排队论算例

排队论算例
解：先根据每个状态的平衡条件建立状态方程组如下：
24
5)1(5)4(4
1)1(6)3(2
1)1(12)2(24
1)1(1
)1(24)1(5)1(6)1(12)1()()1(5)4()1(6)3()
1(12)2()1()1()1(3)3(2)4(1)4(2)
2(1)3(2)4(2)1(2)2(1)4(1)1(3)1(24
1
=
======
==+++=⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧====⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧+=+=+==+∑
=P P P P P P P P P P P P i P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P i 由正则条件知：解得：
076
.0)0(81
16)4(114.0)0(278)3(171.0)0(94)2(256.0)0(32)1(384.0)0(1
)0(81
211)0(81
16)0(27
8)0(9
4)0(3
2)0()(4
==
=========
+
+
+
+=∑
=P P P P P P P P P P P P P P P i P i 由正则条件知：
【例题4】求解下列生灭过程的状态指标？
解：系统容量有限，即最多可同时容纳3个顾客。

系统中可能容纳0个、1个、2个
和3个顾客，即有4个状态。

对于状态0S 有：1032P P =，即：0132P P =
对于状态1S 有：120542P P P =+，即：0231P P =
对于状态3S 有：3232P P =，即：0192P P =
由正则条件可知，13210
=+++P P P P ，即：45.00=P 故有：30.00=P 、15.02=P 、10.03=P 。

【例题5】某公路收费入口处设有一收费亭，汽车进入公路必须向收费亭交费。

收费亭的收费时间服从负指数分布，平均每辆汽车的交费时间为7.2s ，汽车的到达率为400辆/h ，服从泊松分布。

试求：（1）收费亭空闲的概率；（2）收费亭前没有车辆排队的概率；（3）收费亭前排队长度超过100m （即排队车辆超过12辆）的概率；（4）平均排队长度；（5）车辆通过收费亭所花费时间的平均值；（6）车辆的平均排队时间？
解：显然这是一个M/M/1/∞∞/排队系统，收费亭是服务台，汽车是顾客，汽车向收
费亭交费便是接受服务。

400=λ辆/h ，h s /500/2
.71辆辆==
μ；
服务强度18.0500
400<==
=
μ
λρ，故排队系统是稳定的。

（1）收费亭空闲的概率：
收费亭空闲的概率即为系统中没有车辆到达的概率0P ，即：
%202.010==-=ρP
（2）收费亭前没有车辆排队的概率
当系统中没有车辆或只有一辆车辆（这辆车正在被服务时），便没有车辆排队。

即没有车辆排队的概率为：
%3636.08.02.02.0)1(10==⨯+=+=≤P P P
（3）收费亭前排队长度超过100m （即排队车辆超过12辆）的概率
排队长度超过100m 的概率即为排队车辆超过12辆的概率，也即是系统中车辆超过13辆的概率。

%
4.48
.0)1(1 )
1()1()1(1)1(1)13(1)13(14
14
14
14
013
===--=--⨯⨯
--=⋅--=≤-=>∑=ρ
ρ
ρρρρρρi i
P P
（4）平均排队长度
辆2.38
.01)
8.0(12
2
=-=
-=
-
-ρ
ρ
q
（5）车辆通过收费亭所花费时间的平均值
辆/363600
400
8.02.3s n
d =+=
=
-
--
-λ
（6）车辆的平均排队时间
辆/8.283600
4002.3s q
w ==
=
-
--
-λ
【例题6】某高速公路入口处设有一收费站，车辆到达该站是随机的，单向车流量为300辆/h ，收费员平均每10s 完成一次收费并放行一辆汽车，符合负指数分布。

试估计检查站上排队系统的平均车辆数、平均排队长度、平均逗留时间和平均等待时间？
解：显然这是一个M/M/1/∞∞/排队系统。

300=λ辆/h ，h s /360/10
1辆辆==
μ
服务强度：16
5360
300<=
=
=
μ
λρ，故排队系统是稳定的
系统中的平均车辆数：辆56
5165
1=-
=
-=
-
-ρ
ρn
平均排队长度：辆17.46
51)65(122
=-
=-=-
-ρ
ρ
q
系统中的平均消耗时间：辆/603600
300
5s n
d ==
=
-
--
-λ
系统中的平均等待时间：辆/5010601
s d q
w =-=-
==
-
--
--
-μ
λ
【例题7】某大桥在维持交通的情况下进行修建，车辆上、下桥由交警指挥行驶，平均每辆车下桥时间为9s ，如果桥上单方向来车的交通量为300辆/h ，试分析桥上的排队情况？
解：显然这是一个M/M/1/∞∞/排队系统 300=λ辆/h ，h s /400/9
1辆辆==
μ
服务强度：175.0400
300<==
=
μ
λρ，故排队系统是稳定的
系统中的平均车辆数：辆375
.0175.01=-=
-=
-
-ρ
ρ
n
平均排队长度：辆25.275
.01)
75.0(12
2
=-=
-=
-
-ρ
ρ
q
系统中的平均消耗时间：辆/363600
300
3s n
d ==
=
-
--
-λ
系统中的平均等待时间：辆/27936/1/s d q w =-=-==-
--
--
-μλ
【例题8】拟修建一个服务能力为120辆/h 的停车场，布设一个出入道。

据调查每小时有72辆车到达，车辆到达服从泊松分布，每辆车的服务时间服从负指数分布，若出入道长度能容纳5辆车，问是否合适？
解：显然这是一个M/M/1排队系统
72=λ辆/h ，h /120辆=μ，服务强度：16.0120
72<==
=
μ
λρ，排队系统稳定。

系统中的平均车辆数：辆辆55.16
.016.01<=-=
-=
-
-ρ
ρ
n ，该数量应该是合适的，现
具体计算如下。

因出入道存车量为5辆，如果存车量超过5辆的概率很小，那么数量是合适的，反之则不合适。

4.06.011)0(=-=-=ρP ；24.0)6.01(6.0)1()1(1
1
=-⨯=-⋅=ρρP ；
144.04.06.0)1()2(22
=⨯=-⋅=ρρP ；0864.04.06.0)1()3(3
3
=⨯=-⋅=ρρ
P ；
05184.04.06.0)1()4(4
4
=⨯=-⋅=ρρ
P ；0311.04.06.0)1()5(5
5
=⨯=-⋅=ρρP ；
05.0)(1)5(5
=∑-=>=i i P P ，小概率事件，通常认为不会发生，即此数量是合适的。

【例题9】某市区有一汽车加油站，站上服务台平均36s 处理一辆汽车，加油时间服从负指数分布，汽车到加油站加油的到达率为80辆/h ，并服从泊松分布。

当等待加油的汽车超过10辆（即排队长度超过80m ）时，将影响加油站附近街道的正常交通，因而规定排队汽车不得超过10辆。

试求：（1）加油站空闲的概率？（2）汽车来加油但因排队已满而被拒绝的概率？（3）在系统中的平均顾客数？（4）平均排队长度？（5）汽车在整个加油过程中所花的时间？（6）汽车的排队等候时间？
解：该系统为M/M/1/∞/m /FCFS ，并且101=-m ，即：11=m 。

80=λ辆/h ，10036
3600==
μ辆/h ，18.0100
80≠==
=
μ
λρ
（1）加油站空闲的概率
215.08
.018.011112
1
0=--=
--=
+m P ρ
ρ
（2）汽车被拒绝加油的概率
汽车被拒绝的概率就是系统饱和时的状态概率m P ，即： 0.0188
.08
.018.01 1111
12
1
=⨯--=
--=
+m
m m P ρρ
ρ，即约2%的汽车因队满而被拒绝加油。

（3）系统中的平均车辆数
11.38
.018.0128
.018.01)1(112
12
1
1
=-⨯-
-=
-+-
-=
++m m m n ρ
ρρ
ρ辆
（4）平均排队长度
33.2215.0111.3)1(0=+-=--=P n q 辆
（5）汽车在整个加油过程中花费的时间
有效到达率：5.78)215.01(100]1[0=-⨯=-=P e μλ辆/h
s h n
d e
14404.05
.7811.3===
=
λ
（6）汽车排队等候时间
s d w 108361441
=-=-
=μ
【例题10】单人理发馆有6个椅子接待人们排队等待理发，当6个椅子都坐满时，后来的顾客就不进店而离开，顾客的平均到达率为3人/h ，理发需时平均15min ，求该排队系统的状态指标和运行指标？
解：有6个椅子等待人们排队，同时正在理发的有一个顾客，即整个系统中最多能容纳6+1＝7人，即7=m 。

3=λ人/h ，415
60==
μ人/h ，175.04
3≠==
=
μ
λρ
（1）某一顾客一到达就能理发的概率，即系统中有零个顾客的概率
2778.075
.0175.01118
1
0=--=
--=
+m P ρ
ρ
75.02778.0n
n P ⨯=
%7.375
.02778.0 7
0=⨯==m
m P P ρ，即有3.7％的顾客不等待就离开，这同时也是
理发馆的一种损失。

（2）系统运行指标的计算
平均顾客数： 11.275
.0175.0875
.0175.01)1(18
81
1
=-⨯-
-=
-+-
-=
++m m m n ρ
ρρ
ρ人
平均排队长度：39.12778.0111.2)1(0=+-=--=P n q （3）有效到达率
048.0)2778.01(15
1]1[0=-⨯=
-=P e μλ人/min
（4）时间的计算
平均逗留时间：min 44048
.011.2===
e
n d λ
平均排队时间：min 2915441
=-=-
=μ
d w
对于上述问题，如果采用标准的M/M/1排队系统来处理的话，其计算结果如下：
175.04
3<==
=
μ
λρ，排队系统稳定。

25.075.0110=-=-=ρP ，n
n n P 75.025.0)1(⨯=-=ρρ
375
.0175.01=-=
-=
ρρn 人，25.275
.0175
.012
2
=-=
-=
ρ
ρ
q
min 6013
3===
=
h n
d λ
，min 4575.03
25.2===
=
h q
w λ
现将M/M/1/∞/7/FCFS 排队系统和M/M/1/∞∞//FCFS 排队系统比较如下：
【例题11】求M/M/1/∞/4/排队系统的状态指标及运行指标（2=λ、3=μ，单位：辆/h ）
解：对于系统状态数较少的排队系统，直接从定义出发求状态指标和运行指标也是很方便的。

如本例中仅有5个状态，应用定义法来进行求解。

首先根据平衡条件列出状态平衡方程并求解状态概率。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=4
3
2311201
03253253232P P P P P P P P P P ，利用正则条件14
=∑
=i i P 可得：⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=====076
.0114.0171.0256.0384.04
32
10P P P P P 运行指标：244.14321043210
4
=++++=⋅=
∑=-
-P P P P P
i P n i i
辆
627.03210)1(4321
4
1
=+++=-⋅=
∑=-
-P P P P
i P q i i
辆
848.1)384.01(3)1(0=-⨯=-=P e μλ辆/h
h n
d 673.0848
.1244.1===
λ
，h q
w 339.0848
.1627.0===
λ
【例题12】某汽车修理服务站，前来修理的车辆是随机到达的，到达率为4辆/h ，每辆汽车在场上修理的持续时间平均为0.5h ，且服从指数分布。

该站有5个修理服务台可供停车修理，求该汽车修理服务站的运行特性？
解：显然该服务站的服务系统为M/M/s/∞/∞系统。

并且有：
5=s ，4=λ辆/h ，25
.01==
μ辆/h ，
2
4=
μ
λ，14.02
54<=⨯=
=
μ
λ
ρs ，系统稳
定。

（1）系统中无车修理的概率（即所有服务台均为空闲的概率）
134
.044
.712
)
4.01(!512!
11
)
(
)1(!1
)(
!1
1
5
4
1
0==⨯-⨯+
⨯=-⨯+
=
∑
∑
=-=n n
s
s n n
n s n P μ
λ
ρμ
λ
（2）修理站前不出现汽车排队的概率
当在修理站修理的汽车不超过5辆时，就不会出现排队现象。

显然当5≤n 时，134.02!
1)(!10⨯⨯==
n
n n n P n P μλ，故有： 2686.01343.021=⨯=P ；2686.01343.02!
212
2=⨯⨯=
P
1791.01343.02!313
3=⨯⨯=
P ；0895.01343.02!
414
4=⨯⨯=
P
0358.01343.02!
515
5=⨯⨯=
P ；故%59.979759
.0)()5(50
===
≤∑=i i P P
即在97.59%的情况下，不会出现排队的现象。

（3）出现排队的概率
%41.20241.0)(1)5(5
==-=>∑=i i P P
（4）修理站前的平均排队长度
04.01343.0)
4.01(!52
4.0)
1(!)
(2
5
02
=⨯-⨯⨯=
-=
P s s q s ρρρ辆
（5）整个修理系统中的平均车辆数 04.204.02=+=+=
q n μ
λ辆
（6）汽车排队等候修理所花费的时间
h q w 01.04
04.0===
λ
（7）汽车在整个修理过程中所花的时间 h w d 51.05.001.01
=+=+
=μ
【例题13】一收费公路，高峰小时以2400辆/h 的车流量通过四个排队车道引向四个收费口，平均每辆车办理收费的时间为5s ，服从负指数分布，试分别按M/M/4系统和4个平行
的M/M/1系统计算各相应指标并比较之？
解：1°首先按照单路排队多通道服务系统来进行计算（M/M/4系统）
4=s ，2400=λ辆/h ，7205
3600==
μ辆/h ，
3
10=
μ
λ，16
53
410<=
⨯=
=
μ
λρs ，
故排队系统稳定。

0213.0)
3
10(
)
651(!41)3
10(
!
11
)()1(!1)(!11
4
3
1
0=⨯-
⨯+
⨯=
-⨯+=
∑
∑
=-=n n
s
s n n n s n P μ
λρμλ 3.30213.0)
6
51(!4)
3
10(6
5
)
1(!)
(2
4
02
=⨯-
⨯⨯=
-=
P s s q s ρρρ 6.63.33
10=+=
+=
q n μ
λ
s q
w 5360024003.3=⨯=
=
λ
s w d 10551
=+=+
=μ
2°按照多路排队多通道服务系统来进行计算（4个平行的M/M/1系统）
该排队系统的含义为：每个通道对应着一个队列，顾客不能随意换队，且每个通道仅为其所对应的一队顾客服务。

6004
2400==
λ辆/h ，7205
3600==
μ辆/h ，16
5720
600<=
=
=
μ
λρ，故系统稳定。

6
110=
-=ρP ；56
/516/51=-=
-=
ρ
ρ
n ；17.46
/51)
6/5(12
2
=-=
-=
ρ
ρ
q
s n
d 303600600
5=⨯=
=
λ
；s d w 255301
=-=-
=μ
下面将两种系统的相应指标做一个比较如下：
由上表可见，在相同的通道数目下，M/M/s 排队系统明显地由于s 个平行的M/M/1排队系统。

其原因在于：s 个平行的M/M/1系统表面上到达车流量被分散，但实际受到排队通道与服务台之间一一对应的束缚，如果某一服务台由于某种原因拖长了为某个顾客的服务时间，显然要增加在此通道后面排队顾客的等待时间，甚至会出现邻近通道排队顾客后来居上的情形。

而M/M/s 系统就要灵活得多，排在第一位的顾客可视哪个服务台有空就到那个服务台去接受服务，以此来充分发挥服务台的服务能力，因而该系统显得优越。

【例题14】某售票所有三个窗口，顾客的到达数服从泊松分布，平均到达率为0.9人/min ，售票时间服从负指数分布，平均服务率为0.4人/min ，现有顾客到达后排成一个队，以此向空闲的窗口购票，试计算该排队系统的状态指标和运行指标？
解：显然这是一个M/M/3/∞/∞系统。

并且有：
3=s ，9.0=λ辆/h ，4.0=μ辆/h ，
25.24
.09.0==
μ
λ，175.04
.039.0<=⨯=
=
μ
λ
ρs ，
故该排队系统稳定。

（1）整个售票所空闲的概率
0748.0)
25.2()
75.01(!31)
25.2(!1
1
)()1(!1)(!11
3
2
1
0=⨯-⨯+
⨯=
-⨯+=
∑∑
=-=n n
s
s n n n s n P μ
λρμλ
（2）平均的排队长度
70.10748.0)
75.01(!3)25.2(75.0)
1(!)
(2
3
02
=⨯-⨯⨯=
-=
P s s q s ρρρ
（3）系统中的平均顾客数量
95.370.125.2=+=+=
q n μ
λ
（4）每位顾客的平均等待时间
min 89.19
.070.1===
λ
q w
（5）每位顾客平均所花费的时间
min 39.45.289.11
=+=+
=μ
w d
【例题15】汽车自动加油站上设有两个加油管，汽车按简单流到达，平均每2min 到达一辆，汽车加油时间服从负指数分布，平均每辆车的加油时间为2min 。

自动加油站最多
只能停3辆汽车等候加油，如果汽车到来时，系统已饱和，则汽车另求服务。

试求该系统的运行指标？
解：该加油站服务系统符合M/M/s/∞/m /FCFS 排队模型，并且有：
2=s ；3=-s m ，即523=+=m ；
2=λ辆/min ；5.0=μ辆/min ；25
.022=⨯=
=
μ
λ
ρs 。

（1）加油站空闲的概率 008.0125
12
1)324(224
!1
1
1)(!)(!11
2
0==
--⨯⨯
+⨯=
--+=
∑∑
==k k
m
s s s
k k k s s k P ρ
ρρρμλ
（2）系统损失率（即为汽车因系统饱和而被拒绝的概率，也即是m P ）
512.0008.022
4!
5
0=⨯⨯=
=
P s s
P m
s
m ρ
（3）排队汽车的平均数
辆
176.2)]21(2321[)
21(!242008.0 )]
1()(1[)
1(!)(3
3
2
2
2
0=-⨯⨯--⨯-⨯⨯⨯=
-----=
--ρρ
ρ
ρρρs
m s
m s s m s s P q
（4）整个加油站的平均车辆数
128.4)512.01(22176.2)1(=-⨯⨯+=-+=m P s q n ρ辆
（5）汽车平均排队时间
min 23.2)
512.01(2176.2)
1(=-⨯=
-=
m P q
w λ
（6）汽车在整个加油过程中花费的时间
min 23.4223.21
=+=+
=μ
w d
【例题16】交叉口规划问题
1．问题的提出
某无控交叉口，主要道路和次要道路的车流到达过程符合泊松分布。

设次路车流的交通量为350辆h ，次路车辆到达停车线到通过交叉口的平均服务时间为10s ，试求该系统的运行指标？
2．问题的分析
对于主要道路与次要道路相交的无控交叉口，主要道路有优先通行权，即主要道路上的汽车通行不受次要道路上汽车的影响，次路上的汽车必须等候主路上汽车流中较大的车头间距时才能横穿通过。

若把车辆通过交叉口看成是车辆接受了服务，那么次要道路上排队车流中的第一辆汽车为正在接受服务的顾客，第一辆汽车从到达停车线到通过交叉口的时间就是服务时间，它与主路车流的车头间距分布有关，当主路车流符合泊松流时，次路车辆的服务时间总是服从负指数分布的。

在次路车流中，从第二辆起的汽车即为排队等候
服务的顾客。

因此，该交叉口系统就是一个标准的M/M/1系统。

3．问题的求解
解：显然这是一个M/M/1排队系统。

350=λ辆/h ，h s /360/10
1辆辆==
μ，
服务强度1972.0360
350<==
=
μ
λρ，故排队系统是稳定的。

①交叉口没有车辆的概率：
%8.2028.0972.0110==-=-=ρP ；
②交叉口前排队车辆（含正待通过的第一辆车）超过50辆的概率：
%
5.23972
.0)1(11)
1)(1(1 )1(11)50(1)50(51
5151
50
050
0==--=----
=∑--=∑-=≤-=>==ρρ
ρρρρi i
i i P P P
③交叉口前的平均排队车辆数（含第一辆车）：
辆35972
.01972.01=-=
-=
-
-ρ
ρ
n ；
④车辆从到达到通过交叉口的平均时间：
辆/1.0350
35h n
d ==
=
-
--
-λ
从上面的这些指标可以看出，该交叉口是相当拥挤的，交叉口前有97%的时间出现排队现象，平均排队长度达35辆，有24%的时间排队长度超过50辆，车辆在交叉口前平均需排队约6min ，阻塞相当严重，应采取措施予以改善，如拓宽进口、设置两条平行的进口车道或设置交通信号灯等。

【例题17】停车场规划问题 1．问题的提出
某闹市区拟新建一小型停车场，根据预测，前来停放的车辆到达为泊松流，到达率为10辆/h ，停放时间服从负指数分布，平均为2h ，停车场的收费标准为0.5元/（辆h ）。

停车场的建造养护费为每个空位0.5元/h ，试规划最合理的停车场容量？
2．问题的分析
在停车场系统中，可以把车辆停放在停车场看成是车辆在接受服务，每个停车位置就是一个服务台，假设停车场的容量为s ，当停车场上停满车辆时，后来的车辆就另求停车场，不允许排队等候空位。

因此，停车场系统就是多通道损失制排队系统，即M/M/s/m/∞系统，其中有s m =，因而该问题的求解应利用到如下的公式。

即：
∑==
s
k k
s k P 0
0)
(!
1
1
ρ，s n P s n P n
n ≤≤=
0 )(!
10ρ
0=q ，0=w
)1(s P s n -=ρ，μ
1
=
d
在停车场系统中，若停车场容量过小，则被拒绝的车辆就越多，每拒绝一辆车，就造成了0.5元/h 的营业损失费。

相反，若停车场的容量规划得过大，则停车场内出现空位的概率就大，每出现一个空位就浪费0.1元/h 的建造养护费。

所以，最合理的停车场容量就是使营业损失费和空位损失费之和达到最小的容量。

3．问题的解决
显然，在该系统中，10=λ辆/h ，5.02
1==
μ辆/h ，故有205
.010==
=
μ
λρ。

在停车场规划时，其容量（即停车泊位数）通常取5的倍数，故可以取
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=20,15,10,5s 等来进行试算，以确定最佳的停车场容量。

具体的试算过程用下表来表示：
现在的目标是使总损失达到最小。

从表中可见，在该停车场系统中，最合理的停车容量为25辆，这时汽车被拒绝的概率仅为5%，场上平均有19辆车停放。

【例题18】收费亭问题 1．问题的提出
在某收费公路入口处，并排设有3个收费亭，车辆进入收费公路需在收费亭前交费，因而在收费亭前常出现排队现象，收费亭前的排队通道有两种形式，即单路排队多通道服务系统和多路排队多通道服务系统。

假设3个收费亭的服务率是相同的，平均10s 处理一辆汽车，车辆的到达率为900辆/h 。

试比较两种排队系统的运行指标？
2．问题的求解
解：按照M/M/3系统和3个平行的M/M/1系统来进行计算并比较。

①首先按照单路排队多通道服务系统来进行计算（M/M/3系统）
3=s ，900=λ辆/h ，36010
3600==
μ辆/h ，
5.2360
900==
μ
λ，
16
5360
3900<=
⨯=
=
μ
λρs ，故排队系统稳定。

1°收费亭空闲的概率
045.0)
5.2()
651(!315.2!
11
)()1(!1)(!11
3
2
10
0=⨯-
⨯+
⨯=
-⨯+=∑
∑=-=n n
s
s n n n s n P μλρμ
λ
2°车辆必须排队的概率（即)3(>P ）
112.0045.05.201=⨯==
P P μ
λ，140.0045.05.25.0)(
2
12
022=⨯⨯=⨯⨯=
P P μ
λ
117.0045.05.26
1)(
6
13
03
3=⨯⨯=
⨯⨯=
P P μ
λ
586.01)3(3210=----=>P P P P P
3°排队的平均车辆数 512.3045.0)
6
51(!3)5.2(65)1(!)(2
3
02
=⨯-⨯⨯=-=P s s q s
ρρρ辆 4°整个系统中的平均车辆数
012.6512.35.2=+=+=
q n μ
λ辆
5°汽车的平均排队时间
s q w 05.143600900
512.3=⨯==
λ
6°汽车通过收费亭所花的总时间
s w d 05.241005.141
=+=+
=μ
②按照多路排队多通道服务系统来进行计算（3个平行的M/M/1系统） 对于每个子系统均有： 3003
900==
λ辆/h ，36010
3600==
μ辆/h ，16
5360
300<=
=
=
μ
λρ，故系统稳定。

1°167.06
110==
-=ρP ；
2°车辆必须排队的概率
139.06
5167.0)1(1=⨯
=-=ρρP
694.0139.0167.011)1(10=--=--=>P P P
3°各子系统的平均车辆数
56
/516/51=-=
-=
ρ
ρ
n 辆
4°各子系统排队的平均车辆数
167.46
/51)
6/5(12
2
=-=
-=
ρ
ρ
q 辆
5°每辆车的平均逗留时间和平均排队时间
s n d 603600300
5=⨯=
=
λ；s d w 5010601
=-=-
=μ
③下面将两种系统的相应指标进行如下比较
经比较可知，M/M/3系统明显优于3个平行的M/M/1系统。

【例题19】在收费站服务水平评价中的应用
某收费公路设计年度年平均日交通量为15000辆/日，第30位小时交通量与年平均日交通量的比值为0.12，拟采用均一制收费，单向设3个收费车道，试分析确定该收费公路收费广场的服务水平。

解：如何来评价收费广场处的服务水平呢？主要是通过收费广场处各收费车道的平均排队长度来进行评价。

（即指标选定为平均排队长度，通常认为排队长度小于3辆时，服务水平可以接受，若平均排队长度大于3辆，则为一种不可接受的服务水平）
1．参数分析
①双向交通量：AADT =15000辆/日，双向流量应转化成单向流量，转化时要考虑到方向分布系数，此处D K 未给出，计算时可取D K =0.6。

②设计小时交通量：=K 0.12，可将一日的单向交通量转化成单向设计小时交通量
DDHV 。

③收费方式采用均一制，平均服务时间为8—10s ，此处采用9s 来计算。

④-
-<q 3，则满足要求。

2．系统分析
到达的车辆可以视哪一个收费车道有空就到那一个收费车道去接受服务，因此此处应视为一个M/M/3系统，利用单路排队多通道服务系统的公式来进行计算。

3．计算 10806.012.015000=⨯⨯=⨯⨯=D K K AADT DDHV
辆/h
7.2400
10809
/36001080===
μ
λ
由于收费时单向设有3个收费车道，即：19.03
7.2<==
=μ
λ
ρs ，故排队系统稳定。

系统中有0个顾客数的概率为：
0249.07
.2)
9.01(!317
.2!1
1
)()1(!1)(!11
3
2
1
0=⨯-⨯+
⨯=
-⨯+=
∑∑
=-=n n
s
s n n n s n P μ
λρμλ 平均排队长度：4.70249.0)
9.01(!37
.29.0)
1(!)
(2
302
=⨯-⨯⨯=
-=
P s s q s ρρρ辆，由于有3个收费车
道，即：5.23/4.7==-
-N
q
辆<3辆，即此收费公路收费广场的服务水平可以接受。

【例题20】简化的排队延误分析方法
排队论常以简化的方法来分析交通拥挤现象，这种简化主要是指假设在某一持续时间内车辆的出入都是均一的。

下面用一个实例来进行分析。

有一公路与铁路的平面交叉口，火车通过时必须关闭栅栏，栅栏关闭的时间为h t r 1.0=，已知公路上车辆以均一的到达率900=λ辆/h 到达交叉口，而栅栏开启后排队
的车辆以均一的离去率1200=μ辆/h 离开交叉口，试使用简化的排队延误分析方法分析该交叉口的排队情况，并计算如下指标值：①单个车辆的最长延误时间m t ；②最大排队车辆
数Q ；③排队疏散时间0t ；④受阻车辆总数n ；⑤排队持续时间i t ；⑥平均排队车辆数-
-Q ；
⑦单个车辆的平均延误时间-
-d ；⑧车辆的总延误时间D 。

解：各项指标的计算如下：
①分析哪一辆车的延误时间最长？显然是栅栏刚关闭时到达的那一辆车的延误时间最长，即：r m t t =＝0.1h 。

②栅栏关闭期间，车辆只有到达而没有离去，所以在栅栏刚开启时排队的车辆数最多。

即：901.0900=⨯=⨯=r t Q λ辆。

③栅栏开启后，排队车辆的队头以1200=μ辆/h 的离去率离开，而队尾仍以900=λ辆/h 的到达率到达。

即一个小时内可以疏散的车辆数为：3009001200=-=-λμ辆，
故排队的疏散时间为：3.0900
1200900=-=-=
λ
μQ
t h 。

④受阻的车辆总数即为在疏散时间内离去的车辆数，即：36012003.00=⨯=⨯=μt n 辆。

或者说受阻车辆数也为在排队持续时间内到达的车辆数，即：
360900)1.03.0()(0=⨯+=⨯+=λr t t n 。

⑤排队的持续时间就是栅栏关闭时间与排队疏散时间之和，即：
h t t t r i 4.03.01.00=+=+=。

⑥平均排队车辆数45905.05.0=⨯=⨯=-
-Q Q 辆（考虑两种极端情况下的平均）
⑦单个车辆的平均延误时间h t d r 05.01.05.05.0=⨯=⨯=-
-（也是考虑两种极端情况下的平均）
⑧车辆的总延误时间1836005.0=⨯=⨯=-
-n d D 辆.h 。

还可以使用与上述分析相类似的方法去分析信号交叉口车辆的排队和延误。

但应注意到的一点是使用简化的方法得到的Q 偏小，这就需要用车流波理论来处理。

具体分析时可参照下图：
【习题】某公路与铁路平交，平交道口上铁路每天来往通过84辆火车，每次平均关闭栅栏时间为3分钟，公路上交通流到达道口平均流入率为320辆/小时，栅栏开启后车辆通过路口平均流出率450辆/小时，试使用简化的排队延误分析方法分析该道口的排队情况？【例题21】排队论在收费站设计中的应用
1．问题的提出
累计车辆数
t1
t2t3
某条道路上要设收费站，单向车流量为800辆/h 。

假设工作人员平均能在8s 内处理一辆汽车，符合负指数分布。

试分析收费亭单向至少需设多少通道，并对不同的系统进行评估。

2．问题的分析
该问题解决应采用的方法与前述停车场规划时采用的方法类似，在给定的服务水平条件下针对不同的收费车道数量s ，利用M/M/s 排队系统来进行试算。

3．问题的求解
①设单通道的M/M/1系统 800=λ辆/h ，4508
3600==
μ辆/h ，19
16450
800>=
=
=
μ
λρ，即排队系统不稳定，
队长会越来越长，排队得不到消散。

②M/M2系统 800=λ辆/h ，4508
3600==
μ辆/h ，2=s ，
19
16450
800>=
=
μ
λ，19
8<=
=
μ
λ
ρs ，
即系统是稳定的。

0588.0)
9
16(
)
981(!21)9
16(
!
11
)()1(!1)(!11
2
1
1
0=⨯-
⨯+
⨯=
-⨯+=
∑
∑
=-=n n
s
s n n n s n P μ
λρμλ 7.60588.0)
9
81(!2)
9
16(
9
8
)
1(!)
(2
2
02
=⨯-
⨯⨯=-=
P s s q s ρρρ辆 5.87.69
16=+=+=
q n μ
λ辆
s q
w 3036008007.6=⨯=
=
λ
s w d 388301
=+=+
=μ
③按照M/M/3系统来进行计算 800=λ辆/h ，4508
3600==
μ辆/h ，3=s ，
19
16450
800>=
=
μ
λ，127
16<=
=
μ
λ
ρs ，
即系统是稳定的。

1502.0)
9
16(
)
27161(!31)9
16(
!
11
)()1(!1)(!11
3
2
1
0=⨯-
⨯+
⨯=
-⨯+=
∑
∑
=-=n n
s
s n n n s n P μ
λρμλ
5.01502.0)
27
161(!3)
916(
27
16
)
1(!)
(2
3
02
=⨯-
⨯⨯=
-=
P s s q s ρρρ辆 3.25.09
16=+=
+=
q n μ
λ辆
s q
w 25.236008005.0=⨯=
=
λ
s w d 25.10825.21
=+=+
=μ
④计算结果的分析
M/M/1系统的交通强度1>ρ，说明该系统无法满足交通强度的要求，车辆排队长度会越来越长，无法消散。

M/M/2系统和M/M/3系统均满足交通强度1<ρ的要求，但M/M/2系统车辆排长队的概率高，服务台劳动强度大，服务水平低；而M/M/3系统的各项指标均要大大优于M/M/2系统。

因此，在没有其它条件限制的情况下，M/M/3系统应为该收费亭设计之首选。

⑤注意的两个问题
1°系统的选择应综合分析各种限制条件，通道多的系统车辆排队短，服务水平高，但建设规模大，占地多，投资大，运营成本高，因此作好交通量调查是计算分析的前提条件。

2°车辆在服务台停留时间的长短对系统影响很大，若采用先进的收费系统，缩短服务所需的时间，对减少运营成本，提高服务水平，效果显著。