2017-2018年吉林省松原市扶余一中高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2017-2018学年吉林省松原市扶余一中高二（上）期中数学试卷
（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（5分）抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（）
A．4 B．8 C．12 D．16
3．（5分）焦距是8，离心率0.8的椭圆的标准方程为（）
A．+=1
B．+=1
C．+=1或+=1
D．以上都不是
4．（5分）“方程+=1表示焦点在x轴的椭圆”是“﹣1＜n＜2”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（）
A．相交B．相切
C．相离D．以上答案均有可能
6．（5分）命题“∀x∈R，均有x2+sinx+1＜0”的否定为（）
A．∀∈R，均有x2+sinx+1≥0 B．∃x∈R，使得x2+sinx+1＜0
C．∃x∈R，使得x2+sinx+1≥0 D．∀x∈R，均有x2+sinx+1＞0
7．（5分）某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则判断框中可以是（）
A．i＞6？B．i＞7？C．i≥6？D．i≥5？
8．（5分）从一批产品中任取3件，设A=“三件全是正品”，B=“三件全是次品”，C=“至少有一件正品”，则下列结论正确的是（）
A．A与C互斥 B．A与B互为对立事件
C．B与C互斥D．A与C互为对立事件
9．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
A．08 B．07 C．02 D．01
10．（5分）用秦九绍算法求多项式f（x）=0.5x5+4x4﹣3x2+x﹣1，当x=3的值时，先算的是（）
A．3×3=9 B．0.5×35=121.5
C．0.5×3+4=5.5 D．（0.5×3+4）×3=16.5
11．（5分）a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12．（5分）过双曲线x2﹣y2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（）
A．[0，π） B．（，）C．（，）∪（，） D．（0，）∪（，π）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）
13．（5分）抛物线x2=﹣4y的准线方程为．
14．（5分）椭圆的左顶点到右焦点的距离为．
15．（5分）已知中心在原点的椭圆右顶点为（2，0），直线y=x﹣1与椭圆相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是．16．（5分）抛物线y2=4x上一点A到点B（3，2）与焦点的距离之和最小，则点A的坐标为．
三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．（10分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x（百元）与日销售量y（件）之间有如下关系：
（1）求y关于x的回归直线方程；
（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？
相关公式：，．
18．（12分）设命题p：不等式x+x2≥a对x≥0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣2x﹣a=0在R上有解，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取
值范围．
19．（12分）甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率．
20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到焦点F距离为4．（1）求抛物线方程；
（2）经过点（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，M（﹣4，0），若直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的最小值．
21．（12分）双曲线的右焦点为F（c，0）．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；
（2）经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线右支交于点A，且△OAF是以AF 为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率e的值．
22．（12分）已知椭圆：的左、右焦点为F1、F2，正△AF1F2的中心恰为椭圆的上顶点B，且，点M为椭圆上任一点，点N与M 关于x轴对称．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P为椭圆上的一动点，直线PM，PN都不与坐标轴平行，且分别与x轴交于C，D两点，从原点O作经过点C，D两点的圆E的切线，切点为H，判断|OH|是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，求出|OH|的范围．
2017-2018学年吉林省松原市扶余一中高二（上）期中数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”是真命题，
∴其逆否命题也为真命题．
原命题的逆命题为：“若△ABC是直角三角形，则∠C=90°”是假命题（△ABC是直角三角形不一定角C为直角），
∴原命题的否命题也是假命题．
∴真命题的个数是2．
故选：C．
2．（5分）抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（）
A．4 B．8 C．12 D．16
【解答】解：∵Q点到焦点的距离为10，
∴，解得p=8．
∴焦点到准线的距离=p=8．
故选：B．
3．（5分）焦距是8，离心率0.8的椭圆的标准方程为（）
A．+=1
B．+=1
C．+=1或+=1
D．以上都不是
【解答】解：∵焦距是8，离心率0.8，
∴，解得a=5，c=4，
∴b2=25﹣16=9，
∴当椭圆的焦点在x轴时，椭圆方程为=1，
当椭圆的焦点在y轴时，椭圆方程为=1．
故选：C．
4．（5分）“方程+=1表示焦点在x轴的椭圆”是“﹣1＜n＜2”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴的椭圆，
∴，
解得﹣1＜n＜，
∴方程+=1表示焦点在x轴的椭圆”是“﹣1＜n＜2”的充分不必要条件，故选：A．
5．（5分）设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（）
A．相交B．相切
C．相离D．以上答案均有可能
【解答】解：不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y 轴的右侧，以X轴为对称轴．
设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．
而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，
由抛物线的定义可得：==半径．
所以圆心M到准线的距离等于半径，
所以圆与准线是相切．
故选：B．
6．（5分）命题“∀x∈R，均有x2+sinx+1＜0”的否定为（）
A．∀∈R，均有x2+sinx+1≥0 B．∃x∈R，使得x2+sinx+1＜0
C．∃x∈R，使得x2+sinx+1≥0 D．∀x∈R，均有x2+sinx+1＞0
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“∀x∈R，均有x2+sinx+1＜0”的否定为：∃x∈R，使得x2+sinx+1≥0．故选：C．
7．（5分）某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则判断框中可以是（）
A．i＞6？B．i＞7？C．i≥6？D．i≥5？
【解答】解：根据题意可知该循环体运行情况如下：
第1次：s=0+21=2，i=1+1=2
第2次：s=2+22=6，i=3
第3次：s=6+23=14，i=4
第4次：s=14+24=30，i=5
第5次：s=30+25=62，i=6
因为输出结果是62，结束循环，判断框应该是i≥6．
故选：C．
8．（5分）从一批产品中任取3件，设A=“三件全是正品”，B=“三件全是次品”，
C=“至少有一件正品”，则下列结论正确的是（）
A．A与C互斥 B．A与B互为对立事件
C．B与C互斥D．A与C互为对立事件
【解答】解：从一批产品中任取3件，
设A=“三件全是正品”，B=“三件全是次品”，C=“至少有一件正品”，
在A中，事件A与C能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，事件A与B不能同时发生，能同时不发生，是互斥事件，故B错误；在C中，事件B与C不能同时发生，能同时不发生，是互斥事件，故C正确；在D中，事件A与C能同时发生，不是对立事件，故D错误．
故选：C．
9．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
A．08 B．07 C．02 D．01
【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，
第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，
第三个数为08，符合条件，
以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，
故第5个数为01．
故选：D．
10．（5分）用秦九绍算法求多项式f（x）=0.5x5+4x4﹣3x2+x﹣1，当x=3的值时，先算的是（）
A．3×3=9 B．0.5×35=121.5
C．0.5×3+4=5.5 D．（0.5×3+4）×3=16.5
【解答】解：∵f（x）=0.5x5+4x4﹣3x2+x﹣1=（（（（0.5x+4）x+0）x﹣3）x+1）x﹣1，
故用秦九韶算法求多项式f（x）=0.5x5+4x4﹣3x2+x﹣1，当x=3的值时，先算的是0.5×3+4=5.5．
故选：C．
11．（5分）a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：方程ax2+2x+1=0有根，则△=22﹣4a≥0，得a≤1时方程有根，
当a＜0时，x1x2=＜0，方程有负根，又a=1时，方程根为x=﹣1，
显然a＜0⇒方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根；
方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根，不一定a＜0．
a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．
故选：B．
12．（5分）过双曲线x2﹣y2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（）
A．[0，π） B．（，）C．（，）∪（，） D．（0，）∪（，π）
【解答】解：设直线y=k（x﹣），与双曲线方程联立，消去y，可得（1﹣k2）
x2+2k2x﹣2k2﹣1=0
∵x1x2＞0
∴＞0，
∴k2＞1，即k＞1或者k＜﹣1①
又x1+x2＞0，∴＞0，可得k＞1或者k＜﹣1，②
又△=（8k4）﹣4（1﹣k2）（﹣2k2﹣1）＞0解得k∈R③
由①②③知k的取值范围是k＜﹣1或k＞1．
又斜率不存在时，也成立，
∴＜α＜．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）
13．（5分）抛物线x2=﹣4y的准线方程为y=1．
【解答】解：抛物线x2=﹣4y焦点在y轴的负半轴上，则=1，
∴抛物线的焦点坐标为（0，﹣1），准线方程：y=1，
故答案为：y=1．
14．（5分）椭圆的左顶点到右焦点的距离为6．
【解答】解：椭圆可得a=4，b=2，c=2，
则：椭圆的左顶点到右焦点的距离为：6．
故答案为：6．
15．（5分）已知中心在原点的椭圆右顶点为（2，0），直线y=x﹣1与椭圆相交
于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是．【解答】解：根据题意，要求椭圆的右顶点为（2，0），设椭圆的方程为+=1，
（m＞0且m≠2）
把直线y=x﹣1代入椭圆方程中，可得（4+m2）x2﹣8x+4﹣4m2=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，
又由MN中点的横坐标为，
则有=，
解可得m2=2，
则要求椭圆的方程为；
故答案为：．
16．（5分）抛物线y2=4x上一点A到点B（3，2）与焦点的距离之和最小，则点A的坐标为（1，2）．
【解答】解：由抛物线y2=4x可得焦点F（1，0），直线l的方程：x=﹣1．
如图所示，过点A作AM⊥l，垂足为M．则|AM|=|AF|．
因此当三点B，A，M共线时，|AB|+|AM|=|BM|取得最小值3﹣（﹣1）=4．此时y A=2，代入抛物线方程可得22=4x A，解得x A=1．
∴点A（1，2）．
故答案为：（1，2）．
三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．（10分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x（百元）与日销售量y（件）之间有如下关系：
（1）求y关于x的回归直线方程；
（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？
相关公式：，．
【解答】解：（1）因为=7，=6.8，
所以，==﹣2，
=20.8．
于是得到y关于x的回归直线方程y=﹣2x+20.8．
（2）销售价为x时的利润为（x﹣4）（﹣2x+20.8）=﹣2x2+28.8x﹣83.2，
当x=≈7时，日利润最大．
18．（12分）设命题p：不等式x+x2≥a对x≥0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣2x﹣a=0在R上有解，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．
【解答】解：若不等式x+x2≥a对x≥0恒成立，
故a≤0，
故p为真时：a≤0，
若关于x的方程x2﹣2x﹣a=0在R上有解，
则a=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，
故q为真时，a≥﹣1，
若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
则p，q一真一假，
则或，
故a＜﹣1或a＞0．
19．（12分）甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率．
【解答】解：设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y则0＜x，y＜24；…（2分）
若至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则0＜y﹣x＜6或0＜x﹣y＜6 …（6分）
如图：…（9分）
必须等待的概率为：
20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到焦点F距离为4．（1）求抛物线方程；
（2）经过点（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，M（﹣4，0），若直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的最小值．
【解答】解：（1）由抛物线的定义可得3+=4，∴p=2，
∴抛物线方程为y2=4x；
（2）设l：x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2）．
将x=my+4代入y2=4x得y2﹣4my﹣16=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=﹣16．
∴x1+x2=4m2+8，x1x2=16．
∴k1•k2==，
∴m=0时，k1•k2取得最小值﹣．
21．（12分）双曲线的右焦点为F（c，0）．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；
（2）经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线右支交于点A，且△OAF是以AF 为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率e的值．
【解答】解：（1）由题可知a=b，所以c=a=b=2，
则a=b=，
则双曲线的方程为+=1，
（2）由题|OA|=c，又OA的倾斜角为30°，所以A（c，c），
代入双曲线方程有﹣=1，
结合c2=a2+b2，可得3c4﹣8a2c2+4a4=0，
解得e2=2或e2=（舍去）
解得e=
22．（12分）已知椭圆：的左、右焦点为F1、F2，正△AF1F2的中心恰为椭圆的上顶点B，且，点M为椭圆上任一点，点N与M 关于x轴对称．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P为椭圆上的一动点，直线PM，PN都不与坐标轴平行，且分别与x轴
交于C，D两点，从原点O作经过点C，D两点的圆E的切线，切点为H，判断|OH|是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，求出|OH|的范围．【解答】解：（1）∵正三角形AF1F2的中心恰为椭圆的上顶点B，
∴，又，
∴c2﹣b2=2，解得a=2，b=1，c=．
∴椭圆的标准方程为；
（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x1，﹣y1），C（m，0）D（n，0）．
由题意可知mn＞0．则可设圆心E（），
∵OH与圆E切于H，
∴|OH|2=|OE|2﹣|CE|2=，
又P、C、M三点共线，∴，得，
同理可得：，则．
又点M、N、P都在椭圆上，有，
∴=．
即|OH|=2为定值．。