高三数学一轮 第二章 函数 2.6 二次函数与幂函数

(h,k) x1,x2
为顶点坐标; 为二次函数
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知识梳理 双基自测
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(2)二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
a>0
a<0
图象
定义域 x∈R
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值域
4������������-������2 4������ , + ∞
4������������-������2 -∞, 4������
=
8,
-1, 解得
������ ������ ������
= -4, = 4, = 7.
故所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.
解法二 (利用顶点式)
设 f(x)=a(x-m)2+n.
∵f(2)=f(-1),
∴抛物线的对称轴为 x=2+2(-1) = 12. ∴m=12.
考点1
考点2
函数 y=x y=x2
性质
y=x3
1
y=x2
y=x-1
定义域 值域 奇偶性
R
R
R [0,+∞) 奇偶
R [0,+∞) {x|x∈R,且x≠0} R [0,+∞) {y|y∈R,且y≠0} 奇 非奇非偶 奇
单调性 定点
x∈[0,+∞)时,增,
增 x∈(-∞,0)时,减 增 增 (1,1) (0,0)
x∈(0,+∞)时,减, x∈(-∞,0)时,减
4������4���������-���������2. (
)
(4)幂函数的图象不经过第四象限. ( )
(5)二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的函数值恒为负的充要条件是
������ < 0, ������2-4������������ < 0. ( )
关闭
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
高三数学一轮课件
第二章 函 数
2.6 二次函数与幂函数
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1.二次函数 (1)二次函数的三种形式 一般式: f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式: f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) 零点式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 的零点.
; ,其中 ,其中
考点3
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又根据题意知函数有最大值 8,∴n=8.
∴y=f(x)=a
������-
1 2
2
+8.
∵f(2)=-43;8=-1,
解得 a=-4.
∴f(x)=-4
������-
1 2
2
+8=-4x2+4x+7.
考点1
考点2
考点3
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解法三 (利用交点式) 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8,
单调 性
奇偶
在
-∞,-
������ 2������
内递减,在
-
在
-∞,-
������ 2������
内递增,在
-
������ 2������
,
+
∞
内递增
������ 2������
,
+
∞
内递减
当 b=0 时,y 为偶函数;当 b≠0 时,y 既不是奇函数也
性 不是偶函数
图象 特点 ①对称轴:
x=-2������������
思考求二次函数的解析式时如何选取恰当的表达形式?
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考点1
考点2
考点3
解法一 (利用一般式)
设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得
4������ + 2������ + ������ =
������-������ + ������ = -1,
4������������-������2 4������
即4������(-24���������-���1)-������2=8.解得 a=-4.
因此所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
考点1
考点2
考点3
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解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数 法,选择规律如下:
(1)已知三个点坐标,宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式. (3)已知图象与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.
m的值为
.
由
������2-3������ + 3 = ������2-������-2 ≤ 0,
1,解得
m=1
或
m=2.
1 或 经2 检验 m=1 或 m=2 都适合.
关闭 关闭
解析 答案
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5. 已知幂函数y=f(x)的图象过点
2,
√2 2
, 则此函数的解析式
为
;在区间
上单调递减.
∵f(x)的图象过点
2,
√2 2
,∴2α=√22 = 2-12,
∴α=-12,∴f(x)=������-12.
由
y=������-12
f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
(0,+∞)
关闭
关闭
解析 答案
考点1
考点2
考点3
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考点 1 求二次函数的解析式
例1已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试 确定此二次函数的解析式.
(1,1)
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1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.
1
(1)函数 y=-x2 与 y=2������2都是幂函数. ( )
(2)当 α>0 时,幂函数 y=xα 是定义域上的增函数. ( )
(3)二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R),当 x=-2������������时,y 取得最小值为
答案
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2.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小
关系为( )
A.a>b>c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b
根据幂函数的性质,可知选D.
D
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解析 答案
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4
2
1
3.已知 a=23,b=45,c=253,则( )
A.b<a<c C.b<c<a
B.a<b<c D.c<a<b
关闭
4
2
2
1
2
2
因为 a=23 = 43 > 45=b,c=253 = 53 > 43=a,所以 b<a<c.
关闭
A
解析 答案
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4.若幂函数 y=(m2-3m+3)������������2−������−2 的图象不经过原点,则实数
;②顶点:
-
������ 2������
,
4������������ -������2 4������
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2.幂函数 (1)幂函数的定义:形如 y=xα 中x是 自变量 ,α是 常数 . (2)五种幂函数的图象
(α∈R)的函数称为幂函数,其
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(3)五种幂函数的性质