新人教版高中数学必修二教案：4.1圆与方程

4.1圆与方程
【知识要点】
1、圆的定义：圆是最美的曲线。

它是平面内到定点0(,)x a b 的距离等于定长R 的点的
集合。

定点0(,)x a b 就是圆心，定长R 就是半径。

对于平面内任意一点A （x ，y ），若它到0(,)x a b 的距离等于定长R ，则所有的点构成的集合就是圆O ：
即： 222()()x a y b R -+-=（R>0） (1)
方程亦叫做以（a ，b ）为圆心，R 为半径的圆的标准方程。

2、圆的一般方程：
22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->
将圆的标准方程222()
()x a y b R -+-=展开得： 22222220
x y a x b y a b R +--++-= 由此可知，圆的一般方程可以写成：220x y Dx Ey F ++++= 配方可得：2222(4)()()224
D E D E F x y +-+++=……（2） ①当2240D E F +->时，方程（2）表示以(,)22
D E --为圆心，
以 ②当2240D
E F +-=时，方程（2）只有一解，表示一个点(,)22D E --。

③2240D E F +-<时，方程（2）无实数解，不表示任何图形。

3、任意点（0x ，0y ）与圆的位置关系：①点在圆上 ②点在圆内 ③点在圆外 ⑴点在圆上，则点到圆心的距离=r ，或220
000=0x y Dx Ey F ++++ ⑵点在圆内，则点到圆心的距离<r ，或2200000x y Dx Ey F ++++<
⑶点在圆外，则点到圆心的距离>r ，或220
0000x y Dx Ey F ++++>
【解题方法】
一、根据弦长求半径，然后求出圆的方程 （1）几何法，由弦心距d ，半径r ，以及半弦长
2l 构成的直角三角形，可知：
l =|AB|= 二、直接定义，求圆的方程
1、设圆的标准方程为：222()
()x a y b R -+-=，然后找出其他条件，解出未知数a ，b ，R.
2、设圆的一般方程为：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，通过其他条件求出未知数D ，E ，F 。

【知识应用】【考察求圆的方程，利用圆的方程求解】
【J 】例1、已知圆过A （-2，-1），B （2,3）两点，圆心在直线3x+y+1=0上，求圆的方程。

点拨：设圆心为P （a ，b ），则有3a+b+1=0…（1），且知P 到A 和到B 的距离相等， 可知：2222
(2)(1)(2)(3)a b a b +++=-+-，化简得：a+b=1 (2)
由（1）（2）可知:a=-1,b=2, ∴ 2r =22(12)(21)10-+++= ∴圆的方程为：22(1)(2)10x y ++-=
【J 、L 】求与X 轴相切，圆心在3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为
【C 】求过三点O （0,0），M （1,1），N （4,2）的圆的方程，并指出圆的半径和圆心的坐标。

小结：主要考察对圆的标准方程及一般方程的掌握，学会灵活设圆的方程式，已知圆心，则通常设为标准式，则只需求出半径，便可求出圆的方程。

课堂测试
1、已知点A（-2，-5），B（6,1），求以线段AB为直径的圆的方程。

2、求以点C（-2,3）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程。

3、圆心在直线2x-3y+5=0上，且与两坐标轴均相切，求圆的方程。

4、求过两点A（0,4），B（4,6），且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程。