数列练习题

高二期末复习数列练习题1
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则2011是这个数列的 ( )
A ．第1006项
B ．第1007项
C ． 第1008项
D ． 第1009项
2．在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于 （ ） A ．1023 B ．1024 C ．511 D ．512
3．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a （ ） A ． 33 B ． 72 C ． 84 D ． 189
4．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（ ）
A ．23-
B ．13-
C ．13
D ．2
3
5．记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =，且公差不为0，则当n s 取最大值时，=
n （ )
A ．4或5
B ．5或6
C ．6或7
D ．7或8
6．在等差数列}{n a 中，前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则其前3n 项的和为（ ） A ． 130 B ． 170 C ． 210 D ． 260
7．在等比数列}{n a 中，10a <，则数列}{n a 是递增数列的充要条件是公比q 满足（ ） A ． q ＞１ B ． q ＜１ C ． ０＜q ＜１ D ． q ＜０
8．若一个有穷等差数列前三项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 （ ） A ． 12 B ． 13 C ． 14 (D) 15
9．在数列}{n a 中，140a =-，13n n a a +=+，则这个数列前30项的绝对值之和为（ ） A ． 679 B ． 765 C ． 469 (D) 576 10．若数列 123,,,,,n a a a a 是公比不为1的等比数列，且n a ＞０，则下列四个数列：①
12lg ,lg ,,lg ,
n a a a ②
122,2,,2,
n a a a ③
12231,,,,
n n a a a a a a +④
12231,,,,
n n a a a a a a ++++．其中等比数列的个数为 （ ）
A ．０
B ．１
C ．２
D ．３
11．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为（ ） A ．)(2*N n a n n ∈= B ． ⎩⎨
⎧≥==)
2(2)1(3n n a n
n
C ． )(2*1N n a n n ∈=+
D ． 以上都不正确
12．某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们
的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨
⎧=.
,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij , 其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，
则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ） A ． k k a a a a a a 2222111211+++++++ B ． 1121112222k k a a a a a a +++++++
C ． 2122211211k k a a a a a a +++
D ． k k a a a a a a 2122122111+++
二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．设{n a }为公比q>1的等比数列，若2011a 和2012a 是方程2
4830x x -+=的两根，则
20152016a a +=______________．
14． 已知数列}{n a ．}{n b 都是等差数列，01=a ，41-=b ，用k S ．k S '分别表示数列
}{n a ．}{n b 的前k 项和（k 是正整数），若0='+k k S S ，则k k b a +的值为
_______________________．
15．对于每个自然数n ，抛物线2
2
()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于,n n A B 两点，则
112220052005A B A B A B +++的值为_____________________．
16．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100
b 100＝
_____________________．
高二期末复习数列练习题1
一．选择题：
二．填空题：
13．_____________________ 14．______________ 15．___________ 16．___________
三．解答题:本大题共6 个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =2
11
n a -(n ∈N *
)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（12分）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明.11
1112312<-++-+-+n
n a a a a a a
19．（12分）设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且
112211,()a b b a a b =-=．
（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
（Ⅱ）设n
n
n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T ．
20．（12分）2a ,5a 是方程2
x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列，
数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 2
1
1-
=n b ()
*∈N n ． (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S ．
21．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．
22．（12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21
441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列． (1)
证明：2a =
(2) 求数列{}n a 的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数n ，有1223
111
11
2
n n a a a a a a ++++
<．
高二期末复习数列练习题1答案
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

BACDC CCBAC BC
二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

13．162 14．4 15．2005/2006 16．
199299
三．解答题:
17．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
11
27
21026a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)
3n+22
⨯=2n +2n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =
21
1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1
⋅，
所以n T =
111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n
4(n+1)
，
即数列{}n b 的前n 项和n T =n
4(n+1)。

18．（I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d ．
由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1．
所以,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=n n a （II ）证明因为
n
n n n n a a a 21
21111=
-=-++， 所以
n n n a a a a a a 2
1
21212111132112312++++=-++-+-+
.12112
1121212
1<-=-⨯
-=n n
19．解：（1）：当;2,111===S a n 时
,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当
故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列． 设{b n }的公比为.4
1,4,,11=
∴==q d b qd b q 则 故.4
2}{,4
121
1
1
1---=⨯
-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即
（II ）,4)12(422411
---=-==n n n
n n
n n b a c
]
4)12(4
)32(454341[4],4)12(45431[1
3
2
12121n
n n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--
两式相减得
].
54)56[(9
1
]
54)56[(31
4)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T
20．解：(1)由27,125252==+a a a a ．且0>d 得9,352==a a
23
2
5=-=
∴a a d ,11=a ()
*∈-=∴N n n a n 12 在n n b T 211-
=中,令,1=n 得.321=b 当2≥n 时,T n =,211n b -112
1
1---=n n b T ,
两式相减得n n n b b b 21211-=
-,()23
1
1≥=∴-n b b n n ()
*-∈=
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=∴N n b n n n 3
2
31321
． (2)()n n n n n c 3
243212-=⋅
-=,
⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=∴n n n S 312353331232 ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+++=+1323123323331
23n n
n n n S , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∴+132312313131231232n n n n S =2⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---
⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯++-11
31231131191231n n n
=1134
43
43123131312+++-=⎪⎭⎫
⎝⎛---+n n n n n ,
n
n n S 32
22+-
=∴
21．解：（Ⅰ）
12n n a S +=， 12n n n S S S +∴-=，
1
3n n
S S +∴
=． 又111S a ==， ∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ．
当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==≥，
21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩， ，，≥．
（Ⅱ）12323n n T a a a na =++++，
当1n =时，11T =；
当2n ≥时，0121436323n n T n -=+++
+，…………①
12133436323n n T n -=+++
+，………………………②
-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-++++
+-
213(13)
222313
n n n ---=+--11(12)3n n -=-+-．
1113(2)22n n T n n -⎛⎫
∴=
+- ⎪⎝⎭
≥． 又111T a ==也满足上式，
1*113()22n n T n n -⎛⎫
∴=
+-∈ ⎪⎝⎭
N ．
22．【解析】（1）当1n =时，22
122145,45a a a a =-=+
，20n a a >∴=
（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22
114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2
221442n n n n a a a a +=++=+,
102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列．
2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2
222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=
21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列．
∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-． （3）
()()
1223
111
1111
1
133557
2121n n a a a a a a n n ++++
=++++
⋅⋅⋅-+
11111111123355721211111.2212
n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦。