云南省牟定县一中2024届高一数学第二学期期末达标检测试题含解析

云南省牟定县一中2024届高一数学第二学期期末达标检测试题
考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量(1,2)a =，(4,2)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．
512
π D ．
2
π 2．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
263
B ．
283
C ．10
D ．
323
3．如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，该矩形所在的平面内一点P 满足
1CP =，记1I AB AP =⋅，2I AC AP =⋅，3I AD AP =⋅，则（ ）
A ．存在点P ，使得12I I =
B ．存在点P ，使得13I I =
C ．对任意的点P ，有21I I >
D ．对任意的点P ，有31I I >
4．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．在正六边形ABCDEF 中，点P 为CE 上的任意一点，若AP x AB y AF =+，则x y +=（ ）
A ．2
B ．
5
2
C ．3
D ．不确定
7．下列各数中最小的数是（ ） A ．(9)85
B ．(6)210
C ．(4)1000
D ．(2)111111
8．各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ） A ．23a
B ．233a
C 23a
D ．23a
9．．设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过
两点211(,)A x x ，2
22(,)B x x 的直线与圆()2
211x y -+=的位置关系是（ ）
A ．相离.
B ．相切.
C ．相交.
D ．随m 的变化而
变化.
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ． 12．命题“[0,1]x ∃∈，210x -≥”是________命题（选填“真”或“假”）. 13．设)2
sin17cos172
a =
︒+︒，22cos 131b =︒-，sin 37sin 67sin 53sin 23c =︒︒+︒︒，则a ，b ，c 从小到大排列为______
14．已知函数()2
3sin 22cos 1f x x x =-+，有以下结论：
①若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π-=∈； ②()f x 在区间73,84ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦上是增函数； ③()f x 的图象与()22cos 23g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭图象关于x 轴对称；
④设函数()()2h x f x x =-，当12
π
θ=时，()()()222
h h h π
θθθ-+++=-
．
其中正确的结论为__________．
15．如图所示，隔河可以看到对岸两目标,A B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的两点,C D ，测得,75,4530,45ACB BCD ADC ADB ︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=（,,,A B C D 在同一平面内），则两目标,A B 间的距离为_________km .
16．圆台两底面半径分别为2 cm 和5 cm ，母线长为10，则它的轴截面
的面积是________cm 2.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．已知曲线C ：x 2+y 2+2x+4y+m=1． （1）当m 为何值时，曲线C 表示圆？
（2）若直线l ：y=x ﹣m 与圆C 相切，求m 的值． 18．已知直线()1:10l kx y k k R -++=∈，2:50l x y -+=. （1）证明:直线1l 过定点；
（2）已知直线1l //2l ，O 为坐标原点，,A B 为直线1l 上的两个动点，2AB =
OAB ∆的面积为S ，求S .
19．已知函数2()sin(
)sin 32
f x x x x π
=-.
(1)求()f x 的最小正周期和最大值；
(2)求()f x 在2[
,]63
ππ
上的单调区间
20．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点M ，
N 分别为BC ，PA 的中点，且2PA AD ==，1AB =，3AC =.
（1）证明：MN ∥平面PCD ；
（2）求直线MN 与平面PAD 所成角的余弦值.
21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c .已知ABC ∆面积3,120,ABC S A ∆==︒ （1）若2,c =求b 的值； （2）若32b c +=a 的值.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
利用夹角公式计算出两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角. 【题目详解】
设两个向量的夹角为θ，则cos 0525θ==⋅，故π
2
θ=.
故选：D. 【题目点拨】
本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查向量数量积和模的坐标表示，属于基础题. 2、B
【解题分析】
由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．再由正四棱台体积公式求解． 【题目详解】
由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1，所以
4S =上底，16S =下底，
∴该正四棱台的体积()
128
416133
V =⨯+⨯=. 故选：B ． 【题目点拨】
本题考查由三视图求正四棱台的体积，关键是由三视图判断出原几何体的形状，属于基础题． 3、C 【解题分析】
以C 为原点，以,CD CB 所在直线为x 轴、y 轴建立坐标系，则
()()3,2,0,2,A B ---()3,0,C -()()()3,0,3,2,0,2AB AC AD ===，
1CP =，
且P 在矩形内，∴可设()3cos ,2P sin ααπαπ⎛
⎫
<<
⎪⎝⎭
，()cos 3,2AP sin αα=++，13cos 9I AB AP α=⋅=+，23cos 213I AC AP sin αα=⋅=++，324I sin α=+，
2121240,I I sin I I α∴-=+>>，A 错误，C 正确，
()
3152350I I sin sin αααϕ-=-+-=-+<，31I I <， B 错误，D 错误，
故选C.
【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式的坐标表示，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是几何形式，cos a b a b θ⋅=，二是坐标形式，
1212a b x x y y ⋅=+（求最值问题与求范围问题往往运用坐标形式），主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b
θ=
（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投
影，a 在b 上的投影是a b b
⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模
（平方后需求a b ⋅）.
4、C 【解题分析】
先由平均数的计算公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可。

【题目详解】 由题可得
；
所以这组数据的方差
故答案选C 【题目点拨】
本题考查方差的定义：一般地设个数据：
的平均数为，则方差
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波
动越大，方差越小，波动越小。

5、C 【解题分析】
先判断各函数奇偶性，再找单调性符合题意的即可。

【题目详解】 首先可以判断选项D ，不是偶函数，排除； 然后，由图像可知，在上不单调，
在
上单调递增，
只有选项C ：符合，故选C 。

【题目点拨】
本题主要考查函数的性质，奇偶性和单调性。

6、C 【解题分析】
延长,AB EC 交于点N ，延长,AF CE 交于点M ，可推出13AB AN =，1
3
AF AM =，所以有33
x y
AP AN AM =
+，然后利用平面向量共线的推论即可求出x y + 【题目详解】
如图，延长,AB EC 交于点N ，延长,AF CE 交于点M 设正六边形ABCDEF 的边长为a
则在BCN △中有BC a =，90BCN ∠=︒，60CBN ∠=︒ 所以2BN a =，所以有13AB AN =，同理可得1
3
AF AM = 因为AP x AB y AF =+ 所以33
x y
AP AN AM =
+ 因为,,P M N 三点共线，所以有133
x y
+=，即3x y += 故选：C 【题目点拨】
遇到三点共线时，要联想到平面向量共线的推论：,,A B C 三点共线，若
OC OA OB λμ=+，则1λμ+=.
7、D 【解题分析】
将选项中的数转化为十进制的数，由此求得最小值的数. 【题目详解】
依题意()98589577=⨯+=，()26210261678=⨯+⨯=，()3
410001464=⨯=，
()543210211111122222263=+++++=，故最小的为D.所以本小题选D.
【题目点拨】
本小题主要考查不同进制的数比较大小，属于基础题. 8、C 【解题分析】
判断三棱锥是正四面体，它的表面积就是四个三角形的面积，求出一个三角形的面积即
可求解本题. 【题目详解】
由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a ，三棱锥的表面积就是四个全等
三角形的面积，即2
24a =， 所以C 选项是正确的. 【题目点拨】
本题考查棱锥的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题. 9、D 【解题分析】
22212121
,AB
x x k x x x x -==+∴-直线AB 的方程为21121()()y x x x x x -=+-. 即121
2()y x x x
x x =+-，所以直线AB
的方程为
22
,y mx m m d =-+-=
=
=
因为22
4
0,4()0,03
m m m m ∆>∴-->∴<<
,所以2
21999225,(),(,),()()161616256
t g t t t
t g t g m =
>∴
=+∈+∞>=令, 所以
16
15d =
<=
,所以直线AB 与圆可能相交，也可能相切，也可能相离. 10、D 【解题分析】
用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得． 【题目详解】
∵a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，∴sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=-， ∴sin()sin()sin cos sin cos B C C A C B C A +-+=-, ∴sin cos sin cos 0B C A C -=， ∴cos 0C =或sin sin A B =，∴2
C π
=或A B =，
故选：D. 【题目点拨】
本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、2 【解题分析】
试题分析：由题意可得：．
考点：扇形的面积公式． 12、真 【解题分析】
当1x =时，210x -≥成立，即命题“[]
0,1x ∃∈，210x -≥”为真命题. 13、c a b << 【解题分析】
首先利用辅助角公式，半角公式，诱导公式分别求出a ，b ，c 的值，然后结合正弦函数的单调性对a ，b ，c 排序即可. 【题目详解】 由题知)()2
sin17cos17sin 1745sin 62a =
︒+︒=︒+︒=︒， 22cos 131cos 26sin 64b =︒-=︒=︒，
sin 37sin 67sin 53sin 23c =︒︒+︒︒ sin37cos 23cos37sin 23sin60=︒︒+︒︒=︒，
因为正弦函数在()90,90-︒︒上单调递增， 所以c a b <<. 故答案为：c a b <<. 【题目点拨】
本题考查了辅助角公式，半角公式，诱导公式，正弦函数的单调区间，属于基础题. 14、②③④ 【解题分析】
首先化简函数解析式，逐一分析选项，得到答案. 【题目详解】
()32cos 22sin 26f x x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭
①当()()12f x f x =时，函数的周期为π，
∴12,x x k k Z π=+∈，或
121222266,223
x x k x x k k Z
ππππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⇒+=+∈ ，所以①不正确； ②73,84x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，2352,6123x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦32,2ππ⎡⎤
⊆--⎢⎥⎣⎦
，所以是增函数，②正确；
③函数还可以化简为()22cos 23
f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，所以()g x 与()f x 关于x 轴对称，正确；
④()2sin 226h x x x π⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭，当6
π
θ=时， ()22sin 22222sin 4412
6126f ππππθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
+=+--+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
()()22sin 22222sin 442sin 44
12
61266f πππππθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
-=----=--+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()2sin 22126126f ππππθ⎛
⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭
()()()222
f f f π
θθθ∴-+++=-
，④正确
故选②③④ 【题目点拨】
本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题型. 15
、
3
【解题分析】
在ACD ∆中，在BCD ∆中，
分别由正弦定理求出AD =
3
BD =，在BDA ∆中，由余弦定理可得解. 【题目详解】
由图可得30,60CAD CBD ∠=︒∠=︒，
在ACD ∆中，由正弦定理可得,43sin120sin 30AD DC AD ==︒︒， 在BCD ∆中，由正弦定理可得
46,sin 60sin 453DC DB BD ==︒︒， 在BDA ∆中，由余弦定理可得：222cos45AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒ 32462515482433323
=+-⨯⨯⨯=. 故答案为：
5153 【题目点拨】
此题考查利用正余弦定理求解三角形，根据已知边角关系建立等式求解，此题求AB 的长度可在多个三角形中计算，恰当地选择可以减少计算量.
16、63
【解题分析】
首先画出轴截面，然后结合圆台的性质和轴截面整理计算即可求得最终结果.
【题目详解】
画出轴截面，
如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，
则BM ＝5－2＝3(cm )，
AM ＝22AB BM -＝9(cm )，
所以S 四边形ABCD ＝()41092
+⨯＝63(cm 2)．
【题目点拨】
本题主要考查圆台的空间结构特征及相关元素的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17、（1）当m ＜2时，曲线C 表示圆（2）m=±3
【解题分析】解：（1）由C ：x 2+y 2+2x+4y+m=1，
得（x+1）2+（y+2）2=2﹣m ，
由2﹣m ＞1，得m ＜2．
∴当m ＜2时，曲线C 表示圆；
（2）圆C 的圆心坐标为（﹣1，﹣2），半径为
． ∵直线l ：y=x ﹣m 与圆C 相切，
∴
， 解得：m=±3，满足m ＜2．
∴m=±3．
【点评】本题考查圆的一般方程，考查了直线与圆位置关系的应用，训练了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
18、（1）见详解；（2）1S =
【解题分析】
（1）将直线1l 变形，然后令k 前系数为0，可得结果.
（2）根据直线1l //2l ，可得k ，然后计算点O 到直线1l 距离，根据面积公式，可得结果.
【题目详解】
（1）由
则直线()1:110l k x y +-+=，
令101x x +=⇒=-且1y =
所以对任意的k ∈R ，直线1l 必过定点()1,1-
（2）由直线1l //2l ，所以可知直线1k =，
则直线1:20l x y -+=，
点O 到直线1l 距离为
d =
=
又AB =112
S AB d =⋅⋅= 【题目点拨】
本题主要考查直线过定点问题以及平面中线线平行关系，属基础题.
19、（1）f (x )的最小正周期为π，最大值为22
-； （2）f (x )在5[,]612ππ上单调递增；在52[,]123
ππ上单调递减． 【解题分析】
（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值．
（2）根据[]20,3x ππ-
∈，利用正弦函数的单调性，即可求得()f x 在2[,]63ππ上的单调
区间．
【题目详解】
解：（1）函数2()sin()sin cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=+
1sin 22sin(2)23x x x π==-，
即()sin(2)3f x x π=-
故函数的周期为22T ππ==，最大值为1- （2）当2[
,]63x ππ∈ 时，[]20,3x ππ-∈， 故当0232x ππ-时，即5[,]612
x ππ∈时，()f x 为增函数； 当223x πππ-时，即52[,]123
x ππ∈时，()f x 为减函数； 即函数()f x 在5[
,]612ππ上单调递增；在52[,]123
ππ上单调递减． 【题目点拨】 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．
20、（1）见解析（2【解题分析】
(1) 取PD 中点E ，连接NE ，CE ，构造平行四边形，由线线平行得到线面平行；（2）根据线面角的定义作出线面角，在直角三角形中求出数值.
【题目详解】
（1）证明：取PD 中点E ，连接NE ，CE ，
∵N 为PA 中点，∴NE AD ，且12NE AD =， 又M 为BC 中点，底面ABCD 为平行四边形，
∴MC
AD ，12MC AD =， ∴NE
MC ，NE MC =，即MNEC 为平行四边形， ∴MN CE ，又EC ⊂平面PCD ，且MN ⊄平面PCD ，
∴MN ∥平面PCD .
（2）∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ABCD ，
∴平面PAD ⊥平面ABCD ， 过M 作MF AD ⊥，则MF ⊥平面PAD ，连结NF ，
则MNF ∠为直线MN 与平面PAD 所成的夹角，
由1AB =，3AC =2AD =，得AC CD ⊥，
由AC CD AD MF ⋅=⋅，得32
MF =， 在Rt AMN △中，1AM AN ==，得2MN =
在Rt MNF △中，3
62sin 42
MF MNF MN ∠===， ∴10cos MNF ∠=， 即直线MN 与平面PAD 10【题目点拨】 这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．
21、（1）2b =；（2）a =【解题分析】
（1）利用三角形面积公式可构造关于b 的方程，解方程求得结果；（2）利用三角形面积公式求得bc ；利用余弦定理可求解出结果.
【题目详解】
（1）由三角形面积公式可知：1sin 2ABC S bc A ∆=== 2b ∴=
（2）113sin sin120224
ABC S bc A bc ∆==== 4bc ∴= 由余弦定理得：()22222cos 22cos12018414a b c bc A b c bc bc =+-=+--=-=
a ∴=【题目点拨】
本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，考查学生对于公式的掌握情况，属于基础题.。