工程数学教案1-1排列及其逆序数、行列式的定义与性质

教案头
教学详案
一、回顾导入（20分钟）
——在中学里，通过代入消元法和加减消元法求解二元、三元一产供销线性方程组。

例如方程组
⎩⎨⎧=+=+22221
211
212111b x a x a b x a x a 中，未知量1x 、2
x 的系数可以用以下的记号来表示：22
211211a a a a ，从而引入新课。

二、主要教学过程（60分钟，其中学生练习20分钟）
一、二阶与三阶行列式
1. 二阶行列式
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
)
1(,
22
2112
11a a a a
表达式21122211a a a a -称为数表(1)所确定的二阶行列式，并记作
)
2(,
22
2112
11a a a a
即
21
12221122
2112
11a a a a a a a a D -==
计算方法 对角线法则
21
12221122
2112
11a a a a a a a D -==。

2. 三阶行列式
定义 由九个数排成三行三列的数表
)
3(,33
3231232221121211a a a a a a a a a
表达式
(4)称为由(3)所确定的三阶行列式，并记作
)
3(.33
32
31232221121211a a a a a a a a a
即
计算方法 1）对角线法则
2）沙路法
二、全排列及其逆序数
定义 把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（也简称为排列）。

定义 对n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，于是在这n 个元素的任一全排列中，当某
两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序。

定义 一个排列中的所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

定义 若一个排列中的所有元素按标准次序排列，则称之为标准排列（自然排列）。

定义 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

三、 n 阶行列式的定义
定义 由2
n 个数组成的n 阶行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和
∑-n
np p p t a a a 2121)1(。

记作
)
4(,
312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++.31221333211232231132
2113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=33
3231
232221
13
1211
a a a a a a a a a .312213332112322311a a a a a a a a a ---32
2113312312332211a a a a a a a a a ++=3222211211a a a ++-31211211a a a a a a .
2122221
11211
nn
n n n
n a a a a a a a a a D =33
32
31
232221131211a a a a a a a a a 332211a a a =.322311a a a -322113a a a +312312a a a +312213a a a -332112a a a -
其中n p p p 21为自然数1，2，…，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数。

简记为)det(ij a 。

数ij a 称为行列式
)
det(ij a 的元素。

特殊的行列式 1）对角行列式
2）上（下）三角形行列式
三、归纳总结（10分钟）
强调二阶、三阶行列式的对角线运算法则及运用。

四、课后作业
练习：
1．计算
α
α
ααsin cos cos sin ---的结果为（ ）
2．若行列式
0301110
1
2
=--c
，则=c （ ） ()
()
n
n
n np p p p p p p p p t nn
n n n n
a a a a a a a a a a a a D
2121212121
22221112111∑-=
=.
)1(212)1(2
1
n n n n
λλλ
λλλ
--=
,
2121
n n λλλλλλ =,
000221122211211
nn nn n n a a a a a a a a a =.
00221121222111nn nn
n n a a a a a a a a a =。