2016上海市各区县初三一模数学试题及答案

2016上海市各区县初三一模数学试题及答案
2016上海长宁区初三数学一模试题
（满分150分） 2016.1.6
一、选择题。

（本题共6个小题，每题4分，共
24分）
1、如果两个三角形的相似比是1:2，那么他们
的面积比是（ ）.
A.1:2
B.1：4
C.1：2
D.2：1 2、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠B ，DE:BC=2:3，
则下列结论正确的是（ ）.
A.AD:AB=2:3
B.AE:AC=2:5
C.AD:DB=2:3
D.CE:AE=3:2
3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，
AC=1，则sinB 的值是（ ）.
A.22
B.23
C.2
1 D.
2 4、在△ABC 中，若cosA=
22，tanB=3，则这个
三角形一定是（ ）.
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.钝角
三角形 D.锐角三角形
5、已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2
的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O O 2
1为1cm ，则这两个圆的位置关系的（ ）.
A.相交
B.内含
C.内切
D.外切
6二次函数1)2(2-+=x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移得到，下列平移正确的是（ ）.
A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
二、填空题。

（本大题共12小题，每题4分，满分48分）
7、已知抛物线
12+=x y 的顶点坐标是（ ).
8、已知抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x=1，则
实数b 的值为（ ） 9、已知二次函数bx
ax y +=2，阅读下面表格信息，由此可知y 与x 的函数关
系式是（ ）.
10、已知二次函数2
)3(-=x y 图像上的两点A （3，a ）
和B（x，b），则a和b的大小关系是a（）
b.
11、圆是轴对称图形，它的对称轴是（）.
12、已知⊙O的弦AB=8cm，弦心距OC=3cm，那么该圆的半径是（）cm.
13、如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，已知AC=1，BC=22,那么sin∠ACD的值是（）.
14、王小勇操纵一辆遥控汽车从A处沿北偏西60°方向走10m到B处，再从B处向正南方走20m到C处，此时遥控汽车离A处（）m.
15、已知△ABC中，AD是中线，G是重心，设m
AD ，那么用表示=（）.
16、如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD 的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=
（ ）.
17、如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为215-的矩形称作黄金矩形。

现将长度为20cm 的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是（ ）cm.
18、如图，ABCD 为正方形，E 是BC 边上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，如果tan ∠AEN=3
1，DC+CE=10，那么△ANE 的面积为（ ）.
三、解答题。

（本大题共7个小题，满分78分） 19（本题满分10分）
如图，在正方形网格中，每一个
小正方形的边长都是1，已知向量
a 和
b 的起点、终点都是小正方形
的顶点，如果b a c 2
13-=，求作c 并写出c 的模（不用写作法，只要所求作向量）。

20（本题满分10分）
计算：︒︒+︒︒︒45tan 2-60cos 210cot -75cos -30tan
02）（.
21（本题满分10分）
已知△ABC 中，∠CAB=60°，P 为△ABC 内一点且∠APB=∠APC=120°，
求证：CP BP AP
*2=.
22（本题满分10分）
如图，点C 在⊙O 的直径BA 的延长线上，AB=2AC ，CD 切⊙O 于点D ，连接CD,OD.
（1）求角C的正切值：
（2）若⊙O的半径r=2，
求BD的长度.
23（本题满分12分）
靠校园一侧围墙的体育场看台侧面，如图阴影部分所示，看台的三级台阶高度相等，宽度相同，现要用钢管做护栏扶手ACG及三根与水平地面PQ垂直的护栏支架CD、EF和GH（底端D、F、H 分别在每级台阶的中点处），已知看台高为 1.2米，护栏支架CD=GH=0.8米，∠DCG=66.5°.（参考数据：sin66.5°=0.92，cos66.5°=0.40，tan66.5°=2.30）
(1)点D与点H的高度差是（）米：
(2)试求制作护栏扶手和支架的钢管总长度l，即AC+CG+CD+EF+GH的长度.（结果精确到0.1米）
24（本题满分12分）
如图，直角坐标平面内的梯形OABC，OA在x轴上，OC在y轴上，OA∥BC，点E在对角线OB上，点D在OC上，直线DE与x轴交于点F，已知OE=2EB,CB=3，OA=6，BA=53,OD=5.
（1）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式：（2）求证：△ODE ∽△OBC：
（3）在y轴上找一点G，使得△OFG∽△ODE，
直接写出点G的坐标。

25（本题满分14分）
如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，sin 4，E点为BC边上的一个动点（不与B、C ∠B=
5
重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连结DE,DF.
(1)当△ABE恰为直角三角形时，求BF：CG的值：
(2)当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG 的周长之和是否是常数，请说明理由：
(3)设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x 的函数关系式，并写出定义域.
2015-2016上海长宁区初三数学一模试题参考答案
选择题 1-6：B 、A 、C 、D 、C 、B 填空题 7、（0,1） 8、-2 9、x
x y +=2
10、≤ 11、圆的直径
12、5 13、31
14、310 15、3
2
16、4
17、3515- 18、310 解答题： 19：原式=1
*22
1
*21)
33(2
-+-=-35 20：图略 的模为
65
21：证明△APB ∽△CDA 得AP
BP
PC AP =
，即CP
BP AP *2
=
22：（1）tanC=
3
3
； （2）BD=32
23：（1）0.8； （2）4.9米
24: （1）634
3
12
++
-=x x
y 或者4
3
6
)
2
3
(312
+--=x y
（2）E （2,4），OE=52，OB=53，5
52=OD OE =OB OC
，∠DOE=∠BOC, 故得证
（3）（0,5）、（0，-5）、（0,20）、（0，-20）
25：（1）73
或者5
（2）常数 24 算法略
（3）)100(25
65242
∠∠-=x x x y
黄浦区2015学年度第一学期九年级期终调研测试数学试卷
2016.1
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么这两个三角形的相似比为（ ）
（A ）1：2； （B ）1：4； （C ）1：8； （D ）1：16.
2. 已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a=9cm ，b=4cm ，则线段c 长（ ） （A ）18cm ； （B ）5cm ； （C ）6cm ； （D ）±6cm .
3. 如果向量
a 与向量
b 方向相反，且=，那么向量用向量表示为（ ）
（A ）3=； （B ）3-=； （C ）31=； （D ）b a 3
1-=. 4. 在直角坐标平面内有一点P （3，4），OP 与x 轴正半轴的夹角为α，下列结论正确的是（ ）
（A ）34tan =α； （B ）54cot =α； （C ）5
3sin =α；
（D ）4
5cos =α. 5. 下列函数中不是二次函数的有（ ） （A ）)1(-=x x y ； （B ）1
22-=x y ； （C ）2
x y -=；
（D ）2
2
)
4(x x y -+=.
6. 如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE ∥BC ，且∠DCE=∠B ，那么下列说法中，错误的是（ ） （A ）△ADE ∽△ABC ； （B ）△ADE ∽△ACD ； （C ）△ADE ∽△DCB ； （D ）△DEC ∽△CDB .
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果2
3
sin =
α，那么锐角=α .
8. 已知线段a 、b 、c 、d ，如果32
==d c b a ，那么=++d
b c
a .
9. 计算：=+--b a b a 42
1
)2(23 . 10. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，cot A=31，则BC= .
图1
11. 如图2，已知AD 、BC 相交于点O ，AB ∥CD ∥EF ，如果CE=2，EB=4，FD=1.5， 那么AD= .
12. 如图3，在△ABC 中，点D 是BC 边上的点，且CD=2BD ，如果
a
AB =，
b
AD =，那么
=
BC
（用含a 、b 的式子表示）.
13. 在△ABC 中，点O 是重心，DE 经过点O 且平行于BC 交 边AB 、AC 于点D 、E ，则S △ADE ：S △ABC = .
14. 如图4，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，且
AD=2，DC=4，AE=3，EB=1，则DE ：BC = .
15. 某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1:2.4，则该
水库迎水坡的长度为 米.
图2 图3
图4
图5
16. 如图5，AD 、BE 分别是△ABC 中BC 、AC 边上的高，AD=4，
AC=6，则sin ∠EBC= . 17. 已知抛物线k
m x a y
+-=21
)(与k m x a y
++=22
)()
0(≠m 关于
y 轴对称，我们称y 1与y 2互为“和谐抛物线”，请写出抛物线7
642
++-=x x
y 的“和
谐抛物线” . 18. 如图6，在梯形ABCD 中，
AD ∥BC ，∠B=45°，点E 是AB 的中点，DE=DC ，∠EDC=90°，若AB=2，则AD 的长是 .
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）
计算：︒+︒
︒-︒30cot 60sin 230tan 45cos 2
2
20. （本题满分10分）
图6
如图7，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，
DE ∥BC ，点F 是DE 延长线上的点，EF
DE
BD AD =
，联结FC ，
若3
2=AC AE ，求FC AD 的值.
21. （本题满分10分）
已知抛物线c
bx ax
y ++=2
如图8所示，请结合图
像中所
给信息完成以下问题： （1）求抛物线的表达式；
（2）若该抛物线经过一次平移后过原点O ，请写出一种
平移方法，并写出平移后得到的新抛物线的表达式.
图7
图8
22.（本题满分10分）
如图9，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点F，
点E是BD上一点，且∠BCA=∠ADE，∠CBD=∠BAE.
（1）求证：△ABC ∽△AED；
（2）求证：BE · AC = CD · AB.
图9
23.（本题满分12分）
如图，一条细绳系着一个
小球在平面内摆动，已知细绳
从悬挂点O到球心的长度为50
厘米，小球在A、B两个位置
时达到最高点，且最高点高度
相同（不计空气阻力），在C点位置时达到最低点，达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为37°，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板DE所成的角度为30°.
（6.0
︒，75.0
37
tan≈
cos≈
︒）
37
37
sin≈
︒，8.0
（1）求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差；
（2）求OD这段细绳的长度.
图10
24. （本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题6分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线c
2
=3
ax
ax
y+
-
与x轴交于A（-1，0）、B两
点（A点在B点左侧），与y
轴交于点C（0，2）.
（1）求抛物线的对称轴及B
点的坐标；
（2）求证：∠CAO=∠BCO；
（3）点D是射线BC上一点（不与B、C重合），联结OD，过点B作BE⊥OD，垂足为△BOD
外一点E，若△BDE与△ABC相似，求点D的坐标.
25. （本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 已知直线l 1、l 2，l 1∥l 2，点A 是l 1上的点，B 、C 是l 2上的点，AC ⊥BC ，∠ABC=60°，AB= 4，O 是AB 的中点，D 是CB 延长线上的点，将△DOC 沿直线CO 翻折，点D 与D'重合. （1）如图12，当点D' 落在直线l 1上时，求DB 的长；
（2）延长DO 交l 1于点E ，直线OD' 分别交l 1、l 2于点M 、N ，
①如图13，当点E 在线段AM 上时，设AE=x ，DN=y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；
②若△DON 的面积为32
3
时，求AE 的长. 图11
图12 图13
2016年黄浦区中考数学一模卷
一、选择题
1.B
2.C
3.D
4.A
5.D
6.C 二、填空题
7.6 8.2
3 9.a b +r r 10.6 11.92 12.33b a
-r r
13.4:9
14.
1:2
15.
26
16.
17.
2
337444y x ⎛
⎫=-++
⎪⎝⎭
三.解答题 19.(1)【
解
】原式
=
2
2
⎝⎭……………………………………
………(8分)
11
323=-+=136.……………………………………………………………………(2分) 20.
【
解
】
∵
DE BC
∥，
∴AD AE BD EC
=
，……………………………………………………(2分) 又∵
AD DE
BD EF
=，
∴AE DE EC EF
=
，…………………………………………
………………(2分) ∴
AB FC
∥，…………………………………………
……………………………………(2分) ∴AD AE FC EC =
，………………………………………………………………………………(2分)
∵2
3
AE AC =
，
2
1
AE EC =，……………………………………………
…………………………(1分)
∴2AD FC =.…………………………………………………………………………………(1分) 21.【解】(1)∵抛物线2
y ax
bx c
=++经过点()1,0，()3,0-，
()0,3，
∴
0,
930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪
-+=⎨⎪=⎩
…………………………………………
…………………………(3分) 解
得
1,2,3.a b c =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
………………………………………………
………………………(2分) ∴
抛
物
线
的
表
达
式
为
223
y x x =--+.…………………………………………
……(1分)
(本题若利用其他方法，请参照评分标准酌情给分)
(2)方法一：将抛物线向下平移3个单位，得到新的抛物线22
=--. ……(4分)
y x x
方法二：将抛物线向左平移1个单位，得到新的
抛物线()224
=-++.…(4分)
y x
方法三：将抛物线向右平移3个单位，得到新的
抛物线()224
=--+.…(4分)
y x
22. 【解】证明：(1)∵∠BCA＝∠ADE，又∠BFC ＝∠AFD，∴∠CBD＝∠CAD，……(1分)
又∵∠CBD=∠BAE，∴∠CAD=∠BAE，…………………………………………………(1分)
∴∠BAC=∠DAE，…………………………………………………………………………(1分)
∴△ABC∽△AED.…………………………………………………………………………(1分) (2)∵△ABC∽△AED，
∴AB AC
=，
AE AD
∴AB AE
=，…………………………………………
AC AD
………………(2分)
又∠BAE=∠CAD，∴△BAE∽△CAD，…………………………………………………(2分)
∴BE AB
=，
CD AC
∴AB
BE⋅
⋅.………………………………………
=
CD
AC
…………(2分)
23. 【解】(1)过点A作AF⊥OC，垂足为点
F.……………………………………………(1分) 在Rt△AFO中，∵37
∠=︒，AO=50cm，
AOF
∴50cos37
OF=⨯︒…………………………………………………………………………(2分)
=cm ………………………………………=⨯40
500.8
…………………………………(1分)
∴504010
CF=-=cm.……………………………………………………………………(1分)
答：小球达到最高点位置与最低点位置的高度差为10cm. ……………………………(1分)
(2)因为B点与A点的高度相同，所以B点与C 点的高度差为10cm，联结BF，BF⊥OC.
设OD长为x cm，……………………………………………………………………………(1分)
∵30
∠=︒，
∠=︒，∴60
BDC
BDE
∠=︒，90
ODE
∴()
=-，
DF x
40cm
()50cm
DB x =-，………………………………………
………(2分) 在Rt △DFB 中，()4050cos60x x -=-︒ ，……………………………………………(1分)
30x = ,∴30OD = …………………………………………………………(1分)
答：OD 这段细绳的长度为30cm.…………………………………………………………(1分)
24.【解】(1)∵抛物线c
ax ax y +-=32
，
∴3322a x a -=-=， ∴
对称轴是直线3
2
x =
，………………………………………………
………………(2分) ∵
()
0,1-A ，且
A
点在
B
点左侧，
∴()0,4B ，………………………………………(1分)
(2)∵2
==CO BO
AO CO ，∠COA =∠COB =90°，∴COA △∽BOC △，…………………(2分) ∴∠CAO =∠BCO . …………………………………………………………………(1分) (3)过点()0,4B ，()2,0C 的直线BC 表达式22
1+-=x y ，设D 点坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-221,m m ， ∵∠CAO +∠ACO =90°，∠CAO =∠BCO ，∴∠ACB =∠BCO +∠ACO =90°.
∴90ACB BED ∠=∠=︒.
当点D 在线段BC 上时， ∵
BDE
△与
ABC
△相似，
CBA
EDB ∠>∠，
∴∠EDB =∠CAO ，………………………(1分) ∵∠CAO =∠BCO ，又∠EDB =∠CDO ，∴∠BCO =∠CDO ， ∴CO =DO ， ∵CO =2，
∴
2
2
2
2221=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+m m ，……………………………………(1分) 解得01=m (
舍
)
，
5
8
2=
m ，
∴
⎪⎭
⎫ ⎝⎛56,58D .……………………………………………
……(1分)
当点D 在线段BC 的延长线上， ∵
BDE
△与
ABC
△相似，∠CAO =∠BCO ，∠BCO >∠BDE ，∴∠BDE =∠CBA ，……(1分) ∴DO =BO ，
∵BO =4
，
∴
2
2
2
4221=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+m m ，…………………………………
……(1分)
解得5
12
1
-=m ，
4
2=m (
舍
)
，
∴⎪⎭
⎫
⎝⎛-516,512D ，………………………………………(1
分)
综上所述，D 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛56,58或⎪⎭
⎫
⎝⎛-516,512. 25.【解】(1)∵AC ⊥BC ，O 是AB 的中点，∴CO =BO
，
∵∠ABC =60°，∴∠OCB =∠ABC =60°
，
∵AB =4
，
∴OB =BC =2，……………………………………………………………………(1分)
∵DOC △沿CO 翻折，点D 与'D 重合，∴'CD CD =，
'60OCB OCD ∠=∠=︒
，
∴'120DCD ∠=︒
，
∴
'180DCD ABC ∠+∠=︒
，
∴AB ∥'CD ，…………………………(1分)
又
1
l ∥
2
l ，∴四边形
'
ABCD 是平行四边
形，……………………………………………(1分) ∴
'
AB CD =，∴CD =AB =4，
∴DB =2，……………………………………………………(1分)
(2)①∵1
l ∥2
l ，O 是AB 的中点，∴1
1
==BO AO DB
AE ，∴AE =DB ，………………………(1分) ∵AB ∥'CD ，∴'NOB OD C ∠=∠， 又∠ODC ='OD C
∠，∴∠NOB =∠ODC ，……………………………
…………………(1分) 又∠DBO =∠DBO ，∴DBO △∽OBN △，………………………………………………(1分)
∴OB :BN =DB :OB ，∵AE =x ，DN =y ，OB =2，∴()
y x x +=2
2，………………………(1分)
∴
()
2402x y x x
-=<≤.……………………………………
…………………………(2分)
②过点O 作OH ⊥2
l ，垂足为点H ，∵OB =2，
∠ABC =60°，∴OH =3，
∵DON ∆的面积为32
3，∴32
321=⋅OH DN ，
∴3=y ，…………………………(1分)
当点E 在线段AM 上时，x x y 2
4-=， ∴
x
x 243-=
，解得
1
1=x ，
4
2-=x (舍)，
∴AE =1. …………………………………(1分) 当点E 在线段AM 的延长线上时，x
x y 4
2
-=，…………………………………………(1分)
∴x x 432
-=，解得
4
1=x ，
1
2-=x (舍)，
∴AE =4，…………………………………(1分) 综上所述，AE =1或4.
2015学年第一学期期末考试九年级数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1． 本试卷含四个大题，共26题；
2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一. 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．如图，在直角△ABC 中，90=∠C °，
BC =1，tan A=2
1, 下
列
判
断
正
确
的
是………………………………（ ） A ．∠A=30°； B ．AC =2
1； C ．AB =2； D ．AC
第1题
=2
2．抛物线
5
42+-=x y 的开口方
向………………（ ）
A ．向上；
B ．向下；
C ．向左；
D ．向右
3．如图，D 、E 在△ABC 的边上，如果ED ∥BC ，
AE ：BE =1：2，BC =6，
那么DE 的模为…………………………………
（ ）
A ．2-；
B ．3-；
C ．2；
D ．3．
4．已知⊙O 是以坐标原点O 为圆心，5为半径的
圆，点M 的坐标为)4,3(-，则点M 与⊙O 的位置关系为……………………………………（ ）
A ． M 在⊙O 上；
B ． M 在⊙O 内；
C ．M 在⊙O 外；
D ．M 在⊙O 右上方 5．如图，在RT △ABC 中，∠C =90°，∠A =26°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB 、AC 于点D 、
第3题
A B C
E
D
点E ，则的度数为……
（ ）
A ．26°；
B ．64°；
C ． 52°；
D ．128°．
6．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论 中正确的是……………………………………（ ）
A ．ac ＞0；
B ．当x ＞-1时，y ＜0；
C ． b=2a ；
D ．9a+3b+c=0．
二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7. 已知23=b a ，那么b b a -= ▲ ． 8. 两个相似比为1：4的相似三角形的一组对应
第5题 第6题
边上的中线比为 ▲ ．
9．如图D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，当 ▲ 时（填一个条件），△DEA 与 △ABC 相似．
10. 如图△ABC 中∠C=90°，若CD ⊥AB 于D ，且BD=4，AD=9，则CD= ▲ ．
11. 计算：=-+5)43(2 ▲ ．
12. 如图，菱形ABCD 的边长为10，
5
3
sin =
∠BAC ，
则对角线AC 的长为 ▲ ．
13. 抛物线4)3(22
+--=x y 的顶点坐标是 ▲ ．
14．若A(1，2)、B(3，2)、 C(0，5)、D(m ，5)
抛物线c
bx ax
y ++=2
图像上的四点，则m = ▲ ．
15．已知A （4，y 1）、B （-4，y 2）是抛物线2
)
3(2
-+=x y 的图像上两点，则y 1__▲__y 2．
B
A
16．已知⊙O 中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为 ▲ ．
17．如图，在等边△ABC 内有一点D ，AD =5，BD =6，
CD =4，将△ABD 绕A 点逆时针旋转，
使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，则∠CDE 的
正弦值为 ▲ ．
18．如图抛物线3
22
--=x x
y 交x 轴于
A(-1，0)、B （3，0），交y 轴于C （0，-3），M 是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y 轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB 在平移过程中扫过的面积为 ▲（面积单位）．
三、（本大题共8题，第19--22题每题8分；第
23、24题每题10分．第25题12分；第26题每题14分；满分78分） 19． 计算：o
o
o
o o 30cot 30cos 45sin 230tan 345tan 2--
第17题
第18题
20.已知某二次函数的对称轴平行于y 轴，图像
顶点为A(1，0)且与y 轴交于点B(0，1)． （1）求该二次函数的解析式； （2）设C 为该二次函数图像上横坐标为2的
点，记=OA a
u u u r r
，b 试用、表示．
21.如图是某个大型商场的自
动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC 的坡度为1:2，AC
的长度为55米，AB
楼面，EF 为二楼楼顶，当然有EF ∥AB ∥CD ，
D
E为自动扶梯AC的最高端C的正上方，过C 的直线EG⊥AB于G，在自动扶梯的底端A测得E的仰角为42°，求该商场二楼的楼高CE．
（参考数据42
sin°=32，cos42°=35，tan42°=552）
22.如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，若AC=2，
AE=3，CE=．求弧BD的长度．(保留 )
第22题
23．如图，D为△ABC边AB上一点，且CD分△ABC
为两个相似比为1：3的一Array对相似三角形．（不妨如图
假设左小右大）
求：（1）△BCD与△ACD
（2）△ABC的各内角度数．
24．本题共10分，其中（1）、（2）小题各5分
如图，△ABC 中，AB=AC=6，F 为BC 的中点，D 为CA 延长线上一点，∠DFE=∠B ；
（1） 求证：
EF
BF
DF CD =；
（2） 若EF ∥CD ， 求DE
的长度．
25．本题共12分，其中（1）、（4）小题各2分，（2）、（3）小题各4分 （1）已知二次函数
)
3)(1(--=x x y 的图像如图，
请根据图像直接写出该二次函数图像经过怎
样的左右平移，新图像通过坐标原点？ （2）在关于二次函数图像
第24题
第25
A
D
E
的研究中，秦篆晔同学发
现抛物线c
bx ax y +-=2
（0≠a ）和抛物
线c
bx ax
y ++=2
（0≠a ）关于y 轴对称，
基于协作共享，秦同学将其发现口诀化 “a 、
c
不变，b 相反”供大家分享，而在旁边补
笔
记的胡庄韵同学听成了 “a 、c
变”，并按此法误写，然而按此误写的抛物线
恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物线)3)(1(--=x x y 的对
称图形的解析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况。

（3）抛物线)3)(1(--=x x y 与x 轴从左到右交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，M 是其对称
轴上一点，点N 在x 轴上，当点N 满足怎样的条件，以点N 、B 、C 为顶点的三角形与△MAB 有可能相似，请写出所有满足条件的点N 的坐标．
（4）E 、F 为抛物线)3)(1(--=x x y 上两点，且E 、F
关于D )0,2
3
(对称，请直接写出E 、
F两点的坐标．
26．本题共14分，其中（1）、（2）、（3）小题
各4分，（4）小题2分
如图点C在以AB为直径的半圆的圆周上，若
AB= 4，∠ABC=30°，D为边AB上一动点，点
E和D关于AC对称，当D与A重合时，F为
EC的延长线上满足CF=EC的点，当D与A不
重合时，F为EC的延长线与过D且垂直于DE
的直线的交点,
（1）当D与A不重合时，CF=EC的结论是否成立？试证明你的判定。

,
（2）设AD=x，EF=y，求y关于x的函数及其定义域；
（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上时，
求出此时AD的值；如不存在，则请说明理
由．
（4）请直接写出当D从A运动到B时，线段EF
扫过的面积．
第26题
2015学年第一学期期末考试九年级数学评分参考
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1． D ； 2． B ； 3． C ； 4．A ； 5． C ； 6． D.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．21； 8．1:4； 9．B AED ∠=∠等； 10．6； 11．b a 8+； 12．16；
13．)4,3(； 14．4； 15．＞； 16．13； 17．873； 18． 9.
三、简答题（本大题共8题，第19--22题每题8分；第23、24题每题10分．第25题12分；第26题每题14分；满分78分） 19．
解：原式
=
3
)23(2
2
233312
-
-⋅
……………………5分
=
4323-
+=2
34
3+. ……………
……8（2+1）分
20．解：对称轴平行于y 轴，图像顶点为A(1，0) 的2
)1(-=x a y ………2分
将B(0，1)代入易知1=a ，因此所求二次函数为2
)1(-=x y ……4分
∵1
)2(=f ，∴C
（2,1）． ……………………
………6分
∴
OC
=b a +2 …………
…………………8分
21. 解：∵EH ⊥AB ,EF ∥AB ∥CD ，E 为自动扶梯AC 的最高端C 的正上方，
∴EC ⊥CD,
……………………………2分
∵在直角△ACH 中，AC 的坡度为1:2，
AC=55，
∴CH=5
，
AH=10， …………………
…………5分
∵在直角△AEH 中∠EAH=42° ∴EH=AH 5
442
tan tan 0
=⋅=∠⋅AH EAH ，………
……………7分
∴EC=
5
54-
……………………………8分 22.解：∵△ACE 中，AC =2，AE =3，
CE =，
∴
AC 2
=12=AE 2
+CE 2
…………
………………2分
∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD （E
为垂足）
在直角
△
AEC 中，
2
1
sin ==
AC CE A ，
∴∠A =30°……4分
联接
OC ，∵O
A
=OC
∴∠COE =2∠A =60°
∴
=sin ∠COE
，
解
得
OC =2 …………………6分
E O A
C
D
∵AE ⊥CD ，∴==
ππ3
2
180260=⋅．…………………8分 其他方法，请参照评分.
23.（1）一对相似比为1：3的△BCD 与△ACD 的面积比为1：3……………4分
（2）如图， ∵∠ADC ＞∠B （∠ADC ＞∠BCD ），∴∠ADC=∠CDB =90°
∴斜边BC 和AC 为这对相似三角形的对应边 ………………………6分
若∠B=∠A ，则BC=AC ，这样和BC ：AC=1：3
（相似比）矛盾． ∴∠BCD=∠A ，
∠C
=90° (8)
分
∵在直角△A B C 中，A tan =3
3=AC BC
∴∠A=30
°
∠B=60° ……………………10分
△ABC 的各内角∠A=30°∠B=60°∠C =90° 其他方法，请参照评分. 24.
(1)∵AB=AC
∴∠B=∠C …………………
A
E
…1分
∵∠DFB =∠C+∠CDF,∠DFE=∠B=∠C ………2分 ∴∠CDF=∠EFB ……………………3分
∴△BEF
∽
△CFD ……………………4分
∴EF
BF
DF CD =
……………………5分
(2) ∵EF ∥CD ， ∴∠EFB=∠C
∵∠CDF=∠EFB, ∴∠CDF=∠C ……………………6分
∵F 为BC 的中点，∴E 为AB 中点，
FB=FC=FD …………7分
联
接
DB
，
∠FDB =∠
FBD ； ……………………8分
∴∠CDB=
=2
1800
90°， DE=
2
1AB=3 ……………………10分 其他方法，请参照评分.
25．解：（1）二次函数)3)(1(--=x x y 的图像向左平移1个或3个单位，新图像通过坐标
原
点………………………………………………………………2分
（2）小胡所写的抛物线为
3
42---=x x y ，…………………………
…4分
其图像与原抛物线（3
42
+-=x x
y ）的
图像关于坐标原点对称。

……6分 （3）∵M 是抛物线对称轴上一点
∴△MAB 为等腰三角形
当以点N 、B 、C 为顶点的三角形
等腰时才可能为与△MAB 相似，…7分
当NB=NC 时，易知N )
0,0(1
当CN=CB 时，易知N
)
0,3(2
-
当BC=BN 时，易知N
)
0,233(3
+和N
)
0,233(4
-………………10分
（4）上述抛物线上点)2
3
,2
33(-+和（2
3,233-）
关于D )0,2
3(对称．…12分 其他方法，请参照评分.
26. (1)结论成立，连接CD ，如图1所示．
∵点E 与点D 关于AC 对称，∴CE =C D ．……1分 ∴∠E =∠CDE ． ………………2分 ∵DF ⊥DE ，∴∠E +∠F =90°，∠CDE +∠CDF =90°．
∴∠F =∠CDF ． ………………3分 ∴CD =CF ． ∴CE =CD =CF ．………………4分
(2)由(1)得EF=2CD ， 过C 作CH ⊥AB 于H ，……5分
∵AB= 4，∠ABC=30°，
即如图3，联接OC ，AO=CO,BO=CO ， ∠ACB= ∠A+∠B=
2
180
=90°…………………6分 设AD=x ，AH=1，CH=3，DH=1
-x （或x -1）
在直角△CDH 中4
2222+-=+=
x x DH CH CD (7)
分
∴
4
222+-=x x y （其中
)
40≤≤x ……………8分
(3)∵根据题意点E 与点D 关于AC 对称，
点F 与点D 关于BC 对称， ∴∠OAE=120，∠OBF=60
∴E 不可能恰好落在弧
AC ， ……………10分
当F 恰好落在弧BC 上时，△BDF 为等边三角形
E
A C
H D F
E
C
A
F
D。