2014届高考理科学数学第一轮复习导学案1

学案3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
导学目标： 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
自主梳理
1．逻辑联结词
命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p 或q”记作p∨q，“非p”记作綈p.
2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
3.
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x)．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x)．自我检测
1.命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是__________________
答案∀x∈R，x2－2x＋1≥0
解析因要否定的命题是存在性命题，而存在性命题的否定为全称命题．对x2－2x＋1<0的否定为x2－2x＋1≥0.
2．若命题p：x∈A∩B，则綈p是________________
答案x∉A或x∉B
解析∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，
∴綈p ：x ∉A 或x ∉B .
3．(2010·苏州调研)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________
命题．(填“真”或 “假”)
答案 假
解析 其否命题是“若x ≤0，则x 2≤0”，为假命题．
4．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范
围是________．
答案 [1,2)
解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x <2或x >5，1≤x ≤4
得1≤x <2，故填[1,2)． 5．(2009·辽宁改编)下列4个命题：
①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ；
②∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；
③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ；
④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .
其中的真命题是________(填序号)．
答案 ②④
解析 取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1，
②正确．
当x ∈(0，13)时，(12)x <1，而log 13x >1，④正确．
探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假
例1 写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”
形式的复合命题，并判断真假．
(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；
(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相
垂直；
(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1
＝0的两实根的绝对值相等．
解题导引 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义
是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑
联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题
的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③根据其真值表判断
复合命题的真假．
解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题．
p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题．
綈p ：1不是素数．真命题．
(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．
p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．
綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．
(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假
命题．
p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假
命题．
綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题．
变式迁移1 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x
＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：
①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命
题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题，其中
正确的是________(填序号)．
答案 ①②③④
解析 命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1是真命题，命题q ：x 2－3x
＋2<0的解集是{x |1<x <2}也是真命题，
∴①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；
③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．
探究点二 全称(存在性)命题及真假判断
例2 判断下列命题的真假．
(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12.
(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β.
(3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N .
(4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.
解题导引 判定一个全称(存在性)命题的真假的方法：
(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，
若是假命题，举反例即可．
(2)存在性命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元
素使得命题成立．
解 (1)真命题，
因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>12.
(2)真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意．
(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4 N .
(4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3符合题意．
变式迁移2 (2010·江苏苏州中学阶段性测试一)若命题“∃x ∈
R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为
__________________．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 由题意可知，Δ＝(1－a )2－4>0，
解得a <－1或a >3.
探究点三 全称命题与存在性命题的否定
例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假．
(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；
(2)q ：所有的正方形都是矩形；
(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；
(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.
解题导引 (1)全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着
一定的区别，全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在
量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题
的否定则是直接否定结论即可．
(2)要判断“綈p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p 的
真假．因为p 与綈p 的真假相反且一定有一个为真，一个为假．
解 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，这是假命题，
因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0恒成立，即p 真，所以綈p
假．
(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．
(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，是真命题，这是由于∀x ∈R ，
x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0成立．
(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.
变式迁移3(2010·深圳一模)已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0.
若命题p是假命题，则实数a的取值范围为________．
答案(0,1)
解析p为假，即“∀x∈R，x2＋2ax＋a>0”为真，
∴Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1.
转化与化归思想
例(14分)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
【答题模板】
解由“p且q”是真命题，
则p为真命题，q也为真命题．[4分] 若p为真命题，a≤x2恒成立，
∵x∈[1,2]，∴a≤1. [8分]
若q为真命题，
即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2，[12分]
综上，所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. [14分]
【突破思维障碍】
含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出参数存在的条件，命题p转化为恒成立问题，命题q转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．若直接求p成立的条件困难，可转化成求綈p成立的条件，然后取补集．
【易错点剖析】
“p且q”为真是全真则真，要区别“p或q”为真是一真则真，
命题q 就是方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ≥0.不是找一个x 0使方程成立．
1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解．
(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有” 的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x <6或x >9.
(2)命题“非p ”就是对命题“p ”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定．
2．判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断． 3．全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是一个存在性命题“∃x ∈M ，綈p (x )”，存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”的否定是一个全称命题“∀x ∈M ，綈p (x )”.
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．(2011·常州月考)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3≤0，则綈p 为________．
答案 ∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0
2．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．
答案 (－∞，13]
解析 ∵命题綈p 是真命题，∴命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，不等式ax 2＋2x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立，这时应有⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，Δ＝4－12a <0，解得a >13.因此当命题p 是假命题，即命题綈p 是真命题时，
实数a 的范围是a ≤13.
3．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值
范围是________．
答案[1，＋∞)
解析綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件，即q⇒p，而p q，条件p化简为x>1或x<－3，所以当a≥1时，q⇒p.
4．已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．
答案∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0
解析∀a，b∈R是大前提，在否命题中也不变，又因ab>0，
a>0的否定分别为ab≤0，a≤0.
5．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)．
①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；
②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；
③命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”；
④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．
答案④
6．(2010·安徽)命题“对∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________．
答案∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3
7．(2011·镇江模拟)已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为__________．
答案m≤1
解析命题綈p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解，即m＝－(4x－2x＋1)，令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以当x∈R时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1.
8．(2010·安徽)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是______________________．
答案对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
解析因存在性命题的否定是全称命题，所以得：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
二、解答题(共42分)
9．(14分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p ：1是奇数，q ：1是质数；
(3)p ：0∈∅，q ：{x |x 2－3x －5<0}⊆R ；
(4)p ：5≤5，q ：27不是质数．
解 (1)∵p 是假命题，q 是真命题，
∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，
綈p 为真命题．(3分)
(2)∵1是奇数，
∴p 是真命题．
又∵1不是质数，
∴q 是假命题．
因此p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题．(6分)
(3)∵0∉∅，∴p 为假命题．
又∵x 2－3x －5<0⇒3－292<x <3＋292，
∴{x |x 2－3x －5<0}＝{x |3－292<x <3＋292}⊆R 成立．
∴q 为真命题．
∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．(10分)
(4)显然p ：5≤5为真命题，q ：27不是质数为真命题， ∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，綈p 为假命题． (14分)
10．(14分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，
由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，
故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.(4分)
又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，
∴3－2a >1，∴a <1.(6分)
又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．
(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧
－2<a <2，a ≥1，
∴1≤a <2；(8分)
(2)若p 假q 真，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤－2，或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.(13分) 综上可知，所求实数a 的取值范围为
1≤a <2，或a ≤－2.(14分)
11．(14分)已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．
解 p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧
Δ1＝m 2－4>0－m <0⇔m >2.(3分)
q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．
⇔Δ2＝16(m －2)2－16<0⇔1<m <3，(6分)
因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反． ①当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧ m >2
m ≤1或m ≥3
⇒m ≥3；(10分)
②当p 假且q 真时，有⎩⎨⎧ m ≤2
1<m <3⇒1<m ≤2.(12分)
综上可知，m 的取值范围为{m |1<m ≤2或m ≥3}．(14分)。