2020版数学人教B版必修5课件：2.3.2 等比数列的前n项和

2.3.2等比数列的前n项和
学习目标：
1．掌握等比数列前n项和公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．
2．通过对公式运用的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．
重点难点
重点：等比数列前n项和及性质的应用．
难点：等比数列前n项和及性质的灵活应用.
问题导思：
在等差数列{a n}中，我们知道其前n项和S n满足这样的性质，S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列；等比数列的前n项和S n是否也满足这一性质呢？试证明之．
答：满足．
证明：∵在等比数列{a n}中有a m＋n＝a m q n，
∴S m＝a1＋a2＋…＋a m，
S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1q m＋a2q m＋…＋a m q m
＝(a1＋a2＋…＋a m)q m＝S m q m.
同理S3m－S2m＝S m q2m，…，
在S m≠0时，有S m，S2m－S m，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．
在等比数列{a n }中，S n ，
S 2n －S n ， ，…成等比数列，其公比是
.
S 3n －S 2n q n
类型1：等比数列前n项和的性质及应用
例1：(1)已知等比数列{a n}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.
(2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
解：(1)法一 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a 1(1－q 10)1－q ＝10，a 1(1－q 20)1－q
＝30. 两式相除得1＋q 10＝3，∴q 10
＝2.
∴S 30＝a 1(1－q 30)1－q ＝a 1(1－q 10)1－q
(1＋q 10＋q 20) ＝10×(1＋2＋4)＝70.
法二 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍成等比数列， 又∵S 10＝10，S 20＝30，
∴S 30－30＝(30－10)
210，
即S 30＝70.
(2)法一 设原等比数列的公比为q ，项数为2n (n ∈N *
)． 由已知a 1＝1，q ≠1，有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1－q 2n
1－q 2＝85，
①q (1－q 2n )
1－q 2＝170.
② 由②÷①，得q ＝2，
∴1－4
n
1－4＝85,4n ＝256，∴n ＝4.
故公比为2，项数为8.
法二 ∵S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝a 1q ＋a 3q ＋…＋a 2n －1q ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)q ＝S 奇·q ，
∴q ＝S 偶
S 奇＝17085
＝2.
又S n ＝85＋170＝255，
由S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得1－2
n
1－2＝255，∴
2n ＝256，∴n ＝8.
故公比q ＝2，项数n ＝8.
变式训练1：设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，求S 9S 6
的值．
解：法一若q＝1，则S6＝6a1，S3＝3a1，
∴S6
S3＝2，这与已知矛盾，∴q≠1.
∴由题设知a1(1－q6)
1－q
a1(1－q3)
1－q
＝3，即1＋q3＝3，∴q3＝2.
∴S9
S6＝
a1(1－q9)
1－q
a1(1－q6)
1－q
＝
1－23
1－22
＝
7
3.
法二 S 6＝3S 3.由等比数列的性质知
S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，
即S 3,2S 3，S 9－3S 3成等比数列．
∴S 9－3S 3＝4S 3，∴S 9＝7S 3，
∴S 9S 6＝73
.
类型2：由递推公式求通项公式
例2：根据下面各个数列{a n }的首项和递推关系，求其通项公式：
(1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)；
(2)a 1＝1，a n ＋1＝n
n ＋1a n (n ∈N *
)；
(3)a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)；
(4)数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋1
2n a n ＝2n ＋5，求数列{a n }
的通项公式．
解：(1)∵a n＋1＝a n＋2n，
∴a n＋1－a n＝2n，
∴a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1) ＝1＋2×1＋2×2＋…＋2×(n－1)
＝1＋n·(n－1)
＝n2－n＋1.
(2)∵a n ＋1a n
＝n n ＋1， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1
＝1·12·23·…·n －1n ＝1n ，∴a n ＝1n . (3)∵a n ＋1＝12a n ＋1，∴a n ＋1－2＝12
(a n －2)， ∴{a n －2}是首项为a 1－2＝－1，公比为12的等比数列，
∴a n －2＝(－1)·(12)n －1，∴a n ＝2－(12
)n －1.
(4)因为12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5， ① ①式对任意正整数n 都成立，所以当n ≥2时，有 12a 1＋122a 2＋…＋12
n －1a n －1＝2(n －1)＋5, ② ①－②得，12n a n ＝2(n ≥2)．所以a n ＝2·2n ＝2n ＋1(n ≥2)． 在①中令n ＝1，可得12
a 1＝2＋5＝7，即a 1＝14. 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 14， (n ＝1)，2n ＋1， (n ≥2).
变式训练2：(1)已知数列{a n }中，a 1＝23，a n ＋1＝12a n ＋12，求数
列{a n }的通项公式；
(2)已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且S n ＋S n －2＝2S n －1＋ 2n －1(n ≥3)，求数列{a n }的通项公式．
解：(1)∵a n ＋1＝12a n ＋12
， ∴a n ＋1－1＝12
(a n －1)， 又a 1－1＝－13
， ∴数列{a n －1}是首项为－13，公比为12
的等比数列． ∴a n －1＝－13×(12)n －1，∴a n ＝1－13×(12)n －1.
(2)由S n＋S n－2＝2S n－1＋2n－1(n≥3)得S n－S n－1＝S n－1－S n－2＋2n－1(n≥3)．∵a n＝S n－S n－1，
∴a n＝a n－1＋2n－1(n≥3)，
即a n－a n－1＝2n－1(n≥3)．
又a2－a1＝5－3＝2，
∴a n－a n－1＝2n－1(n≥2)．
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1
＝2n －1＋2n －2＋…＋21＋3
＝2(1－2n －1
)1－2＋3＝2n
＋1.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.
类型3：等差、等比数列的综合应用
例3：某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元，两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到万元，1.110≈2.594,1.310≈13.786)
解：方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列， 首项为1，公比为1＋30%，
前10项和为S 10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9.
所以S 10＝1.310
－11.3－1
≈42.62(万元)．
又贷款本息总数为10(1＋10%)10＝10×1.110
≈25.94(万元)， 甲方案净获利42．62－25.94≈16.7(万元)．
乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为12，
前
10项和为T 10＝1＋(1＋12)＋(1＋2×12)＋…＋(1＋9×12)
＝10(112＋1)2＝32.50(万元)，
而贷款本息总数为
1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9
]
＝1.1×1.110－11.1－1
≈17.53(万元)， 乙方案净获利
32．50－17.53≈15.0(万元)．
比较两方案可得甲方案获利较多．
变式训练3：某市2012年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2012年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.084≈1.36,1.085≈1.47，1.086≈1.59)
解：(1)设每年新建中低价房面积构成数列{a n }，
由题意可知{a n }是等差数列．
其中a 1＝250，d ＝50，
则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .
令25n 2＋225n ＝4 750，即n 2
＋9n －190＝0，
而n ∈N *，则n ＝10.
故到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{b n}，
由题意可知{b n}是等比数列．
其中b1＝400，q＝1.08，则b n＝400×1.08n－1，
由题意可知a n>0.85b n，
则有250＋(n－1)×50>400×1.08n－1×0.85，
即5n＋20>34×1.08n－1，则n≥6.
故到2017年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
课堂小结：
1．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．
2．在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质，与等比数列前n项和有关的常用的性质有：①连续m项和(如S m，S2m－S m，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(注意此连续m项的和必须非零才成立)；②{a n}为等比数列，且q≠1⇔S n＝－Aq n＋A(A≠0)．
用好性质会降低解题的运算量，从而减少错误．
3．解决有关数列模型的实际问题时，关键是弄懂题意，确定数列的类型及所求的基本量.
当堂检测：
1．在由正数组成的等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝4，则a 5＋a 6＝________.
【解析】∵{a n }成等比数列，
∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列，
∴(a 3＋a 4)2
＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)，
∴a 5＋a 6＝421＝16.
【答案】16
2．等比数列{a n}的前n项和S n＝3n＋1＋a，则a的值为() A．3B．－3
C．－1 D．任意实数
【解析】∵S n＝3n＋1＋a，
∴n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3n＋1－3n＝2·3n.
n＝1时，a1＝S1＝a＋9.
∵{a n}为等比数列，∴a＋9＝2×31，解得a＝－3.
【答案】B
3．已知等比数列{a n}中，公比q＝3，a1＋a3＋a5＋a7＝4，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.
【解析】a2＋a4＋a6＋a8＝(a1＋a3＋a5＋a7)q＝4×3＝12. 【答案】12
4．某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p ，求这个工厂去年全年产值的总和．
解：该工厂去年2月份的产值为a (1＋p )元，3月、4月、…的产值分别为a (1＋p )2、a (1＋p )3
、…，去年12个月的产值组成以a 为首项，(1＋p )为公比的等比数列．因此，该厂去年
全年的总产值为S 12＝a [1－(1＋p )12]1－(1＋p )
＝a [(1＋p )12－1]p . 即该工厂去年全年的总产值为a [(1＋p )12－1]p 元.
5．在数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －1(n 为奇数)，3n (n 为偶数)，求其前n 项和S n .
解：当n ＝2m (m ∈N *
)时， S n ＝1＋5＋…＋(4m －3)＋9＋92＋…＋9m ＝m (4m －2)2＋9(1－9m )1－9
＝n (n －1)2＋98(3n －1)；
当n 为奇数时，则n －1为偶数，
∴S n ＝S n －1＋a n ＝(n －1)(n －2)2＋98
(3n －1－1)＋2n －1 ＝n (n ＋1)2＋98(3n －1－1)．
综上可知S n ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ n (n －1)2＋98(3n －1)(n 为偶数)，n (n ＋1)2＋98(3n －1－1)(n 为奇数).。