苏教版高考总复习数学精品课件 主题二 函数 第五章 三角函数、解三角形 第五节 三角函数的图象与性质

,所以 ≤


≤≤
4π
2πD.
3


≤≤
3π
2


[解析]因为 ∈ [− , ],所以 + ∈ [− + , + ].
又 ≤ <
所以ቐ


+ ≤ ,

−

+≥
+<

解得

,

,且函数

≤≤


在[− , ]上单调递增,


,即的取值范围为[ ,


点的横坐标.故选B.
=

, , , ,,即为五个关键

4.函数 = −2tan 2 +
π
6
π π
{| ≠
+ , ∈ }
的定义域是____________________.
2
6
[解析]由正切函数的定义域可得,
的定义域为{| ≠








≤ − ,

−

≤ ,
∈ .
> ,∴ < ≤
∴正实数的取值范围是为(, ].故选C.

,

规律方法
（1）已知三角函数解析式求单调区间
①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律
“同增异减”；②求形如 = sin + 或 = cos + > 0 的单调区间时,
强基础 知识回归
知识梳理
一、“五点法”作图
0,0
1.在确定正弦函数 = sin 在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是______,
π
,1
2
π, 0
,_______,
3π
, −1
2
2π, 0
,_______.
2.在确定余弦函数 = cos 在[−π, π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是________
π
2
[2π + , 2π +
3π
],
2
= tan
π
π
π − , π + , ∈
2
2
增区间:_____________________
∈
∈
奇偶
奇函数
偶函数
奇函数
对称
π, 0 , ∈
对称中心:_________
对称中心:
性
___________
π + , 0 , ∈
①若 = sin + 为偶函数,则有 = π +
π
2
∈ ；若为奇函数,则有
= π ∈ .
②若 = cos + 为偶函数,则有 = π ∈ ；若为奇函数,则有
= π +
π
2
∈ .
③若 = tan + 为奇函数,则有 = π ∈ .


−


∈

[− , ],

π
π
[−3, − ) ∪ 0,
［对点训练1］（1）函数 = lg sin 2 + 9 − 2 的定义域为________________.
2
2
[解析]∵函数 = + − ,


> ,
< < + ,

,

∈ }.
（2）函数 = 3sin
3
π
[− , 3]
在区间[0, ]上的值域为________.
2
2
π
2 −
6


− ∈ [− , ],∴



[解析]当 ∈ [, ]时,




故 − ∈ [− , ],




∴函数 在区间[, ]上的值域为[− , ].
+

≠

+ ,

∈ ,得 ≠
+ , ∈ }.故答案为{| ≠






+

,

+ , ∈ }.
∈ ,故函数
2
5.函数 = 2sin 的图象与 = cos 的图象在[0,2π]上的交点个数为___.
[解析]作出函数 = 与 = 在[, ]上的图象,
[−1,1]

图象
定义
域
值域
续表
函数
= sin
= cos
增区间:
π
π
[2π − , 2π + ],
2
2
__________________
增区间:
[2π − π, 2π], ∈
∈
单调 _______；
___________________；
性
减区间:
减区间:[2π, 2π + π],
−π, −1
π
0,1
____, − , 0 ,______,
2
π
,0
2
π, −1
,________.
二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
= sin
= cos
= tan


π
{| ≠ π + , ∈ }
____________________
2
[−1,1]
6 3
1
1
1 3
3
A.( , 1]B.[ , 1]C.[ , ]D.[ , 1]
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
2 2
2


[解析]由 = 的单调性知,在[ , ]上函数单调递增,在[ , ]上函数单调递减,又









= , = , = > ,故 ∈ [ , ].故选B.



].故选D.
［对点训练2］（1）函数 = sin + cos 在[0, π]上的增区间是()
π
π
3π
3π
A.[0, ]B.[0, ]C.[0, ]D.[ , π]
4
2
4
4
[解析] = + = +



因为 ≤ ≤ ,所以 ≤ + ≤ .
C
（2）（多选题）已知函数 = sin cos +
说法正确的有() AB
A.函数 的图象关于点
π
,0
3
3
2
1 − 2sin2 ,则下列有关函数 的
对称B.函数 的最小正周期为π
π
6
C.函数 的图象关于直线 = 对称D.函数 的最大值为 3





[解析]由题可知 = + = + .当 = 时, + = ,

−
= −



+ ,

规律总结
求三角函数的定义域，事实上就是解最简单的三角不等式（组）.三角函数值域的求
法:（1）形如 = sin + cos + 的三角函数化为 = sin + + 的形式,再
求值域；（2）形如 = sin2 + sin + 的三角函数,可先设sin = ,化为关于的
主题二 函数
第五章 三角函数、解三角形
第五节 三角函数的图象与性质
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
课标
解读
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值.
π π
2 2
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在 − ,
上的性质.
01



[−

[解析]∵ ∈ [− , ],
∴

−

∈


− , − ].


又∵函数 = −
∴


− − ≥ − ,


ቐ
− ≤ ,




是区间[− , ]上的增函数,

∈ ，解得൞
∵ 为正实数,∴ = ,从而 ≤



.又
π
, 0 , ∈
2
对称中心:_____________
性
π
2
续表
函数
= sin
= cos
= tan
直线 = π, ∈
无
2π
π
π
= π + , ∈
对称 直线______________
2
轴
周期
性
__________
2π
知识拓展
与三角函数的奇偶性相关的结论



令 = ,可得函数的一个减区间为[− , ],D选项为其子集.故选D.


π π
6 4
（2）已知函数 = cos 2 + 0 ≤ < 2π 在[− , ]上单调递增,则的取值范
围为() D
A.π ≤ ≤
4π π
B.
3
2
≤≤
4π 4π
C.
3
3











当 ≤ + ≤ ,即 ≤ ≤ 时,





所以 的增区间为[, ].故选A.



.
单调递增,
A
（2）已知函数 = cos
是() C
A.(0,1]B. 0,
4
3
π
−
6
π
是区间[− , 0]上的增函数,则正实数的取值范围
2
5
3
C.(0, ]D.(0,2]
二次函数再求值域；（3）形如 = sin cos + (sin ± cos ) + 的三角函数,可
先设 = sin ± cos ,化为关于的二次函数再求值域.
题型二 三角函数的单调性
典例2（1）函数 =
A.
π 3π
,
2 2
B.
π 3π
,
4 4
C.
2cos 2
π π
− ,
π
2
B. = tan C. = cos 2D. = sin 2
[解析] = +


的最小正周期为,A选项不符合题意.
= 是奇函数,B选项不符合题意.
= 的最小正周期为且是偶函数,C选项符合题意.
= 是奇函数,D选项不符合题意.故选C.
2 2

π
+
4
D.
− 1的一个减区间为()
D
π π
− ,
4 4


[解析]因为 = + − = + = − ,




令 − ≤ ≤ + , ∈




,解得 − ≤ ≤ + , ∈ ,




所以函数的减区间为[ − , + ], ∈ ,
要视“ + ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果 < 0,那么一定先借助诱导公式
将化为正数,防止把单调性弄错.
（2）已知三角函数的单调区间求参数的两种方法
求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集或由已知区间求出
子集法 + 的范围,则该范围是正弦函数、余弦函数相应单调区间的子集,然后列不等式







如图所示:
由图可知,两函数图象在[, ]上有2个交点.故答案为2.
02
研考点 题型突破
题型一 三角函数的定义域、值域
π
5π
{|2π + ≤ ≤ 2π +
, ∈ }
典例1（1）函数 = sin − cos 的定义域为_______________________________.
4
4
[解析]要使函数有意义,必须使 − ≥ .利用
图象,在同一坐标系中画出在[, ]上 = 和
= 的图象,如图所示.


在[, ]内,满足 = 的的值为 , ,再结合正


弦、余弦函数的周期是,所以原函数的定义域为{| + ≤ ≤ +







3.用“五点法”作 = 2cos 2的图象时,首先描出的五个点的横坐标是() B
π
3π
π π 3π
π π π 2π
A.0, ,π, ,2πB.0, , , ,πC.0,π,2π,3π,4πD.0, , , ,
2
2
4 2 4
6 3 2 3


[解析]由“五点法”作图知,令 = , ,, ,,解得
∴应满足ቊ
解得൝
− ≥ ,
− ≤ ≤ ,






其中 ∈ ,∴ − ≤ < − 或 < < ,∴函数的定义域为[−, − ) ∪ ,


.
7
π 7π
[ , 2]
（2）当 ∈ [ , ]时,函数 = 3 − sin − 2cos2 的值域为______.
8
6 6

[解析]因为 ∈ [ , ],


所以 ∈ [− , ].

又 = −
−
= − −
所以当 =

时,


;



=
当 = − 或 = 时, = .

故函数的值域为[ , ].
（组）求解
1
4
周期法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 周期列不等式（组）求解
另外,若是选择题，则利用特值验证排除法求解更为简捷.
题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
角度1 三角函数的周期性和奇偶性
典例3（1）下列函数中,最小正周期为π且是偶函数的是()
A. = sin +
自测诊断
1.函数 = 2sin
1

2
−
π
4
的最小正周期为() D
π
2
A. B.πC.2πD.4π
[解析]由题意知,在 =



−




中, = ,∴ =


=



= ,故选D.
π 2π
2.函数 = sin , ∈ [ , ],则的取值范围是() B