高三数学高考一本通立体几何第一轮复习教案 空间的距离

芯衣州星海市涌泉学校空间的间隔
[考点注释]
掌握空间两点间隔的求法；理解图形F1与图形F2的间隔的概念；掌握点和面、直线和直线、直线和平面、平面和平面间隔的概念〔对于异面直线的间隔，只要求利用给出的公垂线计算间隔〕，会解决一些简单的间隔问题。

1、求间隔，这类试题多为求点与点之间的间隔或者者点到平面的间隔，是高考的热点，并且具有一定的综合性，高考中对空间间隔的考察，题型将仍以解答题为主。

采用分步设问的方式。

根据近年来高考命题的思路，多会在一些知识点的交汇处出题，在综合线、面位置关系的同时，考察有关三角知识。

2、纵观近几年的高考，有关间隔的概念和计算仍然是高考重点内容之一，它常以简单的多面体为载体，融线面关系于立体几何图形之中，不仅考察了空间线面平行和垂直关系，而且也考察了简单几何体的概念和性质，即考察了知识，也考察了学生分析解决问题的才能。

[知识整合]
1、间隔的根本概念
〔1〕点到面的间隔：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的间隔，叫做这个点到这个平面的间隔。

〔2〕直线到它平行平面的间隔：一条直线上的任一点到与它平行的平面的间隔，叫做这条直线到平面的间隔。

〔3〕两个平行平面间的间隔：两平行平面的公垂线段的长度叫做两平行平面的间隔。

〔4〕两条异面直线间的间隔是指两条异面直线的公垂线夹在两异面直线间的公垂线段的长度。

2、各种间隔的理解
〔1〕各种间隔都是通过垂线或者者公垂线，按“最短〞原那么定义的。

①两点间隔是指连结两点的直线段长；
②点线间隔是指该点与直线上任意一点间隔是最小值；
③线线间隔〔包括异面直线的间隔〕是指分别在这两条直线上的两点间隔中最小者； ④点面间隔那么是指该点与平面上任意一点的间隔的最小值。

〔2〕“转化〞是求上述各种间隔最重要的思想方法。

在空间间隔中，点到面的间隔最重要，如线到面的间隔和两平行平面的间隔都是转化为点到面的间隔来表示，异面直线的间隔通过辅助平面也可转化为“线面距〞、“面面距〞或者者“点面距〞来求。

[根底再现]
1、在空间中与一个ABC ∆三边所在直线间隔都相等的点的集合是〔〕 A 、四条直线B 、三条直线C 、二条直线D 、一条直线
2、假设a ，b 是空间中两条不相交的直线，ββ⊂⊂b a ，，且β
α//，a ，b 的间隔为1h ，βα与的
间隔为2h ，那么〔〕 A 、21
h h >B 、21h h ≥C 、21h h =D 、21h h <
3、空间四点A ，B ，C ，D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，那么P 与Q 的最短间隔为〔〕
A 、
a 21
B 、
a 22C 、a 2
3D 、a 4、正方体ABCD －A1B1C1D1中，AB ＝a ，E 、F 分别是B1C1、BB1的中点，那么： ①点到B 直线A1D 的间隔是。

②直线A1D 与BC1之间的间隔是。

③直线EF 到平面D1AC1的间隔是。

④点B 到平面A1B1CD 的间隔是。

⑤点A1到平面AB1D1的间隔是。

[例题精析]
例1：线段AB 在平面α内，线段α
⊥AC ，线段
AB BD ⊥，且与α
所成的角是300，假设
b BD AC a AB ===,，求C 、D 间的间隔。

例2：
〔1〕如下列图，直角ABC ∆的直角顶点C 在平面α外，
α⊂AB ，AC 、BC 与平面α所成的角分别为
004530、，AB ＝6，①求C 到平面
α之间隔；②求C 点到AB 的间隔。

[分析]求间隔需作垂线，利用条件也得作垂线。

[解]过C 过α⊥CH 于H ，
边AH 、BH ，那么0
04530＝，＝CBH CAH ∠∠，在CHA Rt ∆和CHB Rt ∆中，
CH CH BC CH CH AC 245
sin ,230sin 0
0===＝。

又在222
AB BC AC ACB Rt ＝＋中有∆，362422＝＋CH CH ，662＝，＝CH CH ∴，即
C
点到平面α之间间隔为
6。

[评析]此题关键是作出垂线后，把与所求联络后通过解直角三角形得到结论。

① 过点C 在面ABC 内作AB CE ⊥，那么226
2
1222＝＝＝＝
AB CH CH AB CB CA CE ⋅⋅，即C 到直线AB 的间隔为22。

〔2〕如图平面α内有0
90＝，C ABC Rt ∠∆，P 是平面α外一点，且PA ＝PB ＝PC ，P 到平面α的间隔是40cm ，AC ＝18cm ，求点P 到BC 边的间隔。

分析：根据条件作出点P 到平面α的间隔，再根据三垂线定理 作出点P 到BC 的间隔。

解：作。

，垂足为平面O ABC PO
⊥
∵PA＝PB ＝PC ，那么AO ＝BO ＝CO ，∴O 为ABC ∆的外心。

又∵，由三垂线定理知
边的中点上，作落在点，＝BC OD AB O ACB ⊥∴∠0
90
BC PD ⊥，∴PD 是点P 到BC 边的间隔，且,2
1
//
AC OD )(9cm OD =∴。

在),(4122cm OD PO PD POD Rt ＝＋＝
中，∆所以点P 到BC 的间隔为41cm 。

评注：此题关键是根据图形性质确定点P 在平面ABC 上的射影位置。

例3：正三棱柱ABC －A1B1C1的所有棱长都为1，1M M 、分别为棱BC 、B1C1的中点，求直线
C M A AM 11与平面的间隔。

例4：如下列图，在长方体''''D C B A ABCD －中， AB ＝12，BC ＝6，5'=
AA 分别过BC 和''D A 的两
个平行平面将长方体分为体积相等的三部分，求 这两个平行平面的间隔。

[解]长方体夹在两个平行平面之间的部分是一个
棱柱，它以
''EBE A 为底面，''D A 为高。

根据题意，长方体V D A S EBE A 31'''
'=⋅，即'3
1
'''''AA BC AB D A AA E A ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，
43
1
''==
∴AB E A 。

作'''',''A ABB D A H E A H E 平面为垂足，⊥⊥ ，
在
8989
208520''4''sin 4''sin '''''2
2=+=⨯
==⋅=∆BE BB B E B H A E E A H E HE A Rt 中，，
即这两个平行平面的间隔为
89
89
20。

例5：如图正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为a ，求异 面直线BD 与B1C 的间隔。

[解]解法一：连结AC 交BD 于中点O ，取CC1的中点M ， 连结BM 交B1C 于E ，连AC1，那么OM//AC1，过E 作EF//OM
交OB 于F ，那么EF//AC1。

又斜线AC1的射影为AC ，BD ⊥AC ，∴BD ⊥AC1∴BD EF ⊥。

同理
C B EF C B AC 1111⊥⊥，，∴EF 为B
D 与B1C 的公垂线。

由于M 为1CC 的中点，MEF ∆∽1BEB ∆，，
＝，＝＝a BM BE ME BB MC 2
5
211∴
a MB BE 3532＝＝，.3
3
,3232,//22a BF BE EF a OB BF OM EF =-===∴
解法二：〔转化为直线到平面的间隔〕BD//平面B1D1C ，B1C ⊂面B1D1C ，故BD 与B1C 的间隔就是BD 到平
面B1D1C ，的间隔，由BC B D C D B B V V 1
1
1
1－－＝，即
a a h a ⋅⋅=⋅22
213124331）（，a h 3
3=。

解法三：〔转化为两平行平面间间隔〕易证：平面B1D1C//平面A1BD ，AC1⊥平面A1BD ，用等积法易证A
到面A1BD 间隔为
a 3
3
，同理可知C1到面B1D1C 间隔为
a 3
3
，而a C A 31＝，故两平面间间隔为a 33，即BD 与B1C 间隔为a 3
3。

解法四：〔垂面法〕如图BD//平面B1CD1，B1D1⊥A1C1，B1D1⊥OO1，B1D1⊥面O01C1C ，面OO1C1C ⋂面B1D1C ＝O1C1，O1∈B1D1，故O 到面D1B1C 的间隔为OC O Rt 1∆斜边上的高：
解法五：〔极值法〕如图在B1C 上取一点M 作ME ⊥BC 交BC 于E ，过E 作EN BD ⊥于N ，易知MN 为
BD 与B1C 的垂线时，MN 最小。

设x EN x a ME CE x BE 2
2
,,=
-==＝， [评析]异面直线间隔⇒转化为线面间隔⇒再转化为点面间间隔；或者者者异面直线间隔⇒转化为两平行面间间隔⇒再转化点面间隔。

这是大的思路，其中直接用定义求出要求的间隔除外。

[精彩小结]
1、两点间的间隔的求法：可以利用空间两点的间隔公式。

2、有关点到直线、点到平面的间隔的求法。

〔1〕点到直线的间隔，一般用三垂线定理作出垂线段。

〔2〕点到平面的间隔是有关间隔问题的重点，它主要由三种方法求得：①用定义，直接能作出这段间隔，经论证再计算。

②用二面角的平面角性质：平面角的一边上任意一点到另一边的间隔都垂直于第二边所在的平面，先作“点〞所在平面与另一“平面〞组成的二面角的平面角，过“点〞向平面角另一边作垂线，这垂线段长即为此“点〞到“平面〞的间隔。

③转化为锥体的高，用三棱锥体积公式求点到平面的间隔。

3、直线和平面的间隔与两平行平面的间隔可转化为点到平面的间隔来求。

4、异面直线间隔的求法。

〔1〕定义法：找出或者者作出公垂线段，转化为解三角形。

〔2〕转化法：转化为直线与平行平面间的间隔。

〔3〕利用异面直线上两点的间隔公式：EF ＝θ
cos 2222mn d n m +++。

5、求间隔的一般步骤。

〔1〕找出或者者作出有关的间隔；〔2〕证明它符合定义；〔3〕归结到某三角形中计算。

6、空间间隔及应对策略 空间间隔可分解为七种间隔 〔1〕两点间的间隔； 〔2〕点到直线的间隔； 〔3〕两条平行直线间的间隔； 〔4〕两条异面直线间的间隔； 〔5〕点到平面的间隔；
〔6〕平行于一平面的直线到此平面的间隔；
〔7〕两平行平面间的间隔。

从空间中各种间隔的定义看，它们根本上都是转化为两点间的间隔来计算，因此，会求空间中两点的间隔是根底，求点到直线和点到平面的间隔是重点，求异面直线的间隔是难点，求解间隔问题要注意运用化归与转化思路：面面间隔→线面间隔→点面间隔→点点间隔。

[随堂稳固] 一、选择题
1、AB 是异面直线AC 、BD 的公垂线，AC ＝4，BD ＝6，假设CD ＝232，AC 、BD 所成的角为600，那
么公垂线段AB 的长为〔〕
A 、4
B 、6或者者4
C 、8
D 、4或者者8 2、0120,159=∠=∆BAC AC
AB ABC ，＝中，。

ABC ∆所在平面外一点P 到三个原点A 、
B 、
C 的间隔都是14，那么点P 到平面α的间隔为〔〕
A 、7
B 、9
C 、11
D 、13
3、直三棱柱ABC －A1B1C1中，AA1＝1，AB ＝4，BC ＝3，，
＝0
90ABC ∠设平面A1BC1与平面ABC 的交线为l ，那么A1C1与l 的间隔为〔〕
A 、1
B 、
10C 、17D 、
4、ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，PD ⊥AD ，PD ＝AD ＝2，二面角P －AD －C 为600，那么P 到AB 的间隔是〔〕
A 、22
B 、3
C 、2
D 、7
5、把边长为a 的正ABC ∆沿高线AD 折成600的二面角，那么点A 到BC 的间隔是〔〕
A 、a
B 、
a 26C 、a 33D 、a 4
15
6、等边ABC ∆的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ ⊥平面BPQC ，假设折叠后AB 的长为d ，那么d 的最小值为〔〕
A 、
a 43B 、a 45C 、a 43D 、a 4
10
二、填空题：
7、设平面α外两点A 和B 到平面α的间隔分别为4cm 和1cm ，AB 与平面α所成的角是600，那么线段AB 的长是。

8、点M 是线段AB 的中点，假设A ，B 到平面α的间隔分别为4cm 和6cm ，那么点M 到平面α的间隔为。

9、棱长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1中，P 是AA1的中点，Q 是AB 上的点，且C1P ⊥PQ ，那么Q 到平面PB1C1的间隔为。

10、在直角坐标系中，设A 〔－2，3〕、B 〔3，－2〕，沿x 轴把直角坐标平面折成1200的二面角后，AB 的长为。

11、在棱长为1的正方体ABCD －
''''D C B A 中，
〔1〕求点A 到平面B 'D 的间隔。

〔2〕求点'A 到平面''D AB 的间隔。

〔3〕求平面''D AB 与平面'BCD 的间隔。

〔4〕求在线AB 到平面''B CDA 的间隔。

〔5〕求
C A '到B
D 的间隔。

〔6〕假设
E 、
F 为AB 、BC 、BC 的中点，求'D 到平面EF B '的间隔。

12、〔1〕点P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥现ABCD ，Q 为线段AP 的中点，AB ＝3，BC ＝4，PA ＝2，求：
①点Q 到直线BD 的间隔。

②点P 到平面BQP 的间隔。

〔2〕在直三棱柱ABC －A1B1C1中，侧棱AA1＝4cm ，底面ABC ∆ 中，AC ＝BC ＝2cm ，ABC ∠＝900，E 是AB 的中点，求： ①异面直线CE 与AB1的间隔。

②点E 到截面AB1C 的间隔。

13、〔1〕如下列图，边长为24
的正三角形ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥面ABC ，
且PA ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，求AE 与平面α的间隔。

点拨：设⋂α平面ABC ＝FD ，D ∈BC ，
∵AE//α，∴AE//FD ∵F 为AC 的中点 ∴D 为EC 的中点。

在平面ABC 内，过A 作AG ⊥DF ，交DF 延长线于G ，连结PG 。

∵PA ⊥平面ABC ，由三垂线定理可知PG ⊥DF ∵
G PG AG ＝⋂
∴α⊂⊥DG PAG DG ，而平面
∴平面α⊥PAG
∴过A 作AH ⊥PG 于H ，那么AH α⊥ ∴AH 的长为A 到平面α的间隔 ∵AE//FD，而AE ⊥BC ，∴FD ⊥EC
又∵AG//DE∴AG＝DE ＝
2
∵PA＝2∴AH＝
33
22
422＝
＋＝PG AG PA ⋅ ∴AE 到平面α的间隔为
3
3
2 〔2〕如图正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是 AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求 点B 到平面EFG 的间隔。

分析1：由BD//平面EFG ，可转化为求BD 到平 面EFG 的间隔，进而转化为BD 的中点O 到平 面的间隔。

解法1：如图，由E 、F 为AB 、CD 的中点知EF//BD ，∴BD//平面EFG ，那么B 到平面EFG 的间隔可转化为BD 的中点O 到平面EFG 的间隔。

∵BD ⊥AC ，∴EF ⊥AC ， 又CG ⊥面ABCD ，∴EF ⊥CG ， ∴EF ⊥面GCH ，又EF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ⊥平面GCH 。

过O 作OK ⊥HG 于K ，那么OK ⊥平面EFG ，
∴OK 为O 到平面EFG 的间隔，即B 到平面EFG 的间隔。

∵OH＝
24
1
＝AC ，GH ＝2222＝＋CH GC ， 又HOK ∆∽HCG ∆，那么
GC
OK
GH OH ＝，∴11
11
2＝
OK ∴点B 到平面EFG 的间隔为：
11
11
2 14、如图，在正三棱柱ABC －A1B1C1中，各棱长都等于a ，D 、F 分别为AC1和BB1的中点： 〔1〕求证：DF 为异面直线AC1和BB1的公垂线段，并求其长度。

〔2〕求点C1到平面AFC 的间隔。

[综合、创新]
如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点。

〔1〕求证：MN ⊥AB 。

〔2〕假设平面PDC 与平面ABCD 所成的二面角 为θ，能否确定θ，使得直线MN 是异面直线AB。