安徽省亳州一中南校高一数学上学期第一次月考试卷(含解析)

安徽省亳州一中南校2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试
卷
一．选择题：（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+b}，且A∩B={（2，5）}，则（）A．a=3，b=2 B．a=2，b=3 C．a=﹣3，b=﹣2 D．a=﹣2，b=﹣3
2．设集合A={x，y，z}，B={1，2，3}，下列四种对应方式中，不是从A到B的映射的是（）
A．B．C．D．
3．函数y=+的定义域为（）
A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}
4．函数y=x2﹣4x+7的值域是（）
A．{y|y∈R} B．{y|y≥3}C．{y|y≥7}D．{y|y＞3}
5．设函数f（x）=，则f（）的值为（）
A．B．﹣C．D．18
6．定义在R上的偶函数f（x），在（0，+∞）上是增函数，则（）
A．f（3）＜f（﹣4）＜f（﹣π）B．f（﹣π）＜f（﹣4）＜f（3）C． f （3）＜f（﹣π）＜f（﹣4）D．f（﹣4）＜f（﹣π）＜f（3）
7．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5D．a≥5
8．已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣x﹣1，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x2﹣x+1 B．x2+x﹣1 C．﹣x2﹣x﹣1 D．x2+x+1
9．设函数，则f（x）的表达式（）
A．B．C．D．
10．函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．[1，+∞）
二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11．集合P={1，2，3}的子集共有
个．
12．幂函数y=（m2﹣m﹣1）x2m+1，当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为．
13．若函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（3﹣2x）的定义域是．
14．定义在[﹣1，1]上的函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）＞f（a2﹣1），求实数a的取值范围．
15．对于定义在R上的函数f（x），给出下列说法：
①若f（x）是偶函数，则f（﹣2）=f（2）；
②若f（﹣2）=f（2），则函数f（x）是偶函数；
③若f（﹣2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数；
④若f（﹣2）=f（2），则函数f（x）不是奇函数．
其中，正确的说法是．（填序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求：A∪B，（∁R A）∩B．
17．已知函数，f（2）=1．
（1）求a的值；（2）求证：函数f（x）在（﹣∞，0）内是减函数．
18．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，
（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．
19．已知幂函数y=f（x）经过点（2，）．
（1）试求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
20．求函数f（x）=x2﹣4x+3在区间[t，t+1]上的最小值g（t）．
21．已知函数y=f（x），（x≠0）对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y）．（Ⅰ）求f（1），f（﹣1）的值；
（Ⅱ）判断函数y=f（x），（x≠0）的奇偶性；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f（x）+f（x﹣5）≤0．
安徽省亳州一中南校2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷
一．选择题：（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+b}，且A∩B={（2，5）}，则（）A．a=3，b=2 B．a=2，b=3 C．a=﹣3，b=﹣2 D．a=﹣2，b=﹣3
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：将交集中的元素分别代入集合A，B，列出方程组求出a，b．
解答：解：∵A∩B={（2，5）}，
∴
解得a=2，b=3
故选B．
点评：本题考查交集的定义：交集中的元素满足两个集合的公共属性．
2．设集合A={x，y，z}，B={1，2，3}，下列四种对应方式中，不是从A到B的映射的是（）
A．B．C．D．
考点：映射．
专题：规律型．
分析：根据映射的定义进行判断即可．
解答：解：A，B，C满足映射的定义．
D中，x有两个元素1，2和x对应，不满足x对应的唯一性，同时y没有元素和y对应，∴D 不是映射．
故选：D．
点评：本题主要考查映射的定义及判断，满足映射必须要求A中每个元素都有对应，而且对应是唯一的，否则不能构成映射．
3．函数y=+的定义域为（）
A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：求该函数的定义域，直接让x+1≥0，x≥0求解x即可．
解答：解：由，得：x≥0．
所以原函数的定义域为[0，+∞）．
故答案为[0，+∞）．
故选B．
点评：本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是让根式内部的代数式大于等于0，属基础题．
4．函数y=x2﹣4x+7的值域是（）
A．{y|y∈R} B．{y|y≥3}C．{y|y≥7}D．{y|y＞3}
考点：函数的值域．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：利用配方法求函数的值域．
解答：解：y=x2﹣4x+7=（x﹣2）2+3≥3；
故函数y=x2﹣4x+7的值域是{y|y≥3}；
故选B．
点评：本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．
5．设函数f（x）=，则f（）的值为（）
A．B．﹣C．D．18
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
专题：计算题；分类法．
分析：当x＞1时，f（x）=x2+x﹣2；当x≤1时，f（x）=1﹣x2，故本题先求的
值．再根据所得值代入相应的解析式求值．
解答：解：当x＞1时，f（x）=x2+x﹣2，则 f（2）=22+2﹣2=4，
∴，
当x≤1时，f（x）=1﹣x2，
∴f（）=f（）=1﹣=．
故选A．
点评：本题考查分段复合函数求值，根据定义域选择合适的解析式，由内而外逐层求解．属于考查分段函数的定义的题型．
6．定义在R上的偶函数f（x），在（0，+∞）上是增函数，则（）
A．f（3）＜f（﹣4）＜f（﹣π）B．f（﹣π）＜f（﹣4）＜f（3）C． f （3）＜f（﹣π）＜f（﹣4）D．f（﹣4）＜f（﹣π）＜f（3）
考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．
分析：本题利用直接法求解，根据在（0，+∞）上是增函数，得出f（3）＜f（π）＜f （4），再结合定义在R上的偶函数f（x），即可选出答案．
解答：解：∵定义在R上的偶函数f（x），在（0，+∞）上是增函数，
且3＜π＜4，
∴f（3）＜f（π）＜f（4）
即：f（3）＜f（﹣π）＜f（﹣4）．
故选C．
点评：本题主要考查了函数单调性的应用、函数奇偶性的应用等奇偶性与单调性的综合，属于基础题．
7．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5D．a≥5
考点：二次函数的性质．
专题：计算题．
分析：先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．
解答：解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2
其对称轴为：x=1﹣a
∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数
∴1﹣a≥4
∴a≤﹣3
故选A
点评：本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键．
8．已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣x﹣1，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x2﹣x+1 B．x2+x﹣1 C．﹣x2﹣x﹣1 D．x2+x+1
考点：函数奇偶性的性质．
专题：计算题．
分析：首先设x＜0，然后知﹣x＞0，这样就可以用x＞0时的解析式，可写出f（﹣x）的解析式，最后用奇函数条件求出f（x）的解析式．
解答：解：设x＜0，则﹣x＞0
∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）﹣1=x2+x﹣1
又∵f（x）为奇函数
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x2+x﹣1）=﹣x2﹣x+1
故选：A．
点评：本题主要考查了利用函数奇偶性求对称区间上的解析式问题，关键是奇偶性的运用．
9．设函数，则f（x）的表达式（）
A．B．C．D．
考点：函数解析式的求解及常用方法．
专题：计算题；换元法．
分析：令解得，从而有，再令t=x可得f（x）．
解答：解：令
得：
∴f（x）=
故选C
点评：本题主要考查函数解析式的求法，主要涉及了用换元法，要注意换元后的取值范围．10．函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．[1，+∞）
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：先将函数f（x）=的定义域为R转化成mx2﹣2x+1≥0在R上恒成立，然后讨论m，从而求出m的范围．
解答：解：∵函数f（x）=的定义域为R
∴mx2﹣2x+1≥0在R上恒成立
①当m=0时，﹣2x+1≥0，不满足
②
解得：m≥1
∴综上所述m≥1
故选：D
点评：本题主要考查了恒成立问题，需要讨论二次项系数，同时考查来了转化能力，属于基础题．
二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11．集合P={1，2，3}的子集共有
8个．
考点：子集与真子集．
专题：计算题．
分析：集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：因为集合P={1，2，3}，
所以集合P的子集有：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，∅，共8个．故答案为：8
点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．
12．幂函数y=（m2﹣m﹣1）x2m+1，当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为﹣1．
考点：幂函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据幂函数的定义，求出m的值，讨论m是否满足题意即可．
解答：解：∵函数y=（m2﹣m﹣1）x2m+1为幂函数，
∴m2﹣m﹣1=1，
解得m=﹣1，或m=2；
当m=﹣1时，y=x﹣1，函数在x∈（0，+∞）时为减函数，满足题意；
当m=2时，y=x5，函数在x∈（0，+∞）时为增函数，不满足题意；
综上，实数m的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题目．
13．若函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（3﹣2x）的定义域是[，2]．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：题目给出了函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，求函数f（3﹣2x）的定义域，直接用﹣1≤3﹣2x≤2求解x即可．
解答：解：因为函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，所以由﹣1≤3﹣2x≤2，得：，所以函数f（3﹣2x）的定义域是[，2]．
故答案为[，2]．
点评：本题考查了复合函数定义域的求法，给出y=f（x）的定义域为[a，b]，求解y=f[g （x）]的定义域，只要让g（x）∈[a，b]求解x即可．
14．定义在[﹣1，1]上的函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）＞f（a2﹣1），求实数a的取值范围1＜a≤．
考点：函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：再由定义域和单调性，结合f（1﹣a）＞f（a2﹣1），列出关于a的不等式组求解可得答案．
解答：解：∵函数f（x）定义在[﹣1，1]上的减函数，且f（1﹣a）＞f（a2﹣1），
∴﹣1≤1﹣a＜a2﹣1≤1，
解得：1＜a≤，
故答案为：1＜a≤
点评：本题考查了函数的单调性的综合应用，关键是由单调性和定义域列不等式组，易忘定义域的限制．
15．对于定义在R上的函数f（x），给出下列说法：
①若f（x）是偶函数，则f（﹣2）=f（2）；
②若f（﹣2）=f（2），则函数f（x）是偶函数；
③若f（﹣2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数；
④若f（﹣2）=f（2），则函数f（x）不是奇函数．
其中，正确的说法是①③．（填序号）
考点：命题的真假判断与应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用奇偶函数的性质对①②③④四个选项逐一判断即可．
解答：解：①定义在R上的函数f（x）是偶函数，则f（﹣2）=f（2），正确；
②令f（x）=，为定义在R上的函数，且满足f（﹣2）=f（2）=0，
但函数f（x）不是偶函数，故②错误；
③对于定义在R上的函数f（x），若f（﹣2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数，正确；
④若f（﹣2）=f（2），则函数f（x）不是奇函数，错误，如f（x）=
满足f（﹣2）=f（2）=0，易证f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）是奇函数．
故答案为：①③
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性质的理解与应用，构造合适的函数是关键，也是难点，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求：A∪B，（∁R A）∩B．
考点：补集及其运算；并集及其运算；交集及其运算．
专题：计算题．
分析：根据并集的定义，由集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求出A与B的并集即可；先根据全集R和集合A求出集合A的补集，然后求出A补集与B的交集即可．
解答：解：由集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，
把两集合表示在数轴上如图所示：
得到A∪B={x|2＜x＜10}；
根据全集为R，得到C R A={x|x＜3或x≥7}；
则（C R A）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．
点评：此题考查了补集、交集及并集的混合运算，是一道基础题．学生在求补集时应注意全集的范围以及端点的取舍．
17．已知函数，f（2）=1．
（1）求a的值；（2）求证：函数f（x）在（﹣∞，0）内是减函数．
考点：函数单调性的性质．
专题：综合题．
分析：（1）由已知f（2）=1可求a
（2）由（1）得，利用单调性的定义，设任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2．判断的符
号即可证明
解答：解：（1）由已知，得，
∴a=2．…
证明：（2）由（1）得，
设任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2．
则．…
∵x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2．
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以，函数f（x）在（﹣∞，0）内是减函数．…
点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数解析式，函数单调性的定义在证明单调性中的应用，属于基础试题
18．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，
（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．
考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．
专题：计算题；综合题；函数的性质及应用．
分析：（1）当a=﹣1时f（x）=x2﹣2x+2，可得区间（﹣5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数．由此可得[f（x）]max=37，[f（x）] min=1；
（2）由题意，得函数y=f（x）的单调减区间是[a，+∞），由[﹣5，5]⊂[a，+∞）解出a≤﹣5，即为实数a的取值范围．
解答：解：（1）当a=﹣1时，函数表达式是f（x）=x2﹣2x+2，
∴函数图象的对称轴为x=1，
在区间（﹣5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数．
∴函数的最小值为[f（x）]min=f（1）=1，
函数的最大值为f（5）和f（﹣5）中较大的值，比较得[f（x）]max=f（﹣5）=37
综上所述，得[f（x）]max=37，[f（x）] min=1
（2）∵二次函数f（x）图象关于直线x=﹣a对称，开口向上
∴函数y=f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣a]，单调增区间是[﹣a，+∞），
由此可得当[﹣5，5]⊂[a，+∞）时，
即﹣a≥5时，f（x）在[﹣5，5]上单调减，解之得a≤﹣5．
即当a≤﹣5时y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．
点评：本题给出含有参数的二次函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值，着重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识，属于基础题．
19．已知幂函数y=f（x）经过点（2，）．
（1）试求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
考点：幂函数的性质；奇偶性与单调性的综合；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．
分析：（1）利用待定系数法即可求函数解析式；
（2）根据函数奇偶性和单调性的定义即可判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
解答：解：（1）由题意，得f（2）=2a=＜a=﹣3，
故函数解析式为f（x）=x﹣3．
（2）∵f（x）=x﹣3=，
∴要使函数有意义，则x≠0，
即定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
∵f（﹣x）=（﹣x）﹣3=﹣x﹣3=﹣f（x），
∴该幂函数为奇函数．
当x＞0时，根据幂函数的性质可知f（x）=x﹣3．在（0，+∞）为减函数，
∵函数f（x）是奇函数，
∴在（﹣∞，0）函数也为减函数，
故其单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．
点评：本题主要考查幂函数的性质的综合应用，根据条件求出幂函数的解析式是解决本题的关键．
20．求函数f（x）=x2﹣4x+3在区间[t，t+1]上的最小值g（t）．
考点：二次函数在闭区间上的最值．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：对称轴x=2，讨论区间与对称轴的位置关系，从而求最小值．
解答：解：对称轴x=2；
（1）当t＞2时，g（t）=f（t）=t2﹣4t+3；
（2）当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，g（t）=f（2）=﹣1；
（3）当2＞t+1，即t＜1时，g（t）=f（t+1）=t2﹣2t；
综上所述：g（t）=．
点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值的求法与应用，属于基础题．
21．已知函数y=f（x），（x≠0）对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y）．（Ⅰ）求f（1），f（﹣1）的值；
（Ⅱ）判断函数y=f（x），（x≠0）的奇偶性；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f（x）+f（x﹣5）≤0．
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）赋值法：在所给等式中，令x=y=1，可求得f（1），令x=y=﹣1可求得f（﹣1）；
（Ⅱ）在所给等式中令y=﹣1，可得f（﹣x）与f（x）的关系，利用奇偶性的定义即可判断；
（3）由题意不等式f（x）+f（x﹣5）≤0可化为f（|x（x﹣5）|）≤f（1），根据单调
性即可去掉符号“f”，转化为具体不等式即可解得．
解答：解：（Ⅰ）∵对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得到：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=﹣1，得到：f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），
∴f（﹣1）=0；
证明：（Ⅱ）由题意可知，令y=﹣1，得f（﹣x）=f（x）+f（﹣1），
∵f（﹣1）=0，∴f（﹣x）=f（x），
∴y=f（x）为偶函数；
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）函数f（x）是定义在非零实数集上的偶函数．
∴不等式f（x）+f（x﹣5）≤0可化为f[x（x﹣5）]≤f（1），f（|x（x﹣5）|）≤f （1），
∴﹣1≤x（x﹣5）≤1，即：﹣6≤x（x﹣5）≤6且x≠0，x﹣5≠0，
在坐标系内，如图函数y=x（x﹣5）图象与y=6，y=﹣6两直线．
由图可得x∈[﹣1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]，
故不等式的解集为：[﹣1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]．
点评：本题考查抽象函数的求值、奇偶性的判断及抽象不等式的解法，定义是解决抽象函数问题的常用方法，解抽象不等式关键是利用函数性质转化为具体不等式．。