2000年全国普通主等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)

2000年全国普通主等学校招生统一考试
上海 数学试卷(理工农医类)
考生注意:本试卷共有22道试题,满分150分
一、填空题(本大题满分为48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。

1.已知向量OA (－1,2)、OB ＝(3,m),若OA ┴OB ,则m ＝ 。

2.函数,x
x y --=31
2log 2
的定义域为 。

3.圆锥曲线⎩
⎨⎧=+=θθtg y x 31
sec 4的焦点坐标是 。

4.计算:n
n n )2
(
lim +＝ 。

5.已知b x f x +=2)(的反函数为)(),(11
x f y x f --=若的图象经过点)2,5(Q ,则b
＝ 。

6.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元,2000年上海市GDP 预期增长9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在
0.08%,若GDP 与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍,至少需 年。

(按:1999年本市常住人口总数约1300)
7.命题A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥,
命题A 的等价题B 可以是:底面为正三角形,且 的三棱锥是正三棱锥。

8.设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB ,则在区间[1,2]上)(x f ＝ 。

9.在二项式11
)1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数为 ,(结果用数值表示) 10.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3,现任取出3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 。

11.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点,则=AB 。

12.在等差数列{}n a 中,若0=z a ,则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++ 成立,类比上述性质,相就夺:在等此数列{}n b 中,若10=b ,则有等式 成立。

二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。

13.复数的三角形式是是虚数单位))(5
sin 5(cos
3i i z π
π
--=
).
5
6sin 56(cos 3)( ),54sin 54(cos 3)().
5
sin 5(cos 3)( )],5sin()5[cos(3)(π
ππππ
πππi D i C i B i A -++-+-
[答]( )
14.设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ,给出下列三个命题: (1)若a a //,a b //,则b a //。

(2)若a a //,β//a ,则β//a 。

(3)若γ a ,γβ ,则β//a 。

其中正确的个数是
(A)0. (B)1. (C)2. (D)3. [答]( )
15.若集合{}{}
T s R x x y y T R x y y S x 则.,1| ..3|2∈-==∈==是:
(D) (C) T. (B) S. )(有限集φA .
[答]( )
16.下列命题中正确的命题是
(A)若点)0)(2,(≠a a a P 为角a 终边上一点,则5
5
2sin =
a 。

(B)同时满足2
3
cos ,21sin =
=
a a 的角a 有且只有一个。

(C)当{}1 a 时,)(arcsin a tg 的值恒正。

(D)三角方程3)3
(=+
π
x tg 的解集为{}Z k k x x ∈=,|π。

[答]( )
三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤。

17.(本题满分12分)
已知椭圆C 的焦点分别为)0,22()0,22(21F F 和-,长轴长为6,设直2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的中点坐标。

[解]
18.(本题满分12分)
如图所示四面体ABCD 中,AB 、BC 、BD 两两互相垂直,且AB ＝BC ＝2,E 是AC 中点,异面直线AD 与BE 所成的角的大小为10
10
arccos
,求四面体ABCD 的体积。

[解]
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。

已知函
数
],1[,2)(2+∞∈++=x x
a x x x f 。

(1)当2
1
=
a 时,求函数)(x f 的最小值: (2)若对任意0)(],,1[ x f x +∞∈恒成立,试求实数a 的取值范围。

[解](1)
[解](2)
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分。

根据指令),(θr )180180,0( ≤-≥θr ,机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度θ(θ为正时,按逆时针方向旋转θ,θ为负时,按顺时针方向旋转－θ),再朝其面对的方向沿直线行走距离r 。

(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x 轴正方向,试给机器人下一个指令,使其移动到点(4,4)。

(2)机器人在完成该指令后,发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点
作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位)。

[解](1)
[解](2)
21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。

在XOY 平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111 n n n b a P b a P b a P 对每个自然数n ,点P ,位于函数
)100( )10
(
20002
a a y =的图象上,且点n P ,点)0.1()0,(+n n 与点构成一个以n P 为顶点的等腰三角形。

(1)求点n P 的纵坐标n b 的表达式。

(2)若对每个自然数n ,以n b ,21,++n n b b 为边长能构成一个三角形,求a 取值范围。

(3)设(). 21N n b b b B n n ∈= ,若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,求数列{}n B 的最大项的项数。

[解](1)
[解](2)
[解](3)
22.(本小题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分。

已知复数y x y x i y x w yi x z m mi z '''+'=+=-=,,,,),0(10其中和 均为实数,i 为虚数单位,且对
于任意复数||2||,,0z w z z w z =⋅=有。

(1)试求m 的值,并分别写出x '和y '用x 、y 表示的关系式；
(2)将(x 、y )作为点P 的坐标,(x '、y ')作为点Q 的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ,
当点P 在直线1+=x y 上移动时,试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；
(3)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在,试求出所有这些直线；若不存在,则说明理由。

[解](1)
[解](2)
[解](3)
2000年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2.评阅试卷,应坚持每题评阅以底,不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。

3.第17至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数,给分或扣分均以1分为单位。

解答
一、(第1题至第12题)每一题正确的给4分,否则一律得零分。

1.4.
2.)3,2
1( 3.(－4,0),(6,0)。

4.2
-e 。

5.1. 6.9. 7.侧棱相等/侧
棱与底面所成角相等/…… 8.X. 9.－462。

10.14
1
11.32 12.),17(172121N n n b b b b b b n n ∈=- 二、(第13题至第16题)第一题正确的给4分。

三、(第17题至第22题)
17.[解]设椭圆C 的方程为)(2
122
22分 =+b
y a x 由题意 1,22,3===b c a 于是
)(4 1922
分的方程为椭圆 =+∴y x C
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,027361019
222
2x x y x x y 得由 因为该二次方程的判别式△＞0,所以直线与椭圆有两个不同交点, …(8分)
设)
(12 )5
1
,59(,5
18
),
,(),,(212211分的中点坐标为故线段则设 --
=+AB x x y x B y x A
18.[解法一]如图建立空间直角坐标系 …(2分)
由题意,有A(0,2,0),C(2,0,0),E(1,1,0)。

设D 点的坐标为(0,0,z))0( z ,则
{}{})
10( ,4,4,101
42cos ,10
10
arccos ,2cos 42,BE )(6 ,,2,0,0,1,12
22分的长度是故得所成的角的大小为与且则所成的角为与设分 BD z z
BE AD z BE AD AD z AD BE ==+=
∴+⋅=⋅-==θθθ
又
)
(4 ,3
8
,6
1
分的体积是因此四面体 ABCD BD BC AB V ABCD ⨯⨯=
[解法二]过A 引BE 的平行线,交与CB 的延长线于F,∠DAF 是异面直线BE 与AD 所成的角, ∴∠DAF ＝10
10
arccos
…(4分) ∵E 是AC 的中点,∴B 是CF 的中点,
AF ＝2BE ＝22。

…(6分) 又BF,BA 分别是DF,DA 的射影,且BF ＝BC ＝BA 。

∴DF ＝DA 。

…(8分) 三角形ADF 是等腰三角形,20cos 1
2=∠⋅=DAF
AF AD , 故422=-=AB AD BD , …(10分)
又BD BC AB V ABCD ⨯⨯=
6
1
,
因此四面体ABCD 的体积是
3
8
, …(12分) 19.[解](1)当221
)(,21++
==x
x x f a 时, )(x f 在区间),1(+∞上为增函数, …(3分) )(x f 地区间),1(+∞上最小值为2
7
)1(=
f , …(6分) (2)[解法一]在区让),1(+∞上,
0202)(22 a x x x
a x x x f ++⇔++=恒成立恒成立, …(8分)
设),1(,22+∞∈++=x a x x y ,
1)1(222-++=++=a x a x x y 递增,∴当1=x 时,a y +=3min , …(12分)
于是当且仅当03min a y +=时,函数0)( x f 恒成立,
故3- a 。

…(14分)
(2)[解法二]],1[,2)(+∞∈++
=x x
a
x x f ,当0≥a 时,函数)(x f 的值恒为正, …(8分) 当0 a 时,函数)(x f 递增,故当a x f x +==3)(,1min 时, …(12分) 于是当且仅当03)(min a x f +=时,函数0)( x f 恒成立,故3- a 。

…(14分)
20.[解](1) 45,24==θr ,得指令为 45),24(, …(4分) (2)设机器人最快在点)0,(x P 处截住小球 …(6分)
则因为小球速度是机器人速度的2倍,所以在相同时间内有
22)40()4(|17|-+-==x x x ,…(8分)。

即01611232
=+-+x x ,得3
23
-
=x 或7=x , ∵要求机器人最快地去截住小球,即小球滚动距离最短,7=∴x ,
故机器人最快可在点)0,7(P 处截住小球, (10分) 所给的指令为)13.98,5(
-, (14分)
21.[解](1)由题意,21+=n a n ,∴2
1
)10
(2000
+=n n a b , …(4分) [解](2)∵函数)100()10
(
2000 a a y n
=递减,
∴对每个自然数n,有21++n n n b b b ,则以21,,++n n n b b b 为边长能构成一个三角形的充要条件是
n n n b b b 12++,
即01)10
()10(
2 -+a
a …(7分) 解得)51(5+- a 或)15(5- a ∴10)15(5 a -, …(10分)
[解](3)∴10)15(5 a - ∴7=a 2
1
)10
7(2000+=n n b …(12分)
数列{}n b 是一个递减的正数数列,对每个自然数1,2-=≥n n n B b B n , 于是当1≥n b 时,1-≥n n B B ,当1 n b 时,1-n n B B ,
因此,数列{}n B 的最大项的项数n 满足不等式1≥n b 且11 +n b 。

)
16(20
,8.20,
1)10
7(200021
分得由 =∴≤≥=+n n b n n
22.[解](1)由题设,2,2000=∴==⋅=z z z z z z w ,
于是由3,0,412==+m m m 得且 , …(3分) 因此由i y x y x yi x i i y x )3(3)()31(-++=+⋅-='+',
得关系式⎩⎨⎧-='+='y
x y y
x x 33 …(5分)
[解](2)设点),(y x P 在直线1+=x y 上,则其经变换后的点),(y x Q ''满足
⎩⎨
⎧--='++='1
)13(3
)31(x x y x x , …(7分) 消去x ,得232)32(+-'-='x y ,
故点Q 的轨迹方程为232)32(+--=x y …(10分) [解](3)假设存在这样的直线,∵平行坐标轴的直线显然不满足条件,
∴所求直线可设为)0(≠+=k b kx y , …(12分) [解法一]∵该直线上的任一点),(y x P ,其经变换后得到的点
)3,3(y x y x Q -+仍在该直线上,
∴b y x k y x ++=-)3(3, 即b x k y k +-=+-)3()13(, 当0≠b 时,方程组⎩⎨
⎧=-=+-k
k k 31)13(无解,
故这样的直线不存在。

…(16分) 当0=b 时,由
,3
1)13(k
k k -=+-
得03232
=-+k k , 解得3
3
=
k 或3-=k , 故这样的直线存在,其方程为x y 3
3
=
或x y 3-=, …(18分) [解法二]取直线上一点)0,(k b P -
,其经变换后的点)3,(k
b k b Q --仍在该直线上, ∴b k
b
k k b +-=-
)(3, 得0=b , …(14分)
故所求直线为kx y =,取直线上一点),0(k P ,其经变换后得到的点)3,31(k k Q -+仍在该直线上。

∴)31(3k k k +=-, …(16分)
即03232
=-+k k ,得3
3
=
k 或3-=k , 故这样的直线存在,其方程为x y 3
3
=或x y 3-=, …(18分)。