江西省2012届高三数学 考前适应性训练试卷9 理

江西省2012届高三考前适应性训练数学试卷理科9
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卷相应的位置．．．．．．．．） 1.已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><< 为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长 为2的等边三角形，则(1)f 的值为
A ．3
B ．6
3 D.3
2.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为
A ．89
B ．910
C ．1011
D ．1112
3.已知抛物线2
2(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线
22
21x y a
-=（)0>a 的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是
A ．
125
B ．
19 C ．15 D ．13 4.已知复数z 的共轭复数是i
i
+-122，则复数z 等于
A.i 2
B.i 2-
C.
D.i -
5.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何 体的体积为
24,则正视图中a 的值为
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2 6.设函数n
a x x f )
()(+=，其中⎰
=2
cos 6
π
xdx n ，
3)
0()
0(-='f f ，则)(x f 的展开式中4x 的系数为 A ．-360 B.360 C.-60 D.60
7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则
15
1522
11,,,a S a S a S 中最大的是 A ．
66a S B ． 77a S
C ． 88a S
D ．99a S
8.已知点⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+14
),(x x y y x y x P 满足，过点P 的直线与圆1422=+y x 相交于B A ,两点，则
AB 的最小值为
A .2
B .62 52.
C 4.D
9.已知集合A=
{}直线，B={},,B b A a B A C ∈∈=，若，平面 C c ∈,则下列命
题中正确的是
A ．c a b
c b a //⇒⎩⎨
⎧⊥⊥ B ．c a b
c b a //////⇒⎩⎨⎧
C ．c a b c b a ⊥⇒⎩⎨
⎧⊥// D ．c a b
c b a ⊥⇒⎩⎨
⎧⊥// 10.已知)(x f 是R 上的偶函数，若将)(x f 的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的
图象，若1)2(-=f ，则)2011()3()2()1(f f f f ++++ 的值为
A ．－1
B ．0
C ．1
D ． 不能确定
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案．．．填．在．答题卷中的横线上．．．．．．．．） 11.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：
则至少有▲▲▲ 的把握认为喜爱打篮球与性别有关？（请用百分数表示）
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20()P K k >
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50
0k
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
12.已知向量))(sin 2,cos 2(),1,1(),1,1(R ∈=-==ααα，实数,m n 满足
,ma nb c +=则22(3)m n -+的最大值为▲▲▲ .
13.若函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且，满足对任意的1x 、2x ，当2
21a
x x ≤
<时，0)()(21>-x f x f ，则实数a 的取值范围为▲▲▲ .
14.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{}*
()n a n N ∈的前12项，如
下表所示：
按如此规律下去，则
200920102011a a a ++=▲▲▲ .
15.本题是选做填空题,共5分，考生只能从两小题中选做一题,两题全做的,只计算第一小题
的得分.把答案填在答题卷相应的位置．．．．．．．．.． （A ）（参数方程与极坐标选讲）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，过极点O
的一条直线与圆C 相交于O 、A 两点，且∠︒=45AOX ，则OA =▲▲▲ .
（B ）(不等式选讲）要使关于x 的不等式31≤-+-a x x 在实数范围内有解，则a 的取值
范围是▲▲▲ .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
已知函数()3cos cos 133f x x x x ππωωω⎛⎫
⎛⎫=++
+-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭（0>ω，R x ∈）
，且函数()f x 的最小正周期为π．
(1)求函数()f x 的解析式并求()f x 的最小值；
(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若()f B =1，92
BA BC ⋅=
,且33a c +=b ．
17.（本小题满分12分）
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 1x 1y 2x 2y 3x 3y 4x 4y 5x 5y 6x 6y
某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：
根据上表信息解答以下问题：
(1)从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数1)(2
--=x x x f η 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；
(2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分
布列及数学期望ξE . 1
8
.
（
本
小
题
满
分
1
2
分
）
在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，ADC ∠=90°,1AB AD PD ===，2CD =. （1）求证：BC ⊥平面PBD ； （2）设E 为侧棱PC 上一点，PE PC λ=，试确定λ的 值，使得二面角P BD E --的大小为45°.
19.（本小题满分12分）
已知函数)(ln )(2
R a x ax x x f ∈-+=
(1)若函数)(x f 在区间[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；
(2)令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当(]e x ,0∈时，函数)(x g 最小值为3．若存在，
求出a 的值；若不存在，说明理由．
20.（本小题满分13分）
已知直线与抛物线2
4x y =相切于点P （2，1），且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为（2，0）. (1)若动点M 满足20AB BM AM ⋅+=，求点M 的轨迹C 的方程；
休假次数
2 3 人数 5
10
20 15
(2)若过点B 的直线l '（斜率不等于零）与(1)中的轨迹C 交于不同的两点F E ,
（E 在F B ,之间），试求OBE ∆与OBF ∆面积之比的取值范围.
21.（本小题满分14分） 已知在数列{}n a 中，2
1
1=a ，n S 是其前n 项和，且)1(2--=n n a n S n n . (1)证明：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+n S n n 1是等差数列； （2）令)1)(1(n n a n b -+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T . ①求证：当2≥n 时，)32(
23
22
n
T T T T n n +++> ； ②）求证：当2≥n 时，1
21
54221+-
<+++++n b b b n n n .
参考答案
一、选择题
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 答案
D B
D
B
B
D
C
D
C
A
二、填空题
11、99.5％ 12、16 13、)32,1( 14、1005 15、（A ）2 （B ）[-2,4] 三、解答题：
16
、解（１）()cos 12sin 16f x x x x πωωω⎛⎫+-=+- ⎪⎝
⎭，
由
2π
πω
=得2ω=，……… 3分
所以()2sin(2)16
f x x π
=+-，
所以min (),()33
x k k Z f x π
π=-
∈=-时 ………6分
（２）由f (B)= 1得2sin(2)116B π
+
-=，解得6
B π
=
………8分
又由92BA BC ⋅=知9
cos 2
ac B =
，所以ac =………10分
由余弦定理知
22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--
=(
2
3223+-⨯-⨯=
所以b =
……… 12分 (或由3a c +=
ac =3,33,3===
=b a b a 或
2222cos 39233b a c ac B =+-=+-⋅=,3=∴b ) 17、解:(１) 函数()2
1f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必
有(4)0(6)0f f <⎧⎨
>⎩即：1641036610
ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：1535
46η<<
所以，4η=或5η= …………3分
当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11
201522
5012
49
C C P C == 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式
所以126812128
24549245P P P =+=
+=
…………6分 (２) 从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3， …………7分
y
x
于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===，111111
510102015202
5022
(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===，11
5152
503
(3)49C C P C ξ===
…………10分 从而ξ的分布列：
ξ的数学期望：0123749494949
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分
18、解：
（1）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD. 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D —xyz . 则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，2，0）， P （0，0，1） ………6分
).0,1,1(),0,1,1(-==BC DB
所以
,,0DB BC DB BC ⊥=⋅
又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ， 所以BC ⊥平面PBD. ………8分
（2）平面PBD 的法向量为),0,1,1(-=
)1,0(,),1,2,0(∈=-=λλ，所以)1,2,0(λλ-E ，
设平面QBD 的法向量为n =（a ，b ，c ），)1,2,0(),0,1,1(λλ-==DE DB 由n 0=⋅，n 0=⋅，得 所以，⎩⎨
⎧=-+=+0
)1(20
c b b a λλ
∴)12,1,1(--=λλn ，………………………………………10分
由C
B n C
B n ⋅=4cos π解得12-=λ…………………………12分
（用传统方法解得答案酌情给分） 19、解：（1）由条件可得01
2)(/≤-
+=x
a x x f 在[]2,1上恒成立， 即x x a 21-≤在[]2,1上恒成立，而x x
y 21
-=在[]2,1上为减函数，
所以2
7
)21(
min -=-≤x x a 故a 的取值范围为⎥⎦
⎤ ⎝
⎛-∞-2
7,………………5分
（２）
设满足条件的实数a 存在，
x ax x g ln )(-= x
ax x a x g 1
1)(/-=
-
= (]e x ,0∈， 01 当0≤a 时，0)(/
<x g ，)(x g 在(]e x ,0∈上递减，3)()(min ==∴e g x g ，
即有e a 4
=
（舍去）………………………７分 02 当e a ≥1，即e
a 1
0≤<时，0)(/<x g ，)(x g 在(]e x ,0∈上递减，
3)()(min ==∴e g x g ， 即有e
a 4
= （舍去）…………………９分
03 当e a <<10即e a 1>时，令0)(/<x g ，解得a x 1
0<<，则有
)(x g 在)1,0(a 上递减，在],1
(e a
上递增
3ln 1)1
()(min
=+==∴a a
g x g ，即有2e a = ………………………１１分
综上，满足条件的实数a 存在且为2e a =………………………１２分 20、解：（１）由2214,4x y y x ==得1
.2
y x '∴= 故的方程为1,y x =-∴点A 的坐标为（1，0） ………………………2分 设(,),(1,0),(2,),(1,)M x y AB BM x y AM x y ==-=-则
由20(2)00AB BM AM x y ⋅+=-+⋅+=得
整理2
212
x y += ………………………………………………………4分
（２）如图，由题意知l '的斜率存在且不为零，设l '方程为2x my =+
代入2
212
x y +=，整理，得 22(2)420,m y my +++= 由202>>∆m 得 ……………7分
设11(,)E x y ．22(,)F x y ，
则12212242,22m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．９分
令,OBE
OBF S S λ∆∆=则2121y y BE BE ==
λ，代入上式可得)8,4(2
82122∈+=++m m λλ
解得31,λ-<<
另解：设l '方程为(2)(0)y k x k =-≠①
将①代入2
212
x y +=，整理，得
222221
(21)8(82)0,00.2
k x k x k k +-⋅+-=∆><<由得 ．．．．．．．．．．． 7分
设11(,)E x y ．22(,)F x y ，
则21222
122821
,8221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
②
令,,OBE OBF BE S S BF
λλ∆∆==则
由此可得122
,,0 1.2x BE BF x λλλ-=⋅=
<<-且 由②知122
4
(2)(2),12x x k
--+-=
+
1212122
2
(2)(2)2()4,12x x x x x x k -⋅-=-++=
+
2221(1)8
k λλ+∴=+，
即2
241
.(1)2
k λλ=
-+ ………………………………………………………11分
21
0,2k << 2
4110,(1)22
λλ∴<-<+
解得33λ-<<+
又
01,31,λλ<<∴-<<
OBE OBF ∴∆∆与面积之比的取值范围是(3-…………………13分
21、解：由条件可得)1()(12---=-n n S S n S n n n ，)1()1(22-=--n n S n S n n
两边同除以)1(-n n ，得：
11
11=--+-n n S n n
S n n 所以：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+n S n n 1成等差数列，且首项和公差均为1………………4分 （2）由（1）可得：n S n
n n =+1
，
12+=n n S n ，代入)1(2--=n n a n S n n 可得)1(11+-=n n a n ，所以n b n 1=
，n T n 1
31211++++= .………………………6分 ①n b n 1= 当2≥n 时，111
T ,1--=-=-=n n n n n T n
n T T b 即
平方则22
122122
1212n
n T T T T n n T T n n n n n n -=-∴=+-
-- 叠加得)1
3121()32(
21222322
n
n T T T T n n +++-+++=- )121(1)32(
222322
n
n T T T T n n ++-++++=∴ 又
n n n
)1(1
321211131212
22-++⨯+⨯<+++ =11
11113121211<-=--++-+-
n
n n )32(
23
22
n
T T T T n n +++>∴ ………………………………9分 ②当2=n 时，5
1
54413143-<+=
+b b 即2=n 时命题成立 假设)2(≥=k k n 时命题成立，即
121
54212111+-
<+++++k k k k 当1+=k n 时， 221
1211112154221121213121++
+++-+-<+++++++++k k k k k k k k k =3
215422154+-
<+-k k 即1+=k n 时命题也成立
综上，对于任意2≥n ，12154221+-<+++++n b b b n n n ………………14分。