高二理科数学选修2-1期末质量检测试题(卷)含答案

高二理科数学选修2-1期末质量检测试题（卷）含
答案
本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题. 满分150分，考试时间100分钟.
第一部分（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. “46k <<”是“方程
22
164
x y k k +=--表示椭圆”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线2
4y x =仅有一个公共点，这样的直线有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3．下列命题：
①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件；
③“任意32,10x R x x ∈-+„”的否定是“任意32
,10x R x x ∈-+>”；
④“若,a b >则221a b >-”的否命题为“若a b „，则221a b -„”； 其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311488
OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
，则P ，
A ，
B ，
C 四点( )
A ．不共面
B ．共面
C ．共线
D ．不共线
5．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的
中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA uu u r 、OB uuu r 、OC uuu r
表示向量OG uuu r
是( )
A ．111633
OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
B ．112633OG OA OB O
C =++u u u r u u u r u u u r u u u r
C ．2233OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
D ．122233
OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
6．已知(4,2)是直线l 被椭圆
22
1369
x y +=所截得的线段的中点，则l 的方程是( ) A. 280x y ++=．280x y +-= C ．280x y --= D ．280x y -+=
7．若椭圆22221x y a b
+=过抛物线x y 82=的焦点，且与双曲线12
2=-y x 有相同的焦
点，则该椭圆的方程是( )
A ．
12422=+y x B ．1322=+y x C ．14222=+y x D ．1322
=+y x 8．已知直线1+-=x y 与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A 、B 两点，若椭圆的离
心率为2
2，焦距为2，则线段AB 的长是( )
A. 223 B ．423
C ．2
D ．2
9．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线22
1y x m
+=的离心率是( ) A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或5
10．设p ：211x -?，q :()[(1)]0x a x a --+…，若q 是p 的必要而不充分条件，
则实数a 的取值范围是( )
11．已知椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点,B F 为其右焦
点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范
围为( )
A. ]13,22[
- B. )1,22[ C. ]23,22[ D. ]3
6,33[
120,0)a b >>的左顶点与抛物线2
2y px =的焦点的距离
为4(2,1)--，则双曲线的
焦距为( )
A. 第二部分（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
13. 椭圆
22
259
x y +＝1的两焦点为1F 、2F ，一直线过1F 交椭圆于P 、Q ，则2PQF ∆的周长为________． 14．已知下列命题：
①命题“存在x R ∈，213x x +>”的否定是“任意x R ∈，213x x +<”； ②已知p ，q 为两个命题，若“p 或q ”为假命题，则“(p ⌝)且(q ⌝)为真命 题”；
③“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；
④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________．
15．直线3
2
y x =与椭圆22221(0)+=>>x y a b a b 相交于A 、B 两点，过点A 作x 轴的
垂线，垂足恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率是 ．
16．已知点P 是抛物线x y 82
-=上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线
010=-+y x 的距离是2d ，则21d d +的最小值是 ．
三、解答题：本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分16分）
已知a 为实数，p ：点(1,1)M 在圆2
2
()()4x a y a ++-=的内部； q ：任意,
x R ∈都有2
1x ax ++0…
. （1）若p 为真命题，求a 的取值范围； （2）若q 为假命题，求a 的取值范围；
（3）若“p 且q ”为假命题，且“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围． 18. (本小题满分17分)
已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο
底面
ABCD ，且1PA AD DC ===，2AB =，M 是PB 的中点．
（1）证明：面PAD ⊥面PCD ； （2）求AC 与PB 所成的角；
（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的 余弦值．
19. (本小题满分16分)
双曲线C 的中心在原点，右焦点为23
(,0)3
F ，渐近线方程为3y x =±. （1）求双曲线C 的方程；
（2）设直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A 、B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点； 20. (本小题满分17分)
已知点(0,2)A -，椭圆2222:1x y E a b
+=)0(>>b a 的离心率为3
，(,0)F c 是
椭圆的焦点，直线AF 的斜率为23
3
,O 为坐标原点.
（1）求E 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与E 相交于P 、Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直 线l 的方程.
高二理科数学选修2-1期末质量检测试题参考答案
一、选择题：
1．C 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．A 8．B 9．C 10．A 11．A 12．B
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
13．20 14．② 15．
1
2
16．2 三、解答题：本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分16分）
解：（1）由题意得，22(1)(1)4a a ++-<，解得11a -<<， 4分
p 为真命题时a 的取值范围为(1,1)-． 5分
（2）若q 为真命题，则240a =-≤D ，解得22a -≤≤， 8分
故q 为假命题时a 的取值范围(,2)(2,)-∞-+∞U ． 10分 （3）由题意得，p 与q 一真一假，从而
当p 真q 假时有11,
22,a a a -<<⎧⎨<->⎩或 无解； 13分
当p 假q 真时有11,
22,a a a -⎧⎨-⎩
≤或≥≤≤解得2112a a --≤≤或≤≤． 15分
∴实数a 的取值范围是[][]2,11,2--U ． 16分
18. (本小题满分17分) （1）【方法一】
证明：PA ⊥Q 底面ABCD ，CD AD ⊥， ∴由三垂线定理得：CD PD ⊥， 2分
因而CD 与面PAD 内两条相交直线AD 、PD 都垂直，
∴CD ⊥面PAD . 4分
又CD ⊂面PCD ，
∴面PAD ⊥面PCD . 6分
（1）【方法二】
证明：由已知得：PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥.
以A 为坐标原点，AD 长为x 轴，AB 长为y 轴， AP 长为z 轴，建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2
A B C D P M . 2分 因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故 4分 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD .
又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD . 6分 （2）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC 7分
9分
||||
AC PB ⋅
则AC 与PB 所成的角为 11分 （3）解：平面AMC 的一个法向量设为),,1(1
1z y n =，),2
1,1,0(),0,1,1(==AM AC ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+∴021
1111z y y ∴)2,1,1(-= 13分 平面BMC 的一个法向量设为),,1(22z y =，),2
1
,1,0(),0,1,1(-=-=
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=-∴021
01222z y y ∴)2,1,1(= 15分 32
66411,cos
=
⋅+->=<∴
因为面AMC 与面BMC 所成二面角为钝角，
所以面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值为3
2
-． 17分
19. (本小题满分16分) 解：（12分
得2223a b c a b
⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得331a b ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
5分 双曲线的方程是231x y -=. 7分
（2）① 由22
1,31,
y kx x y =+⎧⎨-=⎩得()22
3220k x kx ---=， 10分 由20,30k ∆>-≠且，得66,k -<<且 3k ≠±. 12分
设()11,A x y 、()22,B x y ，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA OB ⊥，
所以 12120x x y y +=.又122
23
k
x x k -+=
-，12223x x k =-， 14分 所以 212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=， 所以
2
2
103
k +=-，解得1k =±. 16分 20. (本小题满分17分) 解：（1）设
，因为直线的斜率为
，
，
所以，
. 2分 又
，解得
， 5分 ，
所以椭圆的方程为. 7分
（2）设，由题意可设直线l 的方程为：，
联立
消去得
， 9分
当，所以
，即或 11分
.
所以
14分
点到直线的距离
所以，15分
设，则，，
当且仅当，即，解得时取等号，
满足，所以的面积最大时直线的方程为：或. 17分。