
D ．非p ∨非q 是假命题 【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：：∵任意x ∈R 时，都有x 2-x+
14=（x−12）2≥0， ∴p 是假命题；
∵sinx+cosx=2sin （x+
4π），当x=4
π时，sinx+cosx=2， ∴q 是真命题，
∴p ∨q 是真命题，非p n q 为真命题，故选C
考点：复合命题的真假
18．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）
A ．3
(3,)2
-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2 D ．3(,3)2
【答案】D
【解析】 试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以
3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭
,故选D. 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.
19．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(,2]-∞-
B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)-+∞ 【答案】B
【解析】
由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[
)2,+∞ 本题选择B 选项.
20．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 当
，得a <1时方程有根．a <0时，，方程有负根，又a =1时，方程根为，所以选B ．。