六年级春季班第14讲：一次方程组的应用-教师版

x y 15+=⎧
⎨⎩
一次方程组的应用是初中数学六年级下学期第2章第4节的内容，主要考察方程的思想方法．之前学习一元一次方程的应用，只需设一个未知数，列方程解应用题，而方程组的应用需要考虑设几个未知数来解决问题． 列方程组解应用题时要灵活选择未知数的个数．对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解．
本讲的重点是掌握利用方程组的思想解决相关的实际问题，有利于培养学生利用数学知识解决实际问题的能力．
1、 列方程组解应用题的一般步骤
（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；
（2）设未知数（元）；
（3）列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答．
一次方程组的应用
内容分析
知识结构
模块一：二元一次方程组的应用 知识精讲
【例1】笔记本每本3元，钢笔每支4元，共15件用去50元，设买笔记本x本，钢笔y 支，可列出方程组：____________________________．
【难度】★
【答案】
15 3450
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
．
【解析】笔记本和钢笔一共15件，则15
x y
+=，笔记本用去3x元，钢笔用去4y元，
根据题意，列出方程组为
15 3450
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
．
【总结】考察分析题意后列二元一次方程组解应用题．
【例2】已知某年级共有学生568人，其中男生人数比女生人数的2倍少5人．设男生人数为x，女生人数为y，根据题意，可列出方程组为____________________．
【难度】★
【答案】
568 25
x y
y x
+=
⎧
⎨
-=
⎩
．
【解析】男生和女生一共568人，则568
x y
+=，男生人数比女生人数的2倍少5人，
则25
y x
-=，根据题意列出方程组为
568 25
x y
y x
+=
⎧
⎨
-=
⎩
．
【总结】考察分析题意后列二元一次方程组解应用题．
【例3】某班同学参加运土活动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每人挑两筐．全班同学共用箩筐59只，扁担36根．设该班女同学有x人，男同学y人，根据题意，可列出方程组（）
A．
1
259
2
1
36
2
x y
x y
⎧⎛⎫
+=
⎪
⎪⎪
⎝⎭
⎨
⎪+=
⎪⎩
B．
1
259
2
1
36
2
x y
x y
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
C．
236
1
259
2
x y
x y
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
D．
259
236
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
例题解析
【难度】★
【答案】B
【解析】女同学抬土，每两人抬一筐，用筐12x ，用扁担12
x ，男同学挑土，每人挑两筐， 用筐2y ，用扁担y ，根据题意，列车方程组为125921362
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故选B 【总结】考察分析题意后列二元一次方程组解应用题．
【例4】 汽车从甲地到乙地，如每小时行驶40千米，则要迟到3小时，每小时行驶50千米，
则可早到2小时，设甲、乙两地距离x 千米，原规定时间为y 小时，可列出方程组： _______________________． 【难度】★★
【答案】340250
x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】根据=路程时间速度
，列出方程组，注意迟到与早到和规定时间的关系加减． 【总结】考察列二元一次方程组解决行程问题类应用题．
【例5】 六年级学生乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐
60人，则恰好空出一辆汽车，问有几辆车？共有多少学生？
【难度】★★
【答案】一共有5辆车，共240名学生．
【解析】解：设共有x 辆车，共有y 名学生，
根据题意列方程组得：()45156010y x y x -=⎧⎨--=⎩
，整理得：45156060y x y x -=⎧⎨-=-⎩， 解得：5240x y =⎧⎨=⎩
． 答：一共有5辆车，共240名学生．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题．
【例6】 某车间51名工人要完成一个轿车零件订单，每个工人每天能加工甲种零件16个，
或加工乙种零件21个，而一辆轿车需要5个甲种零件和3个乙种零件才可以配套，为了每天能配套生产应如何安排工人？
【难度】★★
【答案】安排35人加工甲种零件，安排16人加工乙种零件．
【解析】解：设安排x 人加工甲种零件，安排y 人加工乙种零件，
根据题意列方程组得：5116215
3x y x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得：511635x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：3516x y =⎧⎨=⎩． 答：安排35人加工甲种零件，安排16人加工乙种零件．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题．
【例7】 六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都有一些同学参加课外天文小组，（1）
班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组的人数的三分之一，（2）班参加天文小组的人数恰好是（1）班没有参加天文小组的人数的四分之一．问六年级（1）班、（2）班没有参加天文小组各有多少人？
【难度】★★
【答案】六年级（1）班有32人没有参加天文小组，（2）班有36人没有参加天文小组．
【解析】解：设六年级（1）班有x 人没有参加天文小组，（2）班有y 人没有参加天文小组，
根据题意列方程组得：14431444
x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理解得：3236x y =⎧⎨=⎩． 答：六年级（1）班有32人没有参加天文小组，（2）班有36人没有参加天文小组．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意巧设未知数．
【例8】 山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你
的羊跑下来4只，那么我们两个人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？
【难度】★★
【答案】山上牧童赶羊20只，山下牧童赶羊12只．
【解析】解：设山上牧童赶羊x 只，山下牧童赶羊y 只，
根据题意列方程组得：()44434x y x y -=+⎧⎨+=-⎩
，解得：2012x y =⎧⎨=⎩． 答：山上牧童赶羊20只，山下牧童赶羊12只．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题．
【例9】把48升水注入两个容器，可灌满第一个容器和第二个容器的三分之一，或者可灌满第一个容器和第二个容器各二分之一，求每个容器的容量．
【难度】★★
【答案】第一个容器24升，第二个容器72升．
【解析】解：设第一个容器x升，第二个容器y升，
根据题意列方程组得：
1
48
3
11
48
22
x y
x y
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，解得：
24
72
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：第一个容器24升，第二个容器72升．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意对题意的理解，列出合适的方程．
【例10】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你的岁数时，你将61岁．”那么甲与乙现在的年龄分别是多少岁？
【难度】★★
【答案】甲现在的年龄是42岁，乙现在的年龄是23岁．
【解析】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，
根据题意得：
4
61
x y y
x y x
-=-
⎧
⎨
-=-
⎩
，解得：
42
23
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：甲现在的年龄是42岁，乙现在的年龄是23岁．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意两人的年龄差是不变的．
【例11】某船顺流下行36千米用3小时，逆流上行24千米用3小时，求水流速度和船在静水中的速度．
【难度】★★
【答案】水流速度为2千米/时，船在静水中的速度为10千米/时．
【解析】解：设水流速度为x千米/时，船在静水中的速度为y千米/时，
根据题意列方程组得：
()
()
336
324
x y
y x
+=
⎧⎪
⎨
-=
⎪⎩
，解得：
2
10
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：水流速度为2千米/时，船在静水中的速度为10千米/时．
【总结】考察行船问题列二元一次方程组解应用题，根据
=+
⎧
⎨
=
⎩
顺水速度静水速度水流速度
逆水速度静水速度-水流速度
．
【例12】 用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图所示的竖式和横式的两种无盖纸
盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？
【难度】★★
【答案】竖式无盖纸盒做200只，
横式无盖纸盒400只．
【解析】解：设竖式无盖纸盒做x 只，
横式无盖纸盒y 只，
根据题意列方程组得：43200021000x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，解得：200400x y =⎧⎨=⎩
． 答：竖式无盖纸盒做200只，横式无盖纸盒400只．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意对两种纸盒正确区分．
【例13】 一个工人需在规定时间内完成加工一批零件的任务，如果他每小时做10个零件，
就可超过任务3个，如果每小时做11个零件，就可提前1小时完成，他加工的零件使多少个？规定时间是多少小时？
【难度】★★
【答案】加工零件77个，规定时间为8小时．
【解析】解：设加工零件x 个，规定时间为y 小时，
根据题意得：()103111y x y x =+⎧⎨-=⎩
，解得：778x y =⎧⎨=⎩ 答：加工零件77个，规定时间为8小时．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意找到题目中的等量关系．
【例14】 一批零件190个，如甲先做2天，然后乙加入合作3天正好完成；如果乙先做3
天，然后甲加入合作2天也正好完成．问甲、乙两人每天各能做多少个零件？
【难度】★★
【答案】甲每天做20个零件，乙每天做30个零件
【解析】解：设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件
根据题意得：()()2319032190x x y y x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩
，解得：2030x y =⎧⎨=⎩ 答：甲每天做20个零件，乙每天做30个零件．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题．
【例15】 小红家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年收入高
15%，支出比去年低10%，求去年的收入和支出各是多少元？
【难度】★★
【答案】去年收入20000元，去年支出15000元．
【解析】解：设去年收入x 元，去年支出y 元，
根据题意得：()()5000115%110%9500x y x y -=⎧⎨+--=⎩
，解得：2000015000x y =⎧⎨=⎩ 答：去年收入20000元，去年支出15000元．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题．关键是从实际问题中整理出两个等量关系．
【例16】 电信局现有600部已申请电话待装，此外每天另有新申请电话待装，设每天新申
请的电话数相同．如果安排3个装机小组，60天恰好装完，如果安排5个装机小组，20天恰好装完；问每天新申请电话多少部？每个装机小组每天安装多少部电话？
【难度】★★
【答案】每天新申请电话20部，每个装机小组每天安装10部电话
【解析】解：设每天新申请电话x 部，每个装机小组每天安装y 部电话，
根据题意得：6060060320600205x y x y +=⨯⎧⎨+=⨯⎩，解得：2010x y =⎧⎨=⎩
， 答：每天新申请电话20部，每个装机小组每天安装10部电话．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意找到题目中的等量关系．
【例17】 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们
在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？
【难度】★★★
【答案】甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米．
【解析】解：设甲每小时走x 千米，乙每小时走y 千米，
根据题意得：()()2.52 2.53633236x y x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩
， 解得：63.6x y =⎧⎨=⎩， 答：甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米．
【总结】考察列二元一次方程组解行程问题的应用题，注意两人行走的时间是不相等的．
【例18】 甲、乙两人相距28千米，若同时同向而行，则甲在14小时后追上乙；若相向而
行，乙先出发2小时，则在甲出发2小时45分后相遇，求甲、乙两人的速度．
【难度】★★★
【答案】甲的速度为5千米/时，乙的速度为3千米/时．
【解析】解：设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时 根据题意得：14142811192844
x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：53x y =⎧⎨=⎩ 答：甲的速度为5千米/时，乙的速度为3千米/时．
【总结】考察列二元一次方程组解行程问题的应用题，同向是追及问题，相向是相遇问题．
【例19】 两个两位数的和是68，在较大的两位数右边接着写上较小的两位数，得到一个四
位数，类似的，在较大的两位数左边写上较小的两位数，得到的四位数比前一个四位数少2178，求这两个两位数．
【难度】★★★
【答案】较小的两位数为23，较大的两位数为45．
【解析】解：设较小的两位数为x ，较大的两位数为y ，
根据题意得：()()681001002178x y y x x y +=⎧⎨+-+=⎩
，解得：2345x y =⎧⎨=⎩ 答：较小的两位数为23，较大的两位数为45．
【总结】考察列二元一次方程组解数字类应用题，注意数的表示．
【例20】 一商贩第一天卖出鲫鱼30千克、草鱼50千克，共获利310元；第二天卖出鲫鱼
25千克、草鱼45千克，共获利267元．照这样计算，若该商贩某一个月中卖出鲫鱼700千克、草鱼1200千克，请你帮他算算这个月他能获利多少元？
【难度】★★★
【答案】这个月他能获利7320元．
【解析】解：设鲫鱼每千克获利x 元，草鱼每千克获利y 元，
根据题意得：30503102545267x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：62.6x y =⎧⎨=⎩
， 则70061200 2.67320⨯+⨯=（元）
答：这个月他能获利7320元．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意先算出每千鲫鱼和每千克草鱼的获利．
【例21】已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000 元，B型每台4000元，C型每台2500元．某中学计划将100500元全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．
【难度】★★★
【答案】有两种方案可供选择，
第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；
第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台
【解析】解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，购进B型电脑y台，购进C型电脑z台，则可以分为三种情况考虑：
（1）只购进A型电脑和B型电脑，
根据题意得：
60004000100500
36
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
21.75
57.75
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，不合题意，应舍去；
（2）只购进A型电脑和C型电脑，
根据题意得：
60002500100500
36
x z
x z
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
3
33
x
z
=
⎧
⎨
=
⎩
，
（3）只购进B型电脑和C型电脑，
根据题意得：
40002500100500
36
y z
y z
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
7
29
y
z
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：有两种方案可供选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意要充分考虑三种情况及题中的整数性．
【例22】 从甲地到乙地，先下山然后走平路．某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速
度下山，再以每小时9千米的速度通过平路，到乙地共用去1小时．他回来时以每小时8千米的速度上山，通过平路的速度不变，回到甲地共用去1小时15分钟，问甲乙两地距离多远？
【难度】★★★
【答案】甲、乙两地距离10.5千米．
【解析】解：设坡路的路程是x 千米，平路的路程是y 千米， 根据题意得：11295894
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：64.5x y =⎧⎨=⎩， 则甲、乙的距离为6 4.510.5+=（千米）
答：甲、乙两地距离10.5千米．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题，此题综合性较强，注意去时是下坡路则回来时变 为上坡路．
列方程组解应用题的一般步骤
（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；
（2）设未知数（元）；
（3）列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答．
模块二：三元一次方程组的应用 知识精讲
【例23】 一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位数上的数字，百位上的数字的
7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三个数． 【难度】★★
【答案】这个三位数为275．
【解析】解：设个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z 根据题意得：()7214x z y z x y x y z +=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得：5
72x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
答：这个三位数为275．
【总结】考察列三元一次方程组解数字类应用题．
【例24】 小明有12张面额分别为1元，5元，10元的纸币，共计38元，其中1元纸币的
数量是5元元纸币数量的4倍，求1元，5元，10元纸币各多少张？ 【难度】★★
【答案】1元纸币有8张，5元纸币有2张，10元纸币有2张． 【解析】解：设1元纸币有x 张，5元纸币有y 张，10元纸币有z 张 根据题意得：12510384x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：822x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
答：1元纸币有8张，5元纸币有2张，10元纸币有2张． 【总结】考察列三元一次方程组解应用题．
【例25】 某人某天能加工甲种零件12个或乙种零件10个或丙种零件20个，而甲、乙、丙
三种零件分别取3个、2个、1个能配成一套．要在10天内加工最多的成套产品，甲、乙、丙三种产品各应加工几天？ 【难度】★★
【答案】甲应加工5天，乙应加工4天，丙应加工1天．
例题解析
【解析】解：设甲应加工x 天，乙应加工y 天，丙应加工z 天， 根据题意得：101232010220x y z x z y z ++=⎧⎪=⨯⎨⎪=⨯⎩，解得：541x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
答：甲应加工5天，乙应加工4天，丙应加工1天． 【总结】考察列三元一次方程组解应用题．
【例26】 某单位职工在植树节去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株树
是甲、丙两组和的四分之一，甲组植树的株树恰是乙组和丙组的和，问甲、乙、丙三个小组分别植树多少株？ 【难度】★★
【答案】甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株 【解析】解：设甲组植树x 株，乙组植树y 株，丙组植树z 株 根据题意得：()50
14x y z y x z x y z ++=⎧⎪⎪
=+⎨⎪
=+⎪⎩
，解得：251015x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，
答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株．
【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意找到相应的等量关系．
【例27】 某足球队共参加了11场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该
队所负场次是所胜场次的一半，结果共得20分．求该队胜、平、负各几场． 【难度】★★
【答案】该队胜6场，平2场，负3场． 【解析】解：设该队胜x 场，平y 场，负z 场 根据题意得：11
12320
x y z z x x y ++=⎧⎪⎪
=⎨⎪
+=⎪⎩，解得：623x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，
答：该队胜6场，平2场，负3场．
【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意认真分析，从不同的角度找到等量关系．
【例28】 某同学有1元、5角、1角硬币共23枚，共计10.10元，问三种硬币各有多少枚？ 【难度】★★★
【答案】1元硬币有6枚，5角硬币有6枚，1角硬币有11枚 【解析】解：设1元硬币有x 枚，5角硬币有y 枚，1角硬币有z 枚
根据题意得：23,(1)0.50.110.10,(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
，则()()12-得：0.50.912.9y z +=
根据实际意义可知x 、y 、z 均为非负整数，则当1z =时，24y =，不符题意，应舍去； 当11z =时，6y = ，6
611x y z =⎧⎪
∴=⎨⎪=⎩
答：1元硬币有6枚，5角硬币有6枚，1角硬币有11枚．
【总结】考察将三元一次方程组应用到实际生活问题的能力，未知数的取值要考虑非负整数．
【例29】 汽车在平路上每小时行30公里，上坡路每小时行28公里，下坡路每小时行35公
里，现在去某地有142公里的路程，去的时候用4小时30分钟，回来时用4小时42分钟．那么这段路的平路、去的时候的上坡路与下坡路各有多少公里？ 【难度】★★★
【答案】这段路平路有30公里，去的时候上坡有42公里，去的时候下坡有70公里 【解析】解：设这段路平路有x 公里，去的时候上坡有y 公里，去的时候下坡有z 公里 根据题意得：142
304302835
60424303528
60x y z x y z x
y z ⎧
⎪++=⎪
⎪
+
+=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得：304270x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 答：这段路平路有30公里，去的时候上坡有42公里，去的时候下坡有70公里． 【总结】考察三元一次方程组在实际问题中的应用，注意去时上坡，回来时下坡，平路不变．
【习题1】 甲、乙两人在植树节那天共植树30棵，甲的植树数是乙的1.5倍．若设甲、乙各
值x 棵，y 棵，则可列方程组为________________________． 【难度】★
【答案】301.5x y x y +=⎧⎨=⎩
．
【解析】由题意可知，甲、乙共植树30棵，则30x y +=，甲的植树数是乙的1.5倍，则 1.5x y =， 根据题意可得：30
1.5x y x y +=⎧⎨=⎩
．
【总结】考察列一元二次方程组解应用题．
【习题2】 一个两位数，个位数字比十位数字的2倍大2，如果把个位数字与十位数字对调，
所得的两位数比原数大45，设个位数字是x ，十位数字是y ，可列出方程组 ______________________． 【难度】★★
【答案】()()22
101045x y x y y x -=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩
．
【解析】解：由个位数字比十位数字的2倍大2可得：22x y -=，原数可表示()10y x +， 对调后可表示()10x y +，由题意可得：()()101045x y y x +-+= 【总结】考察列一元二次方程组解应用题，以及两位数如何用数字表示．
【习题3】 22名工人按定额完成了1400件产品，其中高级工每人定额200件，初级工每人
定额50件，若这22名工人中只有高级工和初级工，问初级工与高级工各有多少名？ 【难度】★★
【答案】初级工有20名，高级工有2名． 【解析】解：设初级工有x 名，高级工有y 名， 根据题意得：22502001400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：20
2x y =⎧⎨=⎩
，
答：初级工有20名，高级工有2名． 【总结】考察列二元一次方程组解应用题．
随堂检测
【习题4】 为改善某河的周围环境，政府决定，将该河上游的一部分牧场改为林场．改变后，
预计林场和牧场共有162公顷，牧场面积是林场面积的20%．请你算一算，完成后林场和牧场的面积各有多少公顷？ 【难度】★★
【答案】完成后林场面积为135公顷，牧场的面积为27公顷． 【解析】解：设完成后林场面积为x 公顷，牧场的面积为y 公顷，
根据题意得：162
20%x y y x +=⎧⎨=⎩，解得：13527x y =⎧⎨=⎩．
答：完成后林场面积为135公顷，牧场的面积为27公顷． 【总结】考察列二元一次方程组解应用题．
【习题5】 已知三个数中，第二个数与第一个数之差和第三个数与第二个数之差相等，三个
数的和是87，且后两数和的2倍比第一个数的7倍多3，求这三个数． 【难度】★★
【答案】这个三个数为19、29、39．
【解析】解：设第一个数为x ，第二个数为y ，第三个数为z
根据题意得：()87273
y x z y x y z y z x -=-⎧⎪
++=⎨⎪+-=⎩，解得：19
2939x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，
答：这个三个数为19、29、39． 【总结】考察列三元一次方程组解应用题．
【习题6】 某厂生产一批零件，如果技术工人完成任务的
2
3
后，由徒工接着完成其余的部分 后，共需6小时40分钟，如果技术工人完成任务的1
3后，由徒工接着完成其余的部分
后，共需1
72小时，问他们单独做各需多少时间完成全部任务？
【难度】★★
【答案】技术工人单独完成需350分钟，徒工单独完成需500分钟 【解析】解：设技术工人单独完成需x 分钟，徒工单独完成需y 分钟， 根据题意得：2140033
12450
3
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：350500x y =⎧⎨
=⎩ 答：技术工人单独完成需350分钟，徒工单独完成需500分钟．
【习题7】 用锌、铝、锡制成甲、乙、丙三种合金，其重量之比在甲中为1 : 3 : 2，在乙中
为2 : 1 : 1，在丙中为1 : 2 : 5，三种合金共用锌5.5千克，铝8千克，锡9.5千克， 求甲、乙、丙三种合金各自的重量． 【难度】★★★
【答案】甲重9千克，乙重6千克，丙重8千克 【解析】解：甲重x 千克，乙重y 千克，丙重z 千克
根据题意得：1
21 5.5123211125
31281232111252
159.5123211125x y z x y z x y z ⎧∙+∙+∙=⎪++++++⎪
⎪
∙+∙+∙=⎨
++++++⎪
⎪∙+∙+∙=⎪++++++⎩， 解得：9
68x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
答：甲重9千克，乙重6千克，丙重8千克．
【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意列等量关系式时考虑到按比例进行分配．
【习题8】 某个三位数除以它各数位上的数字的和的9倍，得到的商为3，已知百位上的
数字与个位上的数字的和比十位上的数字大1．如果把数位上的数字颠倒，则所得的新数比原数大99，求这个三位数． 【难度】★★★
【答案】这个三位数为243．
【解析】解：设这个三位数的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z 根据题意得：()()()10010931100101001099
x y z x y z x z y z y x x y z ++=⨯++⎧⎪
+-=⎨⎪++-++=⎩，
解得：2
43x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
答：这个三位数为243．
【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意对数字的准确表示．
【习题9】 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用
两台抽水机抽水，40分钟内可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要多少台抽水机？ 【难度】★★★
【答案】需要6台抽水机．
【解析】解：每分钟涌水x 升，一台抽水机一分钟可以抽水y 升，原来的水量有a 升， 根据题意得：4024016416a x y a x y +=⨯⎧⎨+=⨯⎩
，两式相减再化简得：32x y =，
代入第一个方程得：80a x =，若要10分钟抽完，则有1010a x n y +=∙， 将80a x =，32x y =代入得：8010 1.510x x n x +=∙∙，解得：6n = 答：需要6台抽水机．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题，但未知量太多，需要设一个辅助未知数，计算中 通过化简就可以消去，从而得到答案．
【作业1】 甲、乙两班有88名学生，如从乙班调25人到甲班，则甲班人数是乙班人数的3
倍，设甲班x 人，乙班y 人，可列出方程组：_______________________． 【难度】★
【答案】()88
25325x y x y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩
【解析】解：甲、乙两班有88名学生，则88x y +=，乙班调出25人后，乙班有()25y -人，
甲班则有()25x +人，根据题意得：()8825325x y x y +=⎧⎨+=-⎩
．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题．
课后作业
【作业2】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？
【难度】★★
【答案】生产螺栓40人，生产螺帽50人．
【解析】解：设生产螺栓x人，生产螺帽y人，
根据题意得：
90
21524
x y
x y
+=
⎧
⎨
⨯=
⎩
，解得：
40
50
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：生产螺栓40人，生产螺帽50人．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题．
【作业3】小兰在玩具厂劳动，做4只小狗、7辆小汽车用去3小时42分，做5只小狗、6 辆小汽车用去3小时37分钟．平均做1只小狗与1辆小汽车各用多少时间？
【难度】★★
【答案】平均做1只小狗用17分钟，平均做1辆小汽车用22分钟．
【解析】解：设平均做1只小狗用x分钟，平均做1辆小汽车用y分钟，
根据题意得：
4736042
5636037
x y
x y
+=⨯+
⎧
⎨
+=⨯+
⎩
，解得：
17
22
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：平均做1只小狗用17分钟，平均做1辆小汽车用22分钟．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意时间的单位化成分，会使计算简单．
【作业4】有甲乙两桶水，若将甲桶中的水倒2千克到乙桶中，则甲桶中的水是乙桶中的3 倍；若将乙桶中的水倒入1千克到甲桶中，则甲桶中的水比乙桶中的水多8倍．问甲乙两桶中各有水多少千克？
【难度】★★
【答案】甲桶有水17千克，乙桶原有水3千克．
【解析】解：设甲桶有水x千克，乙桶原有水y千克
根据题意得：
()
()
232
191
x y
x y
-=+
⎧⎪
⎨
+=-
⎪⎩
，解得：
17
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：甲桶有水17千克，乙桶原有水3千克．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题．注意“多8倍”实际上是9倍．
【作业5】一批货物运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问：货主应付运费多少元？
【难度】★★
【答案】货主应付运费735元．
【解析】解：设甲种货车每辆每次运货x吨，乙种货车每辆每次运货y吨，
根据题意得：
2315.5
5635
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
4
2.5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
()()
303530345 2.5735
x y
⨯+=⨯⨯+⨯=（元）
答：货主应付运费735元．
【总结】考察列二元一次方程组解应用题，本题中要先算出两种货车每次的运货量．
【作业6】某车间有工人30人，生产甲、乙、丙三种零件，每人每小时能生产零件甲30个，或零件乙25个，或零件丙20个，现用零件甲3个、乙5个、丙4个装配成某种机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件刚好配套？
【难度】★★
【答案】生产甲零件的6个工人，生产乙零件的12个工人，生产丙零件的12个工人
【解析】解：设生产甲零件的x个工人，生产乙零件的y个工人，生产丙零件的z个工人
根据题意得：
30
302520
354
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
⎨
==
⎪⎩
，解得：
6
12
12
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
答：安排生产甲零件的6个工人，生产乙零件的12个工人，生产丙零件的12个工人，才能使每小时生产的零件刚好配套．
【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意按比例分配．。