对高中数学“立体几何中的向量方法”一节例题教学的建议

对高中数学“立体几何中的向量方法”一节例题教学的建议
——浅谈法向量在立体几何中的应用
人民教育出版社课程教材研究所与中学数学课程教材研究开发中心编著的《普通高中课程标准实验教科书选修2-1》第三章空间向量与立体几何，第2小节立体几何中的向量方法一节，教科书通过安排了“思考”、“探究”等栏目，讨论用向量表示空间中的点、直线与平面的位置，介绍了直线的方向向量与平面的法向量，以及用向量表示空间中直线、平面平行、垂直及夹角等，在此内容之后配套了相关的练习，为用向量方法解决立体几何问题作了铺垫.教科书接下来通过四个逐步深入展开的例题讨论本节主题，即立体几何中的向量方法，其中例1、例2直接利用向量运算，例3、例4把向量方法与坐标方法相结合，最后以框图形式引导学生进行小结，使学生对本节内容主题的认识进一步深化，提高抽象概括能力.本节内容能很好使学生理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法（三步曲）.
但笔者认为，教科书本节内容中的例题4，在教学中可以更好地加以整合及补充，以进一步提高学生解决空间几何问题的能力.以下就例题4及其相关的建议及整合补充进行说明：
Ⅰ 例题4再现 例4 如图1，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，点E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F . ⑴求证：PA //平面EDB ； ⑵求证：⊥PB 平面EFD ；
⑶求二面角D PB C --的大小. 解：如图2所示建立空间直角坐标系，点D 为坐标原点， 设1=DC . ⑴证明：连接AC ，AC 交BD 于点G ，连接EG .
依题意得 ()0,0,1A ，()1,0,0P ，⎪⎭
⎫
⎝⎛21,21,0E .
因为底面ABCD 是正方形，所以点G 是此正方形的
中心，
故点G 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛0,21,21，
且()1,0,1-=PA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,0,2
1
EG .
所以2=，即PA //EG .
而⊂EG 平面EDB ，⊄PA 平面EDB ，因此PA //平面EDB
⑵证明：依题意得()0,1,1B ，()1,1,1-=, 又⎪⎭
⎫
⎝⎛=21,21,0，
故02
1
210=-+
=•, 所以DE PB ⊥ 由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，
所以⊥PB 平面EFD .
⑶解：已知EF PB ⊥，由⑵可知DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角D PB C --的平面角， 设点F 的坐标为()z y x ,,，则()1,,-=z y x .
因为PB k PF =，所以()()()k k k k z y x -=-=-,,1,1,11,,，即k x =，k y =，k z -=1，
A
B
C D
P
E F 图1
因为0=•，所以()()01311,,1,1,1=-=+-+=-•-k k k k k k k ， 所以31=
k ，点F 的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛32,31,31， 由点E 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,0，所以⎪⎭
⎫
⎝⎛--=61,61,31，
因为21
3161
3
66632,31,3161,61,31cos ==⨯
⎪
⎭⎫ ⎝⎛---•⎪⎭⎫ ⎝⎛--==
∠EFD ， 所以︒=∠60EFD ，即二面角D PB C --的大小为︒60.
Ⅱ 关于例4的建议
自2004年以来，全国轰轰烈烈进行着高中新课程改革，向量是此次新课程增加的基础内容之一.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角.它的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.
例4的三个小问，分别涉及证明直线与平面平行、垂直，计算二面角的大小，这三个方面的问题都可以利用向量解决.前两问的证明教材使用坐标法，由向量表示转到有关判定定理.该问在教学时教师可以组织学生讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性.第⑶小问教科书采用了先找出所求二面角的平面角，再用向量方法通过求平面角的大小来求二面角的大小.
但笔者在教学的过程中，发现对于求二面角的第⑶个小问，学生不容易由第⑵问得到EFD ∠就是二面角的平面角，而且该问如果没有第⑵小问做铺垫，学生不容易找出该二面角的平面角.笔者认为，本小节前面教科书花了较大篇幅介绍并学习了直线的方向向量及平面的法向量，这两种向量的利用在解决一些问题时能够把复杂的问题简单化，尤其是在解决有关二面角的问题时，平面的法向量的利用能让许多不擅长分析证明，擅长计算的学生多了一种解题的选择，因为用法向量去求二面角的大小可以不用找出或构造出二面角的平面角并证明求解，它只需通过计算并观察就可求出二面角的大小，所以如果教师在教学时就适当给学生补充利用法向量解题的例子，学生可以在掌握之后并加以使用必能提高解题效率.所以，笔者在上述教材分析之后，补充了该小问法向量的教学，其解法如下：
依题意，有()10,0C ，()01,0P ，()10,1B ，()0,0,0D 则()1,1,1-=，()1,1,0-=，()1,0,0-= 设()z y x ,,=为平面PBD 的一个法向量，
则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0
0 即⎩⎨⎧=-+=00z y x z 解得⎩⎨⎧=-=0z y x ,
令1=x ，得()0,1,1-=为平面PBD 的一个法向量. 同法可求平面PBC 的一个法向量为()1,1,0=n .
∴21
221
-=⋅-=
=
， 根据图形可观察得到二面角D PB C --是锐二面角，
∴二面角D PB C --的大小为︒60.
总之，设、分别是二面角βα--l 的两个面α、β
的法向量，则=
就是
二面角的平面角或其补角.
Ⅲ关于例题4的补充
在笔者随机翻阅的07、08两年共38套的高考题中，有22套高考题均有考核二面角的大小或其三角函数.所以教师应在平时多给学生时间练习有关二面角的习题，对学生在考试中立体几何方面多拿分将有所帮助.此外，38套高考题中，均有不同程度地考核到求线面角、点面距等有关问题.故笔者认为，继第⑶小问之后，教师可以补充以下几个小问，即：
⑷求面DEF 与面ABCD 所成角的余弦值.
该问求的是面与面所成的角，传统的解法是通过在两个相交平面的交线取点做平面角来求面面角.但该问题中的两个平面即面DEF 与面ABCD 无交线，通过找出两平面的平面角来解决问题比较困难，所以它是利用法向量解决面面所成角问题的一个很好的例子.其解法如下：
由已知⊥PD 底面ABCD ，可得PD 为面ABCD 的一个法向量， 由⑵可知PB 为面EFD 的一个法向量， ∵()1,0,0-=，()1,1,1-=，
∴3
33
11=⨯=
， 即面DEF 与面ABCD 所成角的余弦值为
3
3 总之，两平面所成角的大小与二面角的大小均可以通过构造所成角的平面角来求，但当构造平面角较难时，就可以利用平面的法向量来求.但要注意的是两个平面所成的角一定是不大于︒90的角，而二面角是两个半平面所成的角，其取值范围是[]︒︒180,0，有时不易判断两半平面法向量的夹角的大小是与二面角的大小是相等的还是互补的，但由于二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的，所以我们完全可以根据图形观察得到结论.
由上可见，用向量法求面面夹角可大大降低思维难度，用法向量求角的大小又可以省去烦琐的作图过程，最终把抽象的空间想象全部转化为代数运算.
⑸求直线CE 与面DEF 所成的角的余弦值.
该问是求线面所成的角，求线面角的传统方法是要先在平面上做出斜线在平面内的射影，斜线与射影所成的角就是该直线与平面所成的角.而用向量法求直线与平面所成的角，可避开找角的困难，只要计算上不失误就可以正确求出角的大小.
该问用向量法的解题过程如下：
由⑷知是面DEF 的一个法向量，且()1,1,1-=， 又∵⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-=21,21,0，
∴()362
6121321121101-=-=⨯
⨯
-+⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯+⨯==，
设直线与平面DEF 所成角为θ，
则
3
6
sin=
=
θ，
∴
3
3
3
2
1
sin
1
cos2=
-
=
-
=θ
θ，
∴直线与面DEF所成角的余弦值为
3
3
.
总之，用向量法解线面角问题时有这样的结论：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为ϕ
，则有=ϕ
θcos
sin或ϕ
θsin
cos=.
⑹求点C到面DEF的距离.
该问是求点到平面的距离，这类问题传统的解决方法是过该点做平面的垂线段，垂线段的长度即为所求的点到平面的距离.而用法向量求点到平面的距离，垂线段常常不必作出来，只需设出垂线段对应的向量或平面的法向量，利用公式即可求解.
该问的解答如下：
∵⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
2
1
,
2
1
,0
CE，()1,1,1-
=
PB，
∴点C到面DEF
的距离
3
3
3
1
=
=
d.
总之，用向量法求点面距的一般求法是，先求出该平面的一个法向量，然后找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量，最后求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.即设n是平面α的法向量，AB是α的一条斜线，α
∈
A，则点B
到平面的距离d=.
求直线与平面的距离时，如图，直线a//平面α，因直线a上任一点到平面α的距离与直线a到平面α的距离相等.故直线a与平面α
的距离为d=，其中A为直线a上任一
点，B为平面α内任一点，为平面α的法向量.求平面与平面的距离类似以上分析.
总之，直线和平面的距离与两平行平面的距离可转化为点到平面的距离来求.
随着新教材的推广使用，利用向量解决立体几何一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点.在笔者翻阅的07、08年的高考题中，立体几何题均不同程度考核到了有关证明线线、线面、面面垂直与平行，求二面角的大小（或其三角函数值），求线面角、异面直线所成的角等问题，这类问题均可以利用空间向量解决.可见空间向量的引入，为解决立体几何中某些用综合法解决时技巧性较大、随机性较强的问题提供了一些通法.所以，教师更应在课堂教学中加强法向量的应用.
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