北京市朝阳区2016届高三第二次(5月)综合数学理试题含答案

数学答案（理工类） 2016．5
一、选择题：（满分40分） 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C D A D C
二、填空题：（满分30分） 题
号
9 10 11 12 13 14 答
案 33y x =±，4 3，16 6 (,2][0,1)-∞- 21960n n -+-,5 221+ （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：（满分80分）
15．（本小题满分13分）
解：(Ⅰ) 因为21
cos 212sin 3
A A =-=-，且 0A <<π， 所以6sin 3A =
． 因为3,sin 6sin c A C ==，
由正弦定理sin sin a c A C
=，得66332a c =⋅=⨯=．…………………6分 (Ⅱ) 由6sin ,032A A π=<<得3cos 3
A =． 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=．
解得5b =或3b =-（舍负）．
所以152sin 22
ABC S bc A ∆==． …………………13分 解: （Ⅰ）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，
据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为
260×0.25=65天. ……………………………………………………5分
（Ⅱ）由题意可知X 的可能取值为30,35,40,50,70．
且(30)0.05P X ==；(35)0.10P X ==；(40)0.45P X ==；
(50)0.25P X ==；(70)0.15P X ==；
所以300.05+350.1+400.45+500.25+700.15=46EX =⨯⨯⨯⨯⨯．
…………………………………13分
17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形ABCD 中，
由//BC AD ，122BC AD =
=，60A ∠=︒，E 为AD 中点，
所以ABE ∆为等边三角形．如图2,
因为O 为BE 的中点，所以1A O BE ⊥．
又因为平面1A BE ⊥平面BCDE ，
且平面1A BE 平面BCDE BE =，
所以1A O ⊥平面BCDE ，所以1A O CE ⊥．………4分
（Ⅱ）连结OC ，由已知得CB CE =，又O 为BE 的中点，
图2
所以OC BE ⊥．
由（Ⅰ）知1A O ⊥平面BCDE ，
所以11,A O BE A O OC ⊥⊥，
所以1,,OA OB OC 两两垂直． 以O 为原点，1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为2BC =，易知13OA OC ==． 所以1(0
03),(100),(030),(100)A B C E -，，，，，，，，， 所以11
1(103),(033),(103)A B AC A E =-=-=--，，，，，，． 设平面1A CE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，
E C D B A 图1 A 1
x y z F O B
C D E
P
C B F O
D A 1 E
由 110,0 AC A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得330, 30.
y z x z ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ 即0, 30. y z x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取1z =，得(3,1,1)=-n ．
设直线1A B 与平面1A CE 所成角为θ， 则133315sin cos ,5255
A B θ--=〈〉===⨯n ． 所以直线1A B 与平面1A CE 所成角的正弦值为
155． …………………9分 （Ⅲ）假设在侧棱1A C 上存在点P ，使得//BP 平面1A OF ．
设11A P AC λ=，[0,1]λ∈．
因为1111
BP BA A P BA AC λ=+=+， 所以(103)(033)(1,3,33)BP λλλ=-+-=--，
，，，． 易证四边形BCDE 为菱形，且CE BD ⊥，
又由（Ⅰ）可知，1A O CE ⊥，所以CE ⊥平面1A OF ． 所以(1,3,0)CE =--为平面1A OF 的一个法向量． 由(1,3,33)(1,3,0)130BP CE λλλ⋅=--⋅--=-=，得1[0,1]3λ=
∈． 所以侧棱1A C 上存在点P ，使得//BP 平面1A OF ，且
1113A P A C =． …………14分 18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当3a =时, 21()42ln 2
f x x x x =-+-，0x >． 2()4f x x x
'=-+-． 则(1)1421f '=-+-=，而17(1)422
f =-
+=． 所以曲线C 在点(1,(1)f )处的切线方程为712y x -=-，即2250x y -+=． …………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）依题意当[]1,2x ∈时，曲线C 上的点(),x y 都在不等式组12,,32
x x y y x ⎧⎪≤≤⎪≤⎨⎪⎪≤+⎩所表示的平面区域内，
等价于当12x ≤≤时，3()2x f x x ≤≤+
恒成立． 设()()g x f x x =-211)ln 2
x ax a x （=-++-，[]1,2x ∈． 所以21(1)()=+=a x ax a g x x a+x x ---++-'(1)(1))=x x a x
---(-． （1）当11a -≤，即2a ≤时，当[]1,2x ∈时，()0g x '≤，()g x 为单调减函数，
所以(2)()(1)g g x g ≤≤． 依题意应有131,222221ln20,
()()()g a g a a ⎧=-≤⎪⎨⎪=-++-≥⎩ 解得21a a ,.≤⎧⎨≥⎩
所以12a ≤≤． （2）若 112a <-<，即23a <<时，当[)1,1x a ∈-，()0g x '≥，()g x 为单调增函 数，
当x ∈(]1,2a -，()0g x '<，()g x 为单调减函数．
由于3(1)2
g >，所以不合题意． （3）当12a -≥，即3a ≥时，注意到15(1)22g a =-
≥，显然不合题意． 综上所述，12a ≤≤． …………………………………………13分
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）依题意可知2a =，211c =-=，
所以椭圆C 离心率为1222
e ==． …………… 3分 （Ⅱ）因为直线l 与x 轴，y 轴分别相交于,A B 两点，所以000,0x y ≠≠． 令0y =，由0012
x x y y +=得02x x =，则02(,0)A x ．
令0x =，由0012x x
y y +=得01
y y =，则0
1
(0,)B y ．
所以OAB ∆的面积0000
112
1
22OAB S OA OB x y x y ∆===．
因为点00(,)P x y 在椭圆:C 2
212x y +=上，所以2
2
012x y +=． 所以2
00
20
01222x y x y =+≥．即0022x y ≤，则00
1
2x y ≥． 所以00
1
1
22OAB S OA OB x y ∆==≥． 当且仅当2
20
02x y =，即002
1,2x y =±=±时，OAB ∆面积的最小值为2．
…
9分 （Ⅲ）①当00x =时，(0,1)P ±．
当直线:1l y =时，易得(1,2)Q -，此时21F P k =-，21F Q k =-．
因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线．
同理，当直线:1l y =-时，三点2,,Q P F 共线．
②当00x ≠时，设点(,)Q m n ，因为点Q 与点1F 关于直线l 对称，
所以0000
11,
2220
2() 1.
1212x m n
y n x m y -⎧⋅+⋅=⎪⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪+⎪⎩整理得000000240,
220.
x m y n x y m x n y +--=⎧⎨
-+=⎩ 解得22
000
2200
000
2200
44,
448.
4x x y m y x x y y n y x ⎧+-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩ 所以点22
000000
222200004448(,)44x x y x y y Q y x y x +-+++．
又因为200(1,)F P x y =-，22000000222220000
4448(1,)44x x y x y y F Q y x y x +-+=-++， 且 22200000000000002222220000004448(48)(48)(1)(1)(1)444x x y x y y x y x x y x y y x y x y x +-+--+--⋅-⋅-=⋅+++ 22000002200
48(448)4x y x x y y x --+-=⋅+ 22220000000222222000000
8484(2)84280444y x y x y y y y x y x y x --+-++-⨯+=⋅=⋅=⋅=+++． 所以2//F P 2F Q ．所以点2,,Q P F 三点共线．
综上所述，点2,,Q P F 三点共线． …………………………………14分 20．（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）当2n =时，{1,2,3,4}S =，令1{1,4}S =，2{2,3}S =,
则12S S S =, 且对,(1,2),i x y S i x y ∀∈=>，都有i x y S -∉，
所以S 具有性质P ．相应的P 子集为1{1,4}S =，2{2,3}S =． ………… 3分 （Ⅱ）①若31,(1)2
n x y T y x -∈≤<≤,由已知x y T -∉, 又31132
n n x y --≤-<,所以x y T '-∉．所以'x y T T -∉． ②若,x y T '∈,可设3,3n n x s y r =+=+，,r s T ∈,且3112
n r s -≤<≤， 此时31(3)(3)132n n n
n x y s r s r --=+-+=-≤-<． 所以'x y T -∉，且x y s r T -=-∉．所以x y T
T '-∉．
③若y T ∈, 3n x s T '=+∈,s T ∈， 则313331(3)()3(1)3222n n n n n
n x y s y s y -+--=+-=-+≥-+=>, 所以x y T -∉．
又因为,y T s T ∈∈，所以s y T -∉．所以(3)()3n n x y s y s y T '-=+-=-+∉．
所以'x y T
T -∉． 综上，对于,'x y T T ∀∈，x y >，都有'x y T T -∉． …………… 8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．
（1）由（Ⅰ）可知当2n =时，命题成立，即集合S 具有性质P ．
（2）假设n k =(2k ≥)时，命题成立．即1231{1,2,3,
,}2k k S S S S -==， 且(1,,)i j S S i j n i j =∅≤≤≠，,(1,2,
,),i x y S i k x y ∀∈=>，都有i x y S -∉． 那么 当1n k =+时，记{3|}k i i S s s S '=+∈,
， 并构造如下 k +1个集合：111S S S '''=,222S S S '''=,,k k k
S S S '''=， 1313131{1,2,,21}22
2
k k k k S +---''=++⨯+， 显然()i j S S i j ''''=∅≠． 又因为131313122k k +--=⨯+，所以112131{1,2,3,,}2
k k k S S S S ++-''''''''=． 下面证明 ¢¢S i 中任意两个元素之差不等于 ¢¢S i 中的任一元素(1,2,,1)i k =+．
①若两个元素13131,22k k k r s S +--''++∈,31112
k r s -≤<≤+, 则313131()()222
k k k s r s r ---+-+=-≤, 所以13131()()22
k k k s r S +--''+-+∉． ②若两个元素都属于i i i S S S '''=(1)i k ≤≤,
由（Ⅱ）可知，i S ''中任意两个元素之差不等于i S ''中的任一数(1,2,
,1)i k =+． 从而，1n k =+时命题成立．
综上所述，对任意正整数2n ≥，集合S 具有性质P ．………………………13分。