苏科版九年级数学下册期末综合检测试卷((有答案))

期末复习：苏科版九年级数学下册期末综
合检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.cos30°的值为（）
A. 1
B. 1
2
C. √3
3
D. √3
2
2.下列成语所描述的事件是必然发生的事件是（）
A. 水中捞月
B. 日落西
山 C. 黔驴技
穷 D. 一箭双雕
3.在直角三角形Rt Δ ABC中，∠ C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（）
A. 3
4
B.
4 3
C. 3
5
D. 4
5
4.把抛物线y=(x+2)2向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（）
A.y=(x+2)2+2
B.y=(x+1)2−2
C.y=x2+2
D.y=x2−2
5.在△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=2
3
，则边AC的长是（）
A. 2√5
B. 6
C. 8
3
D. 2√13
6.已知二次函数y=kx2−7x−7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）
A. k＞−7
4
B. k≥
−7
4C. k≥−7
4
且k≠
0 D. k＞−7
4
且k≠0
7.已知二次函数y=(x−1)2−1，当0＜x＜4时，函数值中整数的个数有( )
A. 3
B. 8
C. 9
D. 10
8.在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（）
A. 北偏东20°方向上
B. 北偏西20°方向
上 C. 北偏西30°方向上 D. 北偏西40°方向上9.已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则点C的坐标为（）
A. （2，0）
B. （0，
2） C. （1，
0） D. （0，1）
10.对于二次函数y=x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（）
A. m≥﹣2
B. ﹣4≤m≤﹣
2 C. m≥﹣
4 D. m≤﹣4或m≥﹣2
二、填空题（共10题；共30分）
11.甲箱内有4颗球，颜色分别为红、黄、绿、蓝；乙箱内有3颗球，颜色分别为红、黄、黑．小明打算同时从甲、乙两个箱子中各抽出一颗球，若同一箱中每球被抽出的机会相等，则小明抽出的两颗求颜色相同的概率为________．
12.如图，身高为1.6m的小李AB站在河的一岸，利用树的倒影去测对岸一棵树CD的高度，CD的倒影是C′D，且AEC′在一条视线上，河宽BD=12m，且BE=2m，则树高CD=________m.
13.如图，如图，点A（3，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为∠1，tan∠1= 2
，则m的值是________．
3
14.如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为 ________ m．（结果精确到0.1m，可能用到的数据：√3≈1.732，√2≈1.414）．
15.如图，六个正方形组成一个矩形，A，B，C均在格点上，则∠ABC的正切值为________．
16.已知在△ABC中，AB= AC＝5，BC＝6，则tanB的值为________．
17.已知二次函数y=x2﹣x﹣1的图象与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2015的值为
________ ．
18.如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m 的A处，则小明的影子AM长为________m．
19.现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6，同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的而数字为掷得的结果，那么所得结果之积为12的概率是________．
20.如图，矩形ABCD中，过点B作AC的垂线交线段AD于E，垂足为F．若△CDF为等腰三角形，则AE
=________．
AD
三、解答题（共8题；共60分）
21.某校七、八、九三个年级的学生人数比为6：5：4，为了了解全校学生参加课外活动的时间，欲从中抽取容量为150的样本，现有四种方案．
（1）在九年级学生中用简单随机抽样，抽取150名学生进行调查；
（2）在全校学生中进行简单随机抽样，抽取150名学生进行调查；
（3）分别在三个年级各随机抽取50个样本进行调查；
（4）根据三个年级的人数比，分别在七、八、九年级中抽取60人、50人、40人进行调查．
你觉得哪种方案调查的结果会更准确一点？说说你的理由．
22.如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．
23.已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．
求证：Rt△ADC∽Rt△CDB ．
24.如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：√2≈1.41，√3≈1.73．
25.布袋里有四个小球，球表面分别标有2、3、4、6四个数字，它们的材质、形状、大小完全相同。

从中随机摸出一个小球记下数字为x，再从剩下的三个球中随机摸出一个球记下数字为y，点A的坐标为（x,y).运用画树状图或列表的方法，写出A点所有可能的坐标，并求出点A在反比例函数y=12
x 图象上的概率.
26.在学校开展的“学习交通安全知识，争做文明中学生”主题活动月中，学校德工处随机选取了该校部分学生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结果有三种情况：A ．从不闯红灯；B ．偶尔闯红灯；C 经常闯红灯．德工处将调查的数据进行了整理，并绘制了尚不完整的统计图如图，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）求本次活动共调查了多少名学生；
（2）请补全（图二），并求（图一）中B 区域的圆心角的度数； （3）若该校有2400名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数．
27.如图，小明想测山高度，他在B 处仰望山顶A ，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m 至索道口C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．求这座山的高度（小明的身高忽略不计）．
【参考数据：tan31°≈ 3
5，sin31°≈ 1
2，tan39°≈ 9
11，sin39°≈ 7
11】
28.抛物线y=a x 2+bx 经过点A(4,0),B(2,2),连结OB,AB ．
(1)求a 、b 的值；
(2)求证：△OAB是等腰直角三角形；
(3)将△OAB绕点O按顺时针方向旋转l35°得到△OA′B′,写出A′B′的中点P的出标．试判断点P是否在此抛物线上,并说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】cos30°= √3
2
．
故答案为：D．
【分析】由30°的余弦函数值可得.
2.【答案】B
【考点】随机事件
【解析】【分析】：必然发生的事件就是必然事件，依据定义可以判断．
A、是不可能事件，选项错误；
B、正确；
C、是随机事件，选项错误；
D、是随机事件，选项错误．
故选B．
3.【答案】A
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5,BC=3,
∴AC=√AB2−BC2=√52−32=4,
∴tanA=BC
AC =3 4 ;
故答案为A。

【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度，然后利用锐角三角函数定义进行解答即可。

4.【答案】B
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由题意得y=(x+2-1)2-2=(x+1)2-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。

根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。

5.【答案】A
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=2
3
，
∴AB= BC
sinA
=6，
根据勾股定理，得AC= √AB2−BC2 = √20 =2 √5．
故答案为：A．
【分析】根据解直角三角形的定义求出AB的值，再根据勾股定理求出AC的值.
6.【答案】C
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】二次函数和各轴的交点需要把根的判别式求出，进而判断取值范围。

【解答】二次函数和x轴有交点，所以方程kx2−7x−7=0有实数根，
故△=(−7)2−4×k×(−7)=49+28k≥0
故k≥−7
且k≠0
4
故选C。

【点评】此类试题属于难度一般的试题，只需考生把根的判别式求出判断即可
7.【答案】C
【考点】二次函数与不等式（组），二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】首先根据二次函数的顶点式，写出二次函数的对称轴与顶点坐标，再画出图象，根据图象可以直观的看到当0＜x＜4时，函数值中整数的个数．
【解答】∵二次函数y=（x-1)2-1，
∴此函数的对称轴就是x=1，顶点坐标是（1，-1)，如图所示：
当x=4时，y=8，
根据图象可得：当0＜x＜4时，函数值中整数的有-1，0，1，2，3，4，5，6，7，共有9个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是根据函数关系式画出二次函数图象．
8.【答案】B
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，
又∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1=90°﹣70°=20°，
∴∠2=∠1=20°，
即C点在B的北偏西20°的方向上．
故选B．
【分析】由AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米得AC2=AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠
ABC=90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2．
9.【答案】D
【考点】坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由∠1=∠2，∠AOC是公共角，可证得△AOB∽△COA，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】∵∠1=∠2，∠AOC=∠BOA，
∴△AOB∽△COA，
∴OA
OC ＝OB
OA
，
∵A（2，0)，B（0，4)，即OA=2，OB=4，
∴2
OC ＝4
2
，
解得：OC=1，
∴点C的坐标为：（0，1)．
故选D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握有两组角对应相等的两个三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用，注意数形结合思想的应用．
10.【答案】A
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：对顶点坐标为：x=﹣b
2a =﹣m
2
，y=1﹣m2
4
，其对称轴为：x=﹣b
2a
=﹣m
2
分三种情况：①当对称轴x＜0时，即﹣m
2
＜0，m＞0，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；
②当0≤x＜2时，0≤﹣m
2＜2，﹣4＜m≤0，当1﹣m2
4
＞0时，﹣2＜m≤2，满足当0＜x≤2时的函数
值总是非负数；
当1﹣m2
4
＜0时，不能满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；
∴当﹣2＜m≤0时，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，
③当对称轴﹣m
2
≥2时，即m≤﹣4，如果满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则有x=2时，y ≥0，
4+2m+1≥0，
m≥﹣5
2
，
此种情况m无解；
故答案为：A．
【分析】根据抛物线表示出其顶点的坐标，及对称轴，分三种情况：①当对称轴x＜0时，②当0≤x ＜2时，③当对称轴x ≥2时,分别列出关于m的不等式，求解并判断当0＜x≤2时的函数值总是非负数，即可得出答案。

二、填空题 11.【答案】1
6
【考点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有12可等可能的结果数，其中抽出的两颗求颜色相同的结果数为2， 所以小明抽出的两颗求颜色相同的概率= 2
12 = 1
6． 故答案为1
6．
【分析】画树状图展示所有共有12可等可能的结果数，再找出抽出的两颗求颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解． 12.【答案】8
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】利用△ABE ∽△CDE ，对应线段成比例解题， 因为AB ，CD 均垂直于地面，所以AB ∥CD ， 则有△ABE ∽△CDE ， ∵△ABE ∽△CDE ， ∴
＝
，
又∵AB=1.6，BE=2，BD=12， ∴DE=10， ∴
＝
，
∴CD=8． 故填8．
【分析】利用相似三角形求对应线段成比例，求解即可． 13.【答案】2
【考点】坐标与图形性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：作AB ⊥x 轴于点B ．
∵A 的坐标是（3，m ）， ∴OB=3，AB=m ．
又∵tan ∠1= AB
OB = 2
3，即m
3 = 2
3， ∴m=2． 故答案是：2．
【分析】本题考查了正切的定义以及平面直角坐标系，作AB ⊥x 轴于点B ，根据正切函数的定义即可求出所求结论． 14.【答案】2.3
【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，cos30°= √3
2
，则
AB= √32
≈2.3.
故答案为2.3.
【分析】解直角三角形，运用锐角函数. 15.【答案】3
【考点】矩形的性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵S △ABC = 1
2 BC •AD= 1
2 ×3×2，BC= √12+22 = √5， ∴AD= 6
√5 =
6√5
5， ∵AB= √22+22 =2 √2， ∴BD= √AB 2−AD 2 = 2√55
，
∴tan ∠ABC= AD
BD = 6√552√55
=3．
故答案为：3．
【分析】首先过点A 作AD ⊥BC 于点D ，利用三角形的面积求得AD 的长，再利用勾股定理求得BD 的长，继而求得答案． 16.【答案】4
3
【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】如图，
等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6， 过A 作AD ⊥BC 于D ，则BD=3， 在Rt △ABD 中，AB=5，BD=3，则AD=4， 故tanB= AD
BD = 4
3 . 故答案为：43 .
【分析】通过过顶点作底边的垂线，构造出直角三角形，利用正切定义求出tanB. 17.【答案】2016
【考点】抛物线与x 轴的交点
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x 2﹣x ﹣1的图象与x 轴的一个交点为（m ，0）， ∴m 2﹣m ﹣1=0， ∴m 2﹣m=1，
∴m 2﹣m+2015=1+2015=2016， 故答案为：2016．
【分析】把点（m ，0）代入y=x 2
﹣x ﹣1，求出m 2
﹣m=1，即可求出答案． 18.【答案】5
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，AM
AM+OA =AB 8
，
即AM
AM+20=
1.68
，
解得：AM=5． 故答案为：5．
【分析】根据相似三角形的性质对应边成比例，得到比例求出AM 的值. 19.【答案】1
9
【考点】列表法与树状图法 【解析】【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中两数之积为12的结果数为4， 所以所得结果之积为12的概率＝4
36＝1
9． 故答案为1
9．
【分析】由题意画出树状图，根据树状图中的信息即可求解。

20.【答案】1；1
2；√
5−12
【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：①如图，连接DF ．
当FC=FD 时，∠FDC=∠FCD ．∵∠ADF+∠FDC=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠FAD=∠FDC ，∴FA=DF ，∴FA=FC ．∵BF ⊥AC ，∴BA=BC ．∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 是正方形，点E 与点D 重合，则AE
AD =1；
②当DF=CD 时，作DM ⊥CF 于M 点．
∵DF=CD ，∴FM=CM ． ∵∠DCM=BAF ，CD=AB ， ∴△ABF ≌△CDM ，
∴AF=CM ，∴ AE AD = AE BC = AF FC = 1
2；
③当FC=DC 时．∵四边形ABCD 是矩形，BF ⊥AC ， ∴△ABF ∽△BCF ，
∴ AB BC = BF FC ，CD AD = AE
CD ，则CD 2=AD •AE ． ∵FC=DC ，四边形ABCD 是矩形，BF ⊥AC ， ∴△BFC ≌△ABE ，（AAS ）
∴AE=BF ．在Rt △ABE 中，AE 2
=BE 2
﹣AB 2
=AD 2
﹣CD 2
， ∴AE= √AD 2−CD 2 = √AD 2−AD ⋅AE ， ∴AE 2
=AD 2
﹣AD •AE ，AD 2
﹣AD •AE ﹣AE 2
=0， 解得：AD=
1+√52
AE ，AD=
1−√52
AE （不合题意舍去），
∴ AE
AD = 1+√5 = √
5−12
．
故答案为：1；1
2；√5−1
2
．
【分析】抓住已知△CDF 为等腰三角形，可以分三种情况进行讨论：①FC=FD ，②DF=DC ，③CF=CD ； ①当点E 与点D 重合时，即四边形为正方形时，很容易得出结论；②当DF=CD ，作DM ⊥CF 于M 点，先证△ABF ≌△CDM ，可得出AF=CM ，即可解答；③易证△ABF ∽△BCF ，根据相似三角形的性质，可证CD 2
=AD •AE ，再证明△BFC ≌△ABE 可得出AE=BF ，然后利用勾股定理解得关于AD 的方程，求出符合题意的AD 的长，即可求解。

综上所述可得出答案。

三、解答题
21.【答案】解：（1）只在九年级随机抽样，不具有代表性；
（2）在全校学生中进行简单随机抽样，由于七年级人数最多，所以抽取七年级的概率大； （3）三个年级的学生人数不同，这样抽不具代表性；
（4）根据三个年级的人数比，这就是在抽样过程中被抽到的概率，用分层抽样的方法从该校七、八、九年级中抽取60人、50人、40人进行调查． 所以（4）调查的结果会更准确一点． 【考点】抽样调查的可靠性
【解析】【分析】根据三个年级的人数比，这就是在抽样过程中被抽到的概率，用分层抽样的方法从该校七、八、九年级中抽取60人、50人、40人进行调查．
所以（4）调查的结果会更准确一点．
22.【答案】解：∵与墙平行的边的长为x （m ），则垂直于墙的边长为： =（25﹣0.5x ）m ，
根据题意得出：y=x （25﹣0.5x ）=﹣0.5x 2+25x
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据已知表示出矩形的长与宽进而表示出面积即可．
23.【答案】解答：∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD ，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴Rt△ADC∽Rt△CDB ．
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】求出∠ADC=∠CDB=90°，根据∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD ，根据相似三角形的判定推出即可．
24.【答案】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如图所示，
由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，
设AM=xm，则CN=xm，
在Rt△AFM中，MF= AM
tan45°=x
1
=x，
在Rt△CNH中，HN= CN
tan30°=
√3
3
=√3x，
∴HF=MF+HN﹣MN=x+ √3 x﹣24，
即8=x+ √3 x﹣24，
解得，x≈11.7，
∴AB=11.7+1.6=13.3m，
答：教学楼AB的高度AB长13.3m
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如图所示，根据矩形的性质得出MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，设AM=xm，则CN=xm，在Rt△AFM中，
根据正切函数的定义,由MF=
AM
tan45°
,表示出MF，在Rt△CNH中，根据正切函数的定义，由HN=
CN
tan30°
，
表示出HN,由HF=MF+HN﹣MN，建立方程，求解得出x的值，进而算出AB的长。

25.【答案】解依题意列表得：
由上表可得，点A 的坐标共有12种结果，其中点A 在反比例函数y =x
上的有4种：
(2,6)、（3，4）、（4，3）、（6，2），∴点A 在反比例函数y =
12
x
上的概率为4
12=1
3． 【考点】列表法与树状图法，概率公式，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据题意，列出表格，由表可知：点A 的坐标共有12种结果，根据反比例函数图像上的点的坐标特点，，其中点A 在反比例函数 y =12
x 上的有4种,根据概率公式即可算出点A 在反比例函数 y =12
x 上概率。

26.【答案】（1）解：20÷
36°360°
=20÷110
=200（名）．
故本次活动共调查了200名学生． （2）解：补全图二：
200﹣120﹣20=60（名）． 360°×60
200=108°．
故B 区域的圆心角的度数是108°． （3）解：2400×
60+20200
=2400×2
5=960（人）．
故估计该校不严格遵守信号灯指示的人数为960人． 【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图
【解析】【分析】（1）因为扇形的圆心角=360°×百分数，所以百分数=扇形的圆心角÷360°，由已知的扇形图和条形图可得，本次活动共调查的学生总数=20÷
36°360°=200（人）；
（2）B=200﹣120﹣20=60（名）；B 区域的圆心角的度数=360°
×60200=108 ° ；
（3）因为调查的学生中不严格遵守信号灯指示的人数=60+20=80，所以不严格遵守信号灯指示的被分数=80
200=0.4，所以该校不严格遵守信号灯指示的人数2400×0.4=960 （人）。

27.【答案】解：过点A 作AD ⊥BE 于D ，
设山AD 的高度为（x ）m ， 在Rt △ABD 中，
∵∠ADB=90°，tan31°= AD
BD ，
∴BD= BD
tan31° ≈ x
35
= 5
3 x ，
在Rt △ACD 中，
∵∠ADC=90°，tan39°= AD
CD ， ∴CD= AD
tan39° ≈ x
911
= 11
9 x ，
∵BC=BD ﹣CD ， ∴ 5
3 x 11
9 x=80， 解得：x=180． 即山的高度为180米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 【解析】【解答】
【分析】过点A 作AD ⊥BE 于D ，设山AD 的高度为（x ）m ，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中分别表示出BD 和CD 的长度，然后根据BD ﹣CD=80m ，列出方程，求出x 的值． 28.【答案】⑴ 由题意,得：,
解得：； ⑵ 过点
作
轴于点
,则
,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形； ⑶∵是等腰直角三角形,
,
∴
, 由题意,得：点坐标为, ∴的中点
的坐标为
, 当时,
∴点
不在抛物线上.
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求出抛物线的解析式；
（2）过B 作BC ⊥x 轴于C,根据A 、B 的坐标易求得OC=BC=AC=2,由此可证得∠BOC 、∠BAC 、∠OBC 、∠ABC 都是45°,即可证得△OAB 是等腰直角三角形；
（3）当△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转135°时,OB ′正好落在y 轴上,易求得OB 、AB 的长,即可得
到OB′、A′B′的长,从而可得到A′、B′的坐标,进而可得到A′B′的中点P点的坐标,然后代入抛物线中进行验证即可．。