2019河南省平顶山市高三一调数学(理科)试题及答案
河南省2019年高考数学一模试卷(解析版)(理科)
2019年河南省平顶山市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．23．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66πB．51πC．48πD．33π4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a ≥B ．a ＞C ．a ＜D ．a ≤7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．若执行如图所示程序框图，则输出的s 值为（ ）A ．﹣2016B ．2016C ．﹣2017D ．20179．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（ ）A ．B ．2C ．D ．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有个零点．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．18．（12分）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．20．（12分）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合A、B的范围，取并集即可．【解答】解：集合A={x||x|＜1 }=（﹣1，1），B={x|≥1}=（0，1]，则A∪B=（﹣1，1]，故选：A．【点评】本题考查了集合的并集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数（1+2i）（1+ai）=1﹣2a+（2+a）i是纯虚数，则1﹣2a=0，2+a≠0，解得a=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66πB．51πC．48πD．33π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥，分别求面积，再相加即可．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥．半球表面积为2π×32=18π圆锥的侧面积为π×3×5=15π所以所求的表面积为π+15π=33π故选D．【点评】本题考查由三视图考查由三视图还原几何体直观图，求几何体的表面积，属于基础题．4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”；B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题；C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4；D，a=0时，函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点；【解答】解：对于A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”，故错；对于B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题，故正确；对于C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，故错；对于D ，原命题的逆命题为：若函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，则a=﹣1“，∵a=0时，函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，故错； 故选：B【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，，再由⊥，利用向量垂直的条件能求出实数λ．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ， ∴→m =（0，﹣3），=（1+λ，﹣2+λ）， ∵→→⊥n m ，∴=0﹣3（﹣2+λ）=0，解得λ=2． 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．6．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A．a≥B．a＞C．a＜D．a≤【考点】基本不等式．【分析】由x＞0，不等式=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=，令t=x+，则t≥2=2当且仅当x=1时，t取得最小值2．取得最大值，所以对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则a≥，故选：A．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率为=，故选C．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．8．若执行如图所示程序框图，则输出的s值为（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣2017 D．2017【考点】程序框图．【分析】由程序框图求出前几次运行结果，观察规律可知，得到的S 的结果与n的值的关系，由程序框图可得当n=2017时，退出循环，由此能求出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，s=0满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1，n=2满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3=2，n=3满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5=﹣3，n=4满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5+7=4，n=5满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣5，n=6满足条件n＜2017，执行循环体，s=6，n=7…满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣2015，n=2016满足条件n＜2017，执行循环体，s=2016，n=2017不满足条件n＜2017，退出循环，输出s的值为2016．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．9．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（）A．B．2 C．D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题中条件知高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径，即为底面正三角形的内切圆的半径，然后解答即可．【解答】解：由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为rr即为底面正三角形的内切圆半径，∵底面边长为4的r=2故选B．【点评】本题考查棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的大圆沟通条件之间的联系．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0时P到圆心的距离最小，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，•=••=．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数是（0，+∞）上的增函数，比较大小可得0.32＜30.2＜log25，故可得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，∴函数是（0，+∞）上的增函数，∵1＜30.2＜3，0＜0.32＜1，log25＞2，∴0.32＜30.2＜log25，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查学生对指数函数、对数函数性质的运用能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可．【解答】解：由题意可知随机变量ξ～N（2，4），满足正态分布，对称轴为μ=2，P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则：a+2+2a﹣3=4，解得a=．故答案为．【点评】本题考查正态分布的基本性质的应用，考查计算能力．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．【考点】二项式系数的性质．【分析】求出展开式的通项，令r=2求出展开式第3项的二项式系数，列出方程求出n；令二项式中的x=1求出展开式的所有项的系数和．【解答】解：展开式的通项为当r=2时是展开式中第3项的二项式系数为C n2=15解得n=6令二项式中的x=1得展开式中所有项的系数之和为．故答案为：．【点评】本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展开式的系数和问题．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=5．【考点】余弦定理．【分析】由∠B=2∠A，得到sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简将a与b的值代入求出cosA的值，利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosA的值代入即可求出c的值．【解答】解：∵∠B=2∠A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简得：b=2acosA，把a=3，b=2代入得：2=6cosA，即cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=24+c2﹣8c，解得：c=5或c=3，当c=3时，a=c，即∠A=∠C，∠B=2∠A=2∠C，∴∠A+∠C=∠B，即∠B=90°，而32+32≠（2）2，矛盾，舍去；则c=5．故答案为：5【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有3个零点．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=f（f（x））﹣1=0，求出f（x）的值，然后利用分段函数的表达式求解x的值，推出结果．【解答】解：函数y=f（f（x））﹣1，令f（f（x））﹣1=0，当f（x）＞0时，可得log2f（x）=1，解得f（x）=2，则log2x=2，解得x=4，ax+1=2，解得x=（舍去）．当f（x）＜0，可得af（x）+1=1，解得f（x）=0，则log2x=0，解得x=1，ax+1=0，解得x=﹣．所以函数的零点3个．故答案为：3．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•平顶山一模）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由2S n=3a n﹣2可求得a1=2；当n≥2时，a n=3a n﹣1，从而可知数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，继而可得a n和S n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知S n=3n﹣1，从而可得b n=n，b2n=2n，利用等差数列的求和公式即可求得数列{b2n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=3a n﹣2，∴n=1时，2S1=3a1﹣2，解得a1=2；当n≥2时，2S n﹣1=3a n﹣1﹣2，∴2S n﹣2S n﹣1=3a n﹣3a n﹣1，∴2a n=3a n﹣3a n﹣1，∴a n=3a n﹣1，∴数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n=2•3n﹣1，S n==3n﹣1，（Ⅱ）∵a n=2•3n﹣1，S n=3n﹣1，∴b n=log3（S n+1）=log33n=n，∴b2n=2n，∴T n=2+4+6+…+2n==n2+n．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比数列的判定与通项公式、求和公式的应用，突出考查等差数列的求和，属于中档题．18．（12分）（2017•平顶山一模）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）利用频率分布表，求出前四组学生的视力在4.8以下的人数，然后求解视力在4.8以上的人数．（Ⅱ）求出k 2，即可说明校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关． （Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2．求出概率，顶点分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，前四组学生的视力在4.8以下，第一组有0.15×0.2×100=3人，第二组有0.35×0.2×100=7人，第三组1.35×0.2×100=27人，第四组有24人．…（2分） 所以视力在4.8以上的人数为人． (Ⅱ)，因此校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．…（8分）（Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2.，，，ξ的分布列为…（10分）ξ的数学期望．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2017•平顶山一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB ⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，证明AF⊥EF，AF⊥PB．推出AF⊥平面BPC，然后证明DE⊥平面BPC，即可证明平面DPC⊥平面BPC．…．（Ⅱ）解法1：连结BE，说明BE⊥CP，推出BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，说明∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．在△PDE中，求解即可．解法2：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PDC和面PBC的法向量，由空间向量的数量积求解二面角C ﹣PD﹣B的余弦值即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：如图，分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，由题意知，四边形ADEF为矩形，∴AF⊥EF．…（2分）又∵△PAB为等边三角形，∴AF⊥PB．又∵EF∩PB=F，∴AF⊥平面BPC．…又DE∥AF．∴DE⊥平面BPC，又DE⊂平面DPC，∴平面DPC⊥平面BPC．…（Ⅱ）解法1：连结BE，则BE⊥CP，由（Ⅰ）知，BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，则∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．…（7分）由题意知，DP=DC=，PC=，∴，∴，∴在△PDE中，．…（10分）又，∴，∴．…（12分）（Ⅱ）解法2：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，A（0，0，0），B（0，2，0），，C（0，2，2），D（0，0，1）．，，．…（8分）设平面PDC和面PBC的法向量分别为，，由，得，令y=﹣1得；由，得，令a=1得．…（10分）∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•平顶山一模）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）设Q（x，y），则PQ的中点，由题意DE⊥DQ，得，代入坐标得答案；（Ⅱ）分别设出Q、Q1、Q2的坐标，结合A，Q，Q1共线，E，Q，Q2共线可把Q1、Q2的坐标用Q的坐标表示，得到线Q1Q2的方程，再由直线系方程可得直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【解答】（Ⅰ）解：设Q（x，y），则PQ的中点，∵E（1，0），∴，．在圆E中，∵DE⊥DQ，∴，则．∴点Q的轨迹方程y2=4x（x≠0）；（Ⅱ）证明：设Q（t2，2t），，，则直线Q1Q2的方程为（t1+t2）y﹣2x﹣2t1t2=0．由A，Q，Q1共线，得，从而（，否则Q1不存在），由E，Q，Q2共线，得，从而（t≠0，否则Q2不存在），∴，，∴直线Q1Q2的方程化为t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，令，得x=﹣1，y=﹣4．∴直线Q1Q2恒过定点（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属中档题．21．（12分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m 的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•平顶山一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2化为普通方程，再转化为参数方程即可．（Ⅱ）设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，令，则，利用三角函数的有界限求解最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的普通方程为，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．（Ⅱ）方法一：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，所以d取最小值时，|MQ|最小．令，则，当时，d最小．∴点M的坐标为．（Ⅱ）方法二：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，∴d取最小值时，|MQ|最小．∴，M是过圆心垂直于l的直线与圆（靠近直线l端）的交点．由，得或（舍去）．∴点M的坐标为．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，直线参数方程的几何意义的运用．属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•平顶山一模）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，求出f（x）的最小值，利用恒成立，转化不等式求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）原不等式可化为：或或…（3分）解得：x＜﹣2或x＞3，所以解集为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．…（Ⅱ）因为|x﹣2|+|x+1|≥|x﹣2﹣（x+1）|=3，…（7分）所以f（x）≥3，当x≤﹣1时等号成立．所以f（x）min=3．又，故．…（10分）【点评】本题考查函数的恒成立，函数的最值的求法，绝对值不等式的几何意义的应用，考查转化思想以及计算能力．。
2019年河南省六市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |y ＝ln （2﹣x ）}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣3，2）B ．（2，3]C ．[﹣1，2）D ．（﹣1，2）【解答】解：∵集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}＝[﹣1，3]， B ＝{x |y ＝ln （2﹣x ）}＝{x |2﹣x ＞0}＝{x |x ＜2}＝（﹣∞，2）； ∴A ∩B ＝[﹣1，2）． 故选：C ．2．（5分）设复数z ＝1+i ，则5z +z 2＝（ ）A ．−52+i2B ．−52−i2C ．52+i2D ．52−i2【解答】解：∵z ＝1+i ，∴5z +z 2=51+i +(1+i)2=5(1−i)(1+i)(1−i)+2i=52−52i +2i =52−12i ． 故选：D ．3．（5分）cos70°sin50°﹣cos200°sin40°的值为（ ） A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32【解答】解：cos70°sin50°﹣cos200°sin40° ＝cos70°sin50°+cos20°sin40° ＝cos70°sin50°+sin70°cos50° ＝sin （50°+70°） ＝sin120° =√32． 故选：D ．4．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（ ）A ．1415B ．1315C ．29D ．79【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为C 102＝45（种）， 2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 32＝3（种）， 由对立事件的概率计算公式得P ＝1−345=1415． 故选：A ．5．（5分）已知函数f （x ）＝3ln （x +√x 2+1）+a （7x +7﹣x ），x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f（x ）为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若a ＝0，则f （x ）＝3ln （x +√x 2+1），则f （﹣x ）+f （x ）＝3ln （﹣x +√x 2+1）+3ln （x +√x 2+1）＝3（ln （﹣x +√x 2+1）（x +√x 2+1） ＝3ln （x 2+1﹣x 2）＝3ln 1＝0，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即f （x ）是奇函数，即充分性成立， 若函数f （x ）是奇函数，则满足f （0）＝0，即f （0）＝0，即f （0）＝3ln 1+a （1+1）＝2a ＝0，则a ＝0，即必要性成立，则“a ＝0”是“函数f （x ）为奇函数”的充要条件， 故选：C ．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为（ ）A ．64﹣2πB ．64+2πC ．80﹣2πD ．80+2π【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个14圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为S ＝2×42+2×4×2+（2×42−12π×22）+14×2π×2×4＝80+2π． 故选：D ．7．（5分）若x ∈（e ﹣1，1），a ＝lnx ，b =(12)lnx ，c ＝e lnx ，则（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c【解答】解：∵x ∈（e ﹣1，1） ∴a ＝lnx ＜ln 1＝0 即a ＜0考察幂函数f （t ）＝t lnx ∵lnx ＜0∴当t ＞0时，f （t ）是减函数 ∵12＜e∴b =(12)lnx ＞c =e lnx ＞0 所以有b ＞c ＞a 故选：A ．8．（5分）若将函数f （x ）＝sin （2x +φ）+√3cos （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点（π2，0）对称，则函数g （x ）＝cos （x +φ）在[−π2，π6]上的最小值是（ ） A ．−12B ．−√32C ．√22D ．12【解答】解：∵f （x ）＝sin （2x +φ）+√3cos （2x +φ）＝2sin （2x +φ+π3），∴将函数f （x ）图象向左平移π4个单位后，得到函数解析式为：y ＝2sin[2（x +π4）+φ+π3]＝2cos （2x +φ+π3），∵函数的图象关于点（π2，0）对称，∴对称中心在函数图象上，可得：2cos （2×π2+φ+π3）＝2cos （π+φ+π3）＝0，解得：π+φ+π3=k π+π2，k ∈Z ，解得：φ＝k π−5π6，k ∈Z ， ∵0＜φ＜π， ∴解得：φ=π6， ∴g （x ）＝cos （x +π6）， ∵x ∈[−π2，π6]，x +π6∈[−π3，π3]，∴cos （x +π6）∈[12，1]，则函数g （x ）＝cos （x +φ）在[−π2，π6]上的最小值是12．故选：D ．9．（5分）已知变量x 、t 满足约束条件{x +2y ≥22x +y ≤44x −y ≥−1，则目标函数z ＝3x ﹣y 的最大值是（ ）A ．﹣4B ．−32C ．﹣1D ．6【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z ＝3x ﹣y 得y ＝3x ﹣z ， 显然直线过（2，0）时z 最大， z 的最大值是6， 故选：D ．10．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a−c b=cosC cosB，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．4√3B ．2√3C ．2D ．√3【解答】解：∵在△ABC 中2a−c b=cosC cosB，∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ， 约掉sin A 可得cos B =12，即B =π3，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S =12ac sin B =√34ac ≤4√3 故选：A ．11．（5分）抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，若x 1+x 2+4=2√33|AB |， 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．π3B ．3π4C ．5π6D ．2π3【解答】解：因为x 1+x 2+4=2√33|AB|，|AF |+|BF |＝x 1+x 2+4，所以|AF|+|BF|=2√33|AB|． 在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB =|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=(|AF|+|BF|)2−2|AF|⋅|BF|−|AB|22|AF|⋅|BF|=43|AB|2−|AB|22|AF|⋅|BF|−1=13|AB|22|AF|⋅|BF|−1． 又|AF|+|BF|=2√33|AB|≥2√|AF|⋅|BF|⇒|AF|⋅|BF|≤13|AB|2． 所以cos∠AFB ≥13|AB|22×13|AB|2−1=−12，∴∠AFB 的最大值为2π3，故选：D ．12．（5分）函数f （x ）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f ′（x ）为其导函数，若f （x ）+（x ﹣1）f ′（x ）＝x 2（x ﹣2），且f （e 2）＝0，则不等式f （e x ）＜0的解集为（ ） A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．（2，+∞）【解答】解：函数f （x ）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f '（x ）为其导函数， 令φ（x ）＝（x ﹣1）f （x ），则φ′（x ）＝（x ﹣1）•f '（x ）+f （x ）＝x 2（x ﹣2）， ∴当x ∈（1，2）时，φ（x ）是单调减函数，x ∈（2，+∞）时，函数是单调增函数， ∵f （e 2）＝0，∴φ（e 2）＝（e 2﹣1）f （e 2）＝0，又φ（1）＝φ（e 0）＝0， ∴不等式f （e x ）＜0的解集就是（e x ﹣1）f （e x ）＜0的解集， 即φ（e x ）＜0，∴e 0＜e x ＜e 2，∴0＜x ＜2， 故不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量a →=（1，0），|b →|＝2，a →与b →的夹角为60°，若c →=a →+b ，d →=a →−b →，则c →在d →方向上的投影为 −√3 ．【解答】解：|a →|=1，|b →|=2，a →，b →的夹角为60°； ∴a →⋅b →=1；∴d →2=(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=1−2+4=3； ∴|d →|=√3，且c →⋅d →=a →2−b →2=1−4=−3； ∴c →在d →方向上的投影为：|c →|cos ＜c →，d →＞=|c →|⋅c →⋅d→|c →||d →|=−3√3=−√3． 故答案为：−√3．14．（5分）在(x −1x −1)4的展开式中，常数项为 ﹣5 ．【解答】解：(x −1x −1)4的展开式中的通项公式：T r +1=∁4r （﹣1）4﹣r (x −1x)r （r ＝0，1，2，3，4）．∵(x −1x )r 的通项公式：T k +1=∁r k x r−k (−1x )k =（﹣1）k ∁r k xr ﹣2k，令r ﹣2k ＝0，即r ＝2k ．r ＝0，k ＝0；r ＝2，k ＝1；r ＝4，k ＝2．∴常数项＝1−∁21×∁42+∁42×1＝﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（b ＞a ＞0），焦距为2c ，直线l 经过点（a ，0）和（0，b ），若（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ，则离心率为 √3 ．【解答】解：直线l 的方程为xa +y b=1，即为bx +ay ﹣ab ＝0，c 2＝a 2+b 2，（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ， 可得：√a 2+b 2=2√23c ，即有3ab =√2c 2，即9a 2b 2＝2c 4，即9a 2（c 2﹣a 2）＝2c 4， 9a 2c 2﹣9a 4﹣2c 4＝0，由于e =ca ，则2e 4﹣9e 2+9＝0， 解得，e 2＝3或e 2=32．由于0＜a ＜b ，即a 2＜b 2，即有c 2＞2a 2，即有e 2＞2， 则e =√3或e =√62舍去．故答案为：√3．16．（5分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上一点（不含端点），将△ACD 沿直线AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得C 1在平面ABD 外，若C 1在平面ABD 上的射影H 恰好在线段AB 上，则AH 的取值范围是 （1，√2） ．【解答】解：∵在等腰Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上的一点， ∴AC ＝BC =√2，∠ACB ＝90°，将△ACD 沿直AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得点C 1在平面ABD 外， 且点C 1在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AH ＝x ， ∴AC 1＝AC =√2，CD ＝C 1D ∈（0，√2），∠AC 1D ＝90°， C 1H ⊥平面ABC ，∴AH ＜AC 1=√2，当CD =√2时，B 与D 重合，AH ＝1，当CD ＜√2时，AH ＞12AB ＝1， ∵D 为直角边BC 上的一点， ∴CD ∈（0，√2），∴AH 的取值范围是（1，√2）． 故答案为：（1，√2）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）设数列{a n }前n 项和为S n ，且满足a 1＝r ，S n ＝a n +1−132(n ∈N ∗)． （Ⅰ）试确定r 的值，使{a n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）当n ＝1时，S 1=a 2−132，a 2=a 1+132， 当n ≥2时，S n−1=a n −132，与已知式作差得a n ＝a n +1﹣a n ，即a n +1＝2a n （n ≥2）， 欲使{a n }为等比数列，则a 2＝2a 1＝2r ， 又a 2=a 1+132，∴r =132， 故数列{a n }是以132为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−6；（Ⅱ）由（I ）知b n ＝n ﹣6，∴|b n |={6−n ，n ＜6n −6，n ≥6，若n ＜6，T n =−b 1−⋯−b n =11n−n 22， 若n ≥6，T n =−b 1−⋯−b 5+b 6+⋯+b n =n 2−11n2+30，∴T n ={11n−n 22，n ＜6n 2−11n2+30，n ≥6． 18．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望和方差；（i）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．应从甲部门的员工中抽取：7×3232+48+32=2人，乙部门的员工中抽取：7×4832+48+32=3人，丙部门的员工中抽取：7×3232+48+32=2人．（Ⅱ）（i）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）=C43C73=435，P（X＝1）=C31C42C73=1835，P（X＝2）=C32C41C73=1235，P（X＝3）=C33C73=135，∴随机变量X的分布列为：X0123P43518351235135E（X）=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97，D（X）＝（0−97）2×435+（1−97）2×1835+（2−97）2×1235+（3−97）2×135=198343．（ii）抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．基本事件总数n=C73=35，A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，则事件A包含的基本事件个数m=C73−C33−C43=30，∴事件A 发生的概率P （A ）=m n =3035=67． 19．（12分）已知五边形ABECD 有一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝2CD ，将梯形ABCD 沿着BC 折起，形成如图2所示的几何体，且AB ⊥平面BEC ． （1）求证：平面ABE ⊥平面ADE ；（2）求二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，则GF ∥=12AB ．∵DC =∥12AB ，：．CD ∥GF 且CD ＝GF ，：．四边形CFGD 为平行四边形， ：．CF ∥DG ．∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥CF ． ∵CF ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面ABE ， ∵CF ∥DG ， ∴DG ⊥平面ABE ，∵DG ⊂平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE ．以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝4，则A （0，﹣2.4），B （0，﹣2，0），D （0，2，2），E （2√3，0，0）， ∴ED →=（﹣2√3，2，2），EA →=（﹣2√3，﹣2，4），EB →=（﹣2√3，﹣2，0）， 设平面EAD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则有{n →⋅ED →=0n →⋅EA →=0，即{−√3x +y +z =0−√3x −y +2z =0． 取z ＝2，得x =√3，y ＝1，则n →=（√3，1，2），设平面BDE 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅ED →=0m →⋅EB →=0， 即{−√3x +y +z =0√3x +y =0，取x ＝1，得y =−√3，z ＝2√3，则m →=（1，−√3，2√3）．cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →||n →|=√64，又由图可知，二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角为锐角， 即二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角的余弦值是√64．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的任意一点，且|PF 1|•|PF 2|的最大值为4，椭圆C 的离心率与双曲线x 24−y 212=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P （﹣1，32），过点P 作两条直线l 1，l 2与圆（x +1）2+y 2＝r 2（0＜r ＜32）相切且分别交椭圆于M ，N ，求证：直线MN 的斜率为定值． 【解答】解：（Ⅰ）双曲线x 24−y 212=1的离心率为42=2，可得椭圆C 的离心率为12，设椭圆的半焦距为c ，∴a ＝2c ， ∵|PF 1|•|PF 2|≤（|PF 1|+|PF 2|2）2＝a 2，∴a 2＝4， ∴c ＝1，又b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3 ∴椭圆方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）证明：显然两直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由于直线l 1，l 2与圆（x +1）2+y 2＝r 2（0＜r ＜32）相切，则有k 1＝﹣k 2， 直线l 1的方程为y −32=k 1（x +1）， 联立椭圆方程3x 2+4y 2＝12，消去y ，得x 2（3+4k 12）+k 1（12+8k 1）x +（3+2k 1）2﹣12＝0， ∵P ，M 为直线与椭圆的交点，所以x 1﹣1=−k 1(12+8k 1)3+4k 12，同理，当l 2与椭圆相交时，x 2﹣1=k 1(12−8k 1)3+4k 12，∴x 1﹣x 2=−k 1(12+8k 1)3+4k 12−k 1(12−8k 1)3+4k 12=−24k 13+4k 12，而y 1﹣y 2＝k 1（x 1+x 2）+2k 1=12k 13+4k 12， ∴直线MN 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=−12．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣x −√x ． （Ⅰ）判断f(x)x的单调性；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的零点的个数；（Ⅲ）令g （x ）=2f(x)+√x +lnx ，若函数y ＝g （x ）在（0，1e）内有极值，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设φ（x ）=f(x)x =x 2﹣1x（x ＞0）， 则φ'（x ）＝2x 12√x 0，∴φ（x ）在（0，+∞）上单调递增； （Ⅱ）∵φ（1）＝﹣1＜0，φ（2）＝320，且φ（x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴φ（x ）在（1，2）内有零点，又f （x ）＝x 3﹣x −√x =x •φ（x ），显然x ＝0为f （x ）的一个零点， ∴f （x ）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g （x ）=ax 2+ax x 3−x +lnx ＝lnx +ax−1，则g '（x ）=1x −a (x−1)2=x 2−(2+a)x+1x(x−1)2， 设h （x ）＝x 2﹣（2+a ）x +1，则h （x ）＝0有两个不同的根x 1，x 2，且有一根在（0，1e）内，不妨设0＜x 1＜1e，由于x 1x 2＝1，即x 2＞e ， 由于h （0）＝1，故只需h （1e ）＜0即可，即1e 2−（2+a ）⋅1e +1＜0，解得a ＞e +1e−2，∴实数a 的取值范围是（e +1e−2，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线θ=π6与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点（异于极点O ），定点M （3，0），求△MAB 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，∴曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ﹣ρ2sin 2θ＝2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） ∵曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．∴曲线C 2的普通方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∴x 2+y 2﹣4x ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得：点A 的极坐标为（2，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）点B 的极坐标为（2√3，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴|AB |＝|2﹣2√3|＝2√3−2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） M （3，0）点到射线θ=π6（ρ≥0）的距离为d ＝3sin π6=32，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∴△MAB 的面积为：S △MAB =12|AB |d =12×(2√3−2)×32=3√3−32．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +2|﹣5．（Ⅰ）解不等式：f （x ）≥|x ﹣1|；（Ⅱ）当时x ≥﹣1时，函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）|2x +2|﹣5≥|x ﹣1|等价于{x ≤−1−2x −2−5≥1−x 或{−1＜x ≤12x +2−5≥1−x 或{x ＞12x +2−5≥x −1， 解得x ≤﹣8或x ∈∅或x ≥2，综上所述，不等式f （x ）≥|x ﹣1|的解集为（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）； （Ⅱ）当m ＝﹣1时，则g （x ）＝|2x +2|﹣5+|x ＝1|＝3|x +1|﹣5＝3x ﹣2＞0， 只需g （﹣1）＝﹣3﹣2＞0，不可能！当m ＞﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝|x ﹣m |+2x ﹣3={3x −m −3，x ≥m x +m −3，x ＜m ，要使函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，则g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣1+m ﹣3＞0，可得m ＞4，当m ＜﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝3x ﹣m ﹣3＞0恒成立， 只需要g （x ）min ＝﹣3﹣m ﹣3＞0，可得m ＜﹣6，综上所述，实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞）．。
河南省六市2019届高三第一次联考(一模)数学(理)试题Word版含答案
河南省六市2019届高三第一次联考（一模）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1)2lg(|{<-=x x A ，集合}032|{2<--=x x x B ，则=B A （ ） A ．)12,2( B ．)3,1(- C ．)12,1(- D ．)3,2( 2．已知i 为虚数单位，若),(11R b a bi a ii∈+=-+，则=+b a （ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．23．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．101 B ．51 C ．103 D ．524．汽车以s m t v /)23(+=作变速运动时，在第1s 至2s 之间的1s 内经过的路程是（ ） A ．m 5 B ．m 211 C ．m 6 D ．m 2135．为考察B A ,两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）A ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果C ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果D ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（ ）A ．152B ．15C ．2D ．47．已知数列}{n a 满足：2)1(11=-+++n n n a a ，则其前100项和为（ ） A ．250 B ．200 C ．150 D ．1008．已知锐角ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若)(2c a a b +=，则)sin(sin 2A B A-的取值范围是（ ） A. )22,0( B. )23,21( C. )22,21( D.)23,0( 9．设201721,,,a a a 是数列2017,,2,1 的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F 的值为（ ）A ．2015B ．2016C ．2017D ．201810．在三棱锥ABC S -中，BC SB ⊥，AC SA ⊥，BC SB =，AC SA =，SC AB 21=，且三棱锥ABC S -的体积为239，则该三棱锥的外接球半径是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与函数x y =的图象交于点P ，若函数x y =的图象在P 处的切线过椭圆的左焦点)0,1(-F ，则椭圆的离心率是（ ） A ．213- B ．215- C ．223- D ．225-12．若关于x 的方程0=+-+m e x e e x xxx 有3个不相等的实数解321,,x x x ，且3210x x x <<<，其中R m ∈，71828.2=e ，则)1)(1()1(3213221---x x x e x e x e x 的值为（ ） A ．1 B ．m -1 C ．m +1 D ．e 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知)2,3(-=a ，)2,0(=+b a ，则=||b .14．已知二项式n xx )1(2+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是（用数字作答）.15．已知P 是双曲线C ：1222=-y x 右支上一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线的左焦点，则||||1PQ PF +的最小值是 .16．已知动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+++≥≤+1)1)(1(14222y y x x x y x ，则x y x 622-+的最小值是 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 中，11=a ，其前n 项的和为n S ，且满足)2(1222≥-=n S S a n nn .（1）求证：数列}1{nS 是等差数列； （2）证明：当2≥n 时，2313121321<++++n S n S S S .18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算.（单位：亿元，结果保留两位小数）19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，060=∠BAD ，O 为AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点.（1）证明：平面⊥EAC 平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，并且二面角C AE B --的大小为045，求AD PD :的值.20．已知抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点B A ,，当直线l 的倾斜角是045时，AB 的中垂线交y 轴于点)5,0(Q .（1）求p 的值；（2）以AB 为直径的圆交x 轴于点N M ,，记劣弧MN 的长度为S ，当直线l 绕F 点旋转时，求||AB S的最大值.21．已知函数)(221ln )(2R k kx x x x f ∈-+=. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，证明：23)(2-<x f .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx 12（t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的执直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线L 交于B A ,两点，若P 点的直角坐标为)1,2(，求||||||PB PA -的值.23．选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式m x x ≤-+|12||2|有解. （1）求实数m 的取值范围；（2）已知m b a b a =+>>,0,0，证明：312222≥+++b a b b a a .河南省六市2019届高三第一次联考（一模）数学（理）试题答案一、选择题1-5：CBCDB 6-10：BDCDC 11-12：BA 二、填空题13．5 14．10 15．221+ 16．940- 三、解答题17．解：（1）当2≥n 时，12221-=--n nn n S S S S ，112--=-n n n n S S S S2111=--n n S S ，从而}1{nS 构成以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知，122)1(111-=⨯-+=n n S S n ，∴121-=n S n ∴当2≥n 时，)111(21)22(1)12(11nn n n n n S n n --=-<-=从而232123)1113121211(21113121321<-<--++-+-+<++++n n n S n S S S n . 18．解：（1）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：32515158=+⨯人，80岁以下应抽取：52515258=+⨯人（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：6160020452015=+++ 用样本估计总体，80岁及以上长者为：116166=⨯万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为%75.2%10040011=⨯. （3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X 元，54)0(==X P ，6009560047551)120(=⨯==X P ，600176008551)200(=⨯==X P ，60056002551)220(=⨯==X P ，60036001551)300(=⨯==X P ，则随机变量X 的分布列为：286003300522017200951200=⨯+⨯+⨯+⨯+=EX全市老人的总预算为84102176.210661228⨯=⨯⨯⨯元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元.19.解：（1）因为⊥PD 平面ABCD ，∴AC PD ⊥， 又ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，故⊥AC 平面PBD ∴平面⊥EAC 平面PBD .（2）解：连结OE ，因为//PD 平面EAC ， 所以OE PD //，所以⊥OE 平面ABCD ， 又O 是BD 的中点，故此时E 为PB 的中点，以O 为坐标原点，射线OE OB OA ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系设h OE m OB ==,，则m OA 3=，),0,0(),0,,0(),0,0,3(h E m B m A向量)0,1,0(1=n 为平面AEC 的一个法向量 设平面ABE 的一个法向量为),,(2z y x n =， 则02=⋅AB n 且02=⋅BE n 即03=+-my mx 且0=-hz my ， 取1=x ，则3=y ，h mz 3=，则)3,3,1(2hm n = ∴2221212103313|,cos |45cos hm n n ⋅++==><=，解得26=m h故2:6:2:2:===m h m h AD PD .20.（1）)2,0(pF ，当l 的倾斜角为045时，l 的方程为2p x y +=，设),(),,(2211y x B y x A ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=py x p x y 222得0222=--p px x p p x x y y p x x 3,2212121=++=+=+，得AB 的中点为)23,(p p D AB 中垂线为)(23p x p y --=-0=x 代入得525==p y∴2=p（2）设l 的方程为1+=kx y ，代入y x 42=得0442=--kx x444)(2||22121+=++=++=k x x k y y ABAB 中点为)12,2(2+k k D令α2=∠MDN （弧度），||||212AB AB S ⋅=⋅=αα∴α=||AB S∴D 到x 轴的距离12||2+=k DE∴22112212||21||cos 222+-=++==k k k AB DE α当02=k 时，αcos 取最小值21，α的最大值为3π 故||AB S的最大值为3π.21．（1）kx x x x f 221ln )(2-+=，),0(+∞∈x 所以xkx x k x x x f 1221)('2+-=-+=（1）当0≤k 时，0)('>x f ，所以)(x f 在),0(+∞上单调递增（2）当0>k 时，令12)(2+-=kx x x t ， 当0442≤-=∆k 即10≤<k 时，0)(≥x t 恒成立，即0)('≥x f 恒成立 所以)(x f 在),0(+∞上单调递增 当0442>-=∆k ，即1>k 时， 0122=+-kx x ，两根122,1-±=k k x 所以)1,0(2--∈k k x ，0)('>x f )1,1(22-+--∈k k k k x ，0)('<x f ),1(2+∞-+∈k k x ,0)('>x f 故当)1,(-∞∈k 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增 当),1(+∞∈k 时，)(x f 在)1,0(2--k k 和),1(2+∞-+k k 上单调递增 )(x f 在)1,1(22-+--k k k k 上单调递减.（2）)0(221ln )(2>-+=x kx x x x f k x xx f 21)('-+= 由（1）知1≤k 时，)(x f ),0(+∞上单调递增，此时)(x f 无极值当1>k 时，xkx x k x x x f 1221)('2+-=-+= 由0)('=x f 得0122=+-kx x 0442>-=∆k ，设两根21,x x ，则k x x 221=+，121=⋅x x 其中11102221-+=<<--=<k k x k k x )(x f 在),0(1x 上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增121ln )1(21ln )(21ln 221ln )(22222222222122222222--=+-+=+-+=-+=x x x x x x x x x x x x kx x x x f 令)1(121ln )(2>--=x x x x t 01)('<-=x x x t ，所以)(x t 在),1(+∞上单调递减，且23)1(-=t 故23)(2-<x f . 22. 解：（1）直线l 的普通方程为1-=x y ，θθπθρcos 4sin 4)4sin(24+=+=， 所以θρθρρcos 4sin 42+=所以曲线C 的直角坐标方程为04422=--+y x y x .（2）点)1,2(P 在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 221222（t 为参数） 代入04422=--+y x y x ， 得0722=--t t ，设两个实根为21,t t ，则07,22121<-==+t t t t ，即21,t t 异号 所以2||||||||||||||2121=+=-=-t t t t PB PA .23.解：（1）1|)12(2||12||2|=--≥-+x x x x ，故1≥m（2）由题知1≥+b a ，故222)()22)(22(b a b a b a ba b b a a +≥++++++， ∴31)(312222≥+≥+++b a b a b b a a .。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)真题解析(解析版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x <<<，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数234817x x x x x '=<<<（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()22221119q S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 显然极差变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．8.若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；10.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.15B.5C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．11.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A.B. C. 2 D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3π． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．15.V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则V ABC 的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则A B B E x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题：共70分。
2019学年河南省平顶山市高一上学期期末调研考试数学试卷【含答案及解析】
2019学年河南省平顶山市高一上学期期末调研考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知全集，，，,且，则（）A. B. C. D.2. 函数的定义域为（）A. B. C. D.3. 长方形的八个顶点落在球的表面上，已知，那么球的表面积为（）A. B. C. D.4. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A. 32B.C. 48D.5. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，函数的解析式为（）A. B.C. D.6. 四棱柱中，，，则与所成角为（）A. B. C. D.7. 已知直线与平行，则的值是（）A. 0或1B. 1或________C. 0或________D.8. 函数的图象的大致形状是（）A. B. C. D.9. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，下列命题正确的是（）A. 若，则________B. 若，则C. 若，则________D. 若，则10. 设，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ .其中所有的正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①②③D. ②③④11. 已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.12. 已知直二面角 ,点， , 为垂足, ，, 为垂（）足．若，则到平面的距离等于(A) (B) (C) (D) 1二、填空题13. 已知函数，则的值是 __________ ．14. 经过原点并且与直线相切于点的圆的标准方程是__________ ．15. 正三棱锥中，，则二面角的大小为 __________ ．16. 已知函数在单调递减，，若，则的取值范围是 __________ ．三、解答题17. 设函数是定义域为的任意函数.(1)求证：函数是奇函数，是偶函数；(2)如果，试求(1)中的和的表达式.18. 如图，直三棱柱中，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)已知，，，求三棱锥的体积.19. 设是常数，函数 .(1)用定义证明函数是增函数；(2)试确定的值，使是奇函数；(3)当是奇函数时，求的值域.20. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面 .(1)证明：平面平面；(2)设，，求到平面的距离.21. 设有一条光线从射出，并且经轴上一点反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为 )；(2)设动直线，当点到的距离最大时，求所围成的三角形的内切圆(即：圆心在三角形内，并且与三角形的三边相切的圆)的方程.22. 设圆的圆心在轴上，并且过两点.(1)求圆的方程；(2)设直线与圆交于两点，那么以为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
河南省平顶山市鲁山第一高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析
河南省平顶山市鲁山第一高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A．(4,+∞) B．[4,+∞) C．(－∞,4) D．(－∞,4]参考答案：B2. 已知命题P：?x∈R，e x﹣x﹣1＞0，则￢P是（）A．?x∈R，e x﹣x﹣1＜0 B．?x0∈R，e﹣x0﹣1≤0C．?x0∈R，e﹣x0﹣1＜0 D．?x∈R，e x﹣x﹣1≤0参考答案：B【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：?x∈R，e x﹣x﹣1＞0，则￢P是?x0∈R，e﹣x0﹣1≤0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B略4. 已知函数：①，②，③.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题是奇函数；命题在上是增函数；命题；命题的图像关于直线对称A．命题 B．命题 C．命题 D．命题参考答案：C当时，函数不是奇函数，所以命题不能使三个函数都成立，排除A,D.①成立；②成立；③成立，所以命题能使三个函数都成立，所以选C.5. 设函数的零点为的零点为，若可以是A. B.C. D.参考答案：D6. 在四边形ABCD中， =0，且，则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形参考答案：C【考点】相等向量与相反向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由=0，得AB⊥BC，由，得AB DC，由此能判断四边形ABCD的形状．【解答】解：在四边形ABCD中，∵=0，∴AB⊥BC，∵，∴AB DC，∴四边形ABCD是矩形．故选：C．【点评】本题考查四边形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直和向量相等的性质的合理运用．7. 计算（A）（B）（C）（D）参考答案：D8. 已知实数，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】首先解出的等价条件，然后根据充分条件与必要条件的定义进行判定。
河南省六市2019届高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
河南省六市2019届高三第一次联考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得：，，则，故选C.2.设复数，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：，．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】4.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：根据古典概型概率公式求解．详解：从10部专著中选择2部的所有结果有种．设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为．由古典概型概率公式可得．故选A．点睛：解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和事件A 包含的基本事件的个数，然后按照公式求解．5.已知函数，，则“”是“函数为奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若，则，则，则，即是奇函数，即充分性成立，若函数是奇函数，则满足，即，则，即必要性成立，则“”是“函数为奇函数”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及充分条件和必要条件的判断，利用函数奇偶性的定义以及对数函数的运算性质是解决本题的关键．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图知该几何体是棱长为4的正方体截去一个圆柱体，结合图中数据求出它的表面积．【详解】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为．故选：D．【点睛】本题考查了利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题．7.若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先跟别判断出所在的范围，然后再比较大小．详解：∵，∴．∴，∴．故选A．点睛：比较幂和对数的大小时，由于面对的是两类不同的数，因此比较时可先判定出数所在的范围，从而可得大小关系；若仍无法比较，则选取适当的中间量（如0或1），根据各数与中间量的大小关系得到所求结论．8.将函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数向左平移个单位后，得到函数解析式为：图象关于点对称则对称中心在函数图象上，可得：解得，，，则函数在上的最小值为故选9.已知变量x、t满足约束条件，则目标函数的最大值是A. B. C. D. 6【答案】D【解析】【分析】先画出满足条件的平面区域，由得，结合图象得到直线过时z最大，求出z的最大值即可．【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由得，显然直线过时z最大，z的最大值是6，故选：D．【点睛】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】由已知式子和正弦定理可得B，再由余弦定理和基本不等式可得ac≤16，代入三角形的面积公式可得最大值．【详解】∵在△ABC中，∴（2a﹣c）cos B＝b cos C，∴（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，约掉sin A可得cos B＝，即B＝，由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，∴△ABC的面积S＝ac sin B＝ac≤故选：A．【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．11.抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由抛物线定义得所以由得,因此所以，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．12.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，，利用导函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．【详解】解：函数是定义在上的可导函数，为其导函数，令，则，可知当时，是单调减函数，并且，即，时，函数是单调增函数，，则，则不等式的解集就是的解集，即，故不等式的解集为：．故选：C．【点睛】本题考查函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，与的夹角为，若，，则在方向上的投影为______．【答案】【解析】【分析】根据的坐标可求出，进而求出，从而可求出，从而得出在方向上的投影为．【详解】解：，的夹角为；；；，且；在方向上的投影为：．故答案为：．【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，一个向量在另一个向量方向上投影的计算公式，以及向量夹角的余弦公式．14.在的展开式中，常数项为__________．【答案】【解析】由二项展开式的通项公式得：，显然时可能有常数项，当时，，有常数项，当，的展开式中含，故常数项为，当，常数项为1，所以展开式中的常数项．15.已知双曲线，焦距为2c，直线l经过点和，若到直线l的距离为，则离心率为______．【答案】或【解析】【分析】求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理即可得到，解方程即可得到离心率，注意条件，则有，注意取舍．【详解】解：直线l的方程为，即为，，到直线l的距离为，可得：，即有，即，即，，由于，则，解得，或．由于，即，即有，即有，则或．故答案为：或．【点睛】本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．16.如图，是等腰直角三角形，斜边，D为直角边BC上一点不含端点，将沿直线AD折叠至的位置，使得在平面ABD外，若在平面ABD上的射影H恰好在线段AB上，则AH的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】推导出，，，，，平面ABC，从而，当时，B与D重合，，当时，，由此能求出AH的取值范围．【详解】解：在等腰中，斜边，D为直角边BC上的一点，，，将沿直AD折叠至的位置，使得点在平面ABD外，且点在平面ABD上的射影H在线段AB上，设，，，，平面ABC，，当时，B与D重合，，当时，，为直角边BC上的一点，，的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列前n项和为，且满足，．Ⅰ试确定r的值，使为等比数列，并求数列的通项公式；Ⅱ在Ⅰ的条件下，设，求数列的前n项和．【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知令n=1即可求得；当n≥2时，，与已知式作差得，即从而可知欲使{a n}为等比数列，则，从而可求出r的值，进而可写出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，从而，按n小于6和大于等于6讨论可求出数列的前n项和T n．试题解析：（Ⅰ）解：当n = 1时，1分当n≥2时，，与已知式作差得，即欲使{a n}为等比数列，则，又，∴5分故数列{a n}是以为首项，2为公比的等比数列，所以6分（Ⅱ）解：，若，9分若,，∴12分考点：1．等比数列的概念及通项公式；2．等差数列的前n项和.18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．Ⅰ应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？Ⅱ若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望和方差；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【答案】（Ⅰ）甲、乙、丙三个部门分别抽取2、3、2人；（Ⅱ）详见解析；．【解析】【分析】Ⅰ利用用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人．Ⅱ由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、数学期望和方差．基本事件总数，事件A包含的基本事件个数，由此能求出事件A发生的概率．【详解】解：Ⅰ某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．应从甲部门的员工中抽取：人，乙部门的员工中抽取：人，丙部门的员工中抽取：人．Ⅱ由题意得X的可能取值为0，1，2，3，，，，，随机变量X的分布列为：，．抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．基本事件总数，A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，则事件A包含的基本事件个数，事件A发生的概率．【点睛】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差、概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知五边形ABECD有一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，，且，将梯形ABCD沿着BC折起，形成如图2所示的几何体，且平面BEC．求证：平面平面ADE；求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】【分析】延长AD，BC相交于F，连接EF，证明面ABE，即可证明平面平面ADE；根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，即可求二面角的平面角的余弦值．【详解】证明：直角梯形ABCD中，延长AD，BC相交于F，则，连接EF，三角形BCE为等边三角形，是直角三角形，则，平面，平面BEC.．，面ABE，面ADF，平面平面ADE；由知面ABE，则，则是二面角的平面角，，设，则，，，则，即二面角的平面角的余弦值是．【点睛】本题主要考查空间面面垂直的证明以及二面角的求解，根据面面垂直的判定定理，以及二面角的平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．20.已知椭圆C：的两个焦点分别为，，点P是椭圆上的任意一点，且的最大值为4，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ设点，过点P作两条直线，与圆相切且分别交椭圆于M，N，求证：直线MN的斜率为定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】Ⅰ利用椭圆的离心率，以及基本不等式和椭圆的定义，求出a，b，然后求解椭圆方程．Ⅱ直线，的斜率存在，设为，，，，直线，与圆相切，则有，直线的方程为直线的方程为，与椭圆方程联立，求出，同理，当与椭圆相交时，然后求解直线的斜率即可．【详解】解：Ⅰ双曲线的离心率为，可得椭圆C 的离心率为，设椭圆的半焦距为c ，，，，，又椭圆方程为；Ⅱ证明：显然两直线，的斜率存在， 设为，，，，由于直线，与圆相切，则有，直线的方程为， 联立椭圆方程，消去y ，得，，M 为直线与椭圆的交点，所以，同理，当与椭圆相交时，，，而，直线MN 的斜率．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立椭圆方程和直线方程，运用韦达定理，注意运用基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 21.已知函数．Ⅰ判断的单调性；Ⅱ求函数的零点的个数；Ⅲ令，若函数在内有极值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递增;（2）2；（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）判断零点的个数问题，一般利用函数的单调性，然后判断极大值、极小值的正负情况，从而判断出个数；当在给定区间上单调递增或单调递减时，常利用零点的存在性定理判断有无零点，此时最多一个．（Ⅱ）函数在某区间上有极值即导数等于零在区间上存在变号零点，从而转化为方程有解问题或函数图像与x轴的交点问题．试题解析：（Ⅰ）∵，∴为的一个零点．当时，，设，∴在单调递增．又，，故在内有唯一零点．因此在有且仅有2个零点．（Ⅱ）定义域是则设，要使函数在内有极值，则有两个不同的根∴，得或，且一根在，不妨设，又，∴，由于，则只需，即．解得．考点：•函数零点个数的判断问题；‚由函数有极值作为条件求参数范围．【方法点睛】对于函数在某区间内有极值求参数范围题目，首先应做好等价转化，如本题转化为有两不等根．接下来有两种思路：（1）把参数移到一边转化为形如的形式，则问题等价于直线与曲线有两个交点，利用数形结合去求解；（2）不移项，利用一元二次方程根的分布去求解，但当不是一元二次函数时，问题复杂，可能要讨论．22.在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线．．与曲线，分别交于，两点（异于极点），定点，求的面积【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程. (2) 先利用极坐标求出弦长|AB|,再求高，最后求的面积．试题解析：（1）曲线的极坐标方程为： ，因为曲线的普通方程为： ，曲线的极坐标方程为．（2） 由（1）得：点的极坐标为， 点的极坐标为点到射线的距离为的面积为.23.已知函数．Ⅰ解不等式：；Ⅱ当时时，函数恒为正值，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）．【解析】 【分析】Ⅰ由分类讨论，解不等式可得所求解集；Ⅱ求得的最小值，解不等式可得所求范围．【详解】解：Ⅰ等价于或或，解得或或，综上所述，不等式的解集为；Ⅱ当时，则，只需，不可能当时，，要使函数恒为正值，则，可得，当时，恒成立，只需要，可得，综上所述，实数m的取值范围是．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立的解法，考查运算能力，属于基础题．。
3.2019年河南省六市高三第一次联考数学(理)参数答案
2019年河南省六市高三第一次联考试题数学（理科）参考答案一、选择题1-6 CDBACD 7-12 ACDADB 二、填空题13．－3; 14．－5; 1516. 三、解答题17．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）当n =1时，12132S a =-，21132a a =+， ----------------1分 当n ≥2时，1132n n S a -=-，与已知式作差得a n =a n +1﹣a n ，即a n +1=2a n （n ≥2）， 欲使{a n }为等比数列，则a 2=2a 1=2r ，又21132a a =+，∴132r =， ------------4分故数列{a n }是以132为首项，2为公比的等比数列，所以62n n a -=---------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =n ﹣6，∴6,6||6,6n n n b n n -<⎧=⎨-≥⎩, ------------------------8分若n ＜6，212112n n n n T b b b -=----=，若n ≥6，2125611302n n n nT b b b b b -=----+++=+，∴2211, <621130,62n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪+≥⎪⎩． -------------------------------12分18.（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）三个部门的员工总人数为48+32+32=112（人） 甲部门抽取的员工：3272112⨯=；乙部门抽取的员工：4873112⨯=； 丙部门抽取的员工：3272112⨯=------------------4分 （Ⅱ）0,1,2,3X =12334433772133433377418(0);(1)3535121(2);(3)3535C C C P X P X C C C C C P X P X C C === ====== ===--------------6分所以X 的分布列为：418121459()012335353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯== 22229491891291()(0)(1)(2)(3)73573573573549D X 24=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=， -----9分（ii ）从7人中抽取的3人，有37C 种等可能的结果，其中A 有12213434C C C C +种结果，所以1221343437306()357C C C C P A C +===.------------12分 19．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）证明：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，则GF //12AB .∵DC //12AB ，∴CD //GF ，∴四边形CFGD 为平行四边形，∴CF ∥DG . -------------------------------------------1分 ∵AB ⊥平面BEC ， ∴AB ⊥CF .∵CF ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面ABE .-----------------------------------------2分 ∵CF ∥DG ,∴DG ⊥平面ABE . ∵DG ⊂平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE . -----------------------------------------4分 （Ⅱ）过E 作EO ⊥BC 于O . ∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥EO .∵AB ∩BC ＝B ，∴EO ⊥平面ABCD . --------------5分以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝4，则A (0，－2,4)，B (0，－2,0)，D (0,2,2)，E (23，0,0)，∴ED →＝(－23，2,2)，EA →＝(－23，－2,4)，EB →＝(－23，－2,0)．-------------------------------------6分 设平面EAD 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·ED →＝0，n ·EA →＝0，即⎩⎨⎧ －3x 1＋y 1＋z 1＝0，－3x 1－y 1＋2z 1＝0.取z 1＝2得x 1＝3，y 1＝1，则n ＝(3，1,2)，----------------------------8分 设平面BDE 的法向量为m ＝(2x ，2y ，2z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·ED →＝0，m ·EB →＝0，即⎩⎨⎧－3x 2＋y 2＋z 2＝0，3x 2＋y 2＝0，取2x ＝1，得2y ＝－3，2z ＝23， 则m ＝(1，－3，23)．----------------------------------10分∴(3,1,2)(1,3,23)cos <,>=|41312-==++n m n m |n |m |. 又由图可知，二面角A DE B 的平面角为锐角， ∴其余弦值为64．----------------------------------12分20．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，则122212()42PF PF PF PF a +≤==,所以2a = 双曲线221412x y -=2=，可知椭圆C 的离心率为12，可知12c a =，解得221,13c b a ==-=所以椭圆C 的方程为22143x y += -------------------------4分（Ⅱ）点3(1,)2P -在椭圆C 上，显然两直线12,l l 的斜率存在，设为12,k k ，1122(,),(,)M x y N x y ，由于直线与圆2223(1)(0)2x y r r ++=<<相切，可知12k k =-直线113:(1)2l y k x -=+，联立方程组2211433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，可得222111133(34)8()4()12022k x k k x k +++++-=-------------------8分所以 2111111221138()4123213434k k k k x x k k +--+-=-⇒=++,所以211221412334k k x k -++=+, 112212434k x x k --=+ 又2112218634k x x k -++=+2111211211122118612()2()23434k k y y k x x k k k k k -+-=++=+=++--------------10分 可知直线MN 的斜率为12121112211234124234k y y k k k x x k -+===---+， 故所求的直线MN 的斜率为12-. ------------------------------12分21．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）因为(0)0=f ，所以0x =为()y f x =的一个零点， ------------------1分 当0x >时，2()(1f x x x =--，设2()1x x ϕ=--，则()20x x ϕ'=+>，∴()x ϕ在(0,)+∞单调递增， ------------------3分又(1)10ϕ=-<，(2)30ϕ=>，故()x ϕ在(0,)+∞上有唯一零点，且在(1,2)内，所以在有且仅有2个零点. ----------------------------5分（Ⅱ）2(1)()ln ln ln (1)(1)1ax x ag x x x x x x x x +==+=++--，定义域为(0,1)(1,)+∞，222(2)1()(1)(1)a x a x g x x x x x 1-++'=-=--， ----------------------------6分设2()(2)1h x x a x =-++，要使()y g x =在(0,)e1内有极值，则()0h x =有两个不同的根1x ，2x ，且有一根在(0,)e1， -----------------------------8分所以2(2)40a ∆=+->，解得0a >或4a <-，不妨设10ex 1<<，又121x x =， 所以120e ex x 1<<<<， ---------------------------------10分 所以(0)1h =，则只需()0e h 1<，即(2)102e ea 11-++<，解得2e ea 1>+-， 所以a 的取值范围为2e ea 1>+-----------------------------------12分 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 【解析】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 2ρθρθ-=，因为曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，所以2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ---------------------------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：点A 的极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22AB ∴=-=，()3,0M 点到射线()06θρπ=≥的距离为33sin 62d π==， 所以M AB ∴△的面积为()1132222AB d ⋅=⨯⨯=． -------------------10分 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 【解析】（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于或或， 解得或或，综上所述，不等式的解集为．-------------------4分（Ⅱ）当时，则320x =->，只需()()13120g -=-->，不可能！当时，()33,225233,x m x mg x x x m x m x x m x m--≥⎧=++--=-+-=⎨+-<⎩，要使函数恒为正值，则()()()min 11304g x g m m =-=-+->⇒> 当1m <-时，()225330g x x x m x m =++--=-->恒成立， 只需要()()min 31306g x m m =--->⇒<- 综上所述，实数的取值范围是：()(),64,-∞-+∞．-------------------10分12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩8x ≤-∅2x ≥()1f x x ≥-(][),82,-∞-+∞1m =-()2251315g x x x x =+-++=+-1m >-()()g x f x x m =+-m。
河南省六市2019届高三第一次联考试题 数学(理) Word版含答案
2019年河南省六市高三第一次联考试题数学(理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项:1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。
第I 卷(选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合 A = {032|2≤--x x x }，B = {)2ln(|x y x -=}，则=B A A.(l,3) B.(l,3] C.[-1,2) D.(-1,2)2.设复数i z +=1,则=+25z zA. 225i +-B. 225i --C. 225i +D. 225i -3. 040sin 200cos 50sin 70cos -的值为 A. 23-B. 23C. 21-D. 21 4.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 ……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。
这10部专著中有1部产生于魏晋南北朝时期。
某中学拟从这10部专著中选择2部作为 “数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的 概率为 A.1514 B. 151 C. 92 D. 97 5.已知函数R x a x x x f x x ∈++++=-),77()1ln(3)(2，则“a=0”是“函数)(x f 为奇函数的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何 体的表面积为A. π264-B. π264+C. π280-D. π280+ 7.若x xe c b x a e x ln ln 1,)21(,ln ),1,(===∈-，则A. b >c >aB. c > b > aC. b > a > cD. a > b >c8.若将函数πϕϕϕ<<0)2cos(3)2sin()(+++=x x x f 的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点)0,2(π对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6,2[ππ-上的最小值是 A. 21-B. 23-C. 21D.229.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的最大值是A. -6B. 23- C. -1 D.610. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4,cos cos 2==-b BCb c a ，则△ABC 的面积的最大值A. 34B. 32C. 33D. 311. 抛物线x y 82=的焦点为F ，设（11,y x )，B(22,y x )是抛物线上的两个动点，若||332421AB x x =++，则∠AFB 的最大值为 A.3π B. 43π C. 65π D.32π12.函数)(x f 是定义在（1，+∞)上的可导函数，)('x f 为其导函数，若)2()(')1()(2-=-+x x x f x x f ,则不等式)(2e f <0的解集为A. (0,1)B. (0,2)C. (1,2)D. (2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
即 ，可得 ．
由于 ，所以 ，故
．
18．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME= B1C．
又因为N为A1D的中点，所以ND= A1D．
由题设知A1B1 DC，可得B1C A1D，故ME ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
1.已知集合 ，则 =
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】由题意得， ，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2.设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
11．关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
河南省平顶山市第一中学2019年高二第二学期开学考试理科数学试题及解析
2019~2020学年第二学期高二质量检测(四)高二理科数学第Ⅰ卷一、选择题:在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项. 1.已知复数(tan 3)1i z iθ--=,则“3πθ=”是“z 是纯虚数”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】C 【试题解析】 【分析】 考查“(tan 3)1i z θ--=是纯虚数”与“3πθ=”能否互相推出解:3πθ=时,(tan 3)1i z i iθ-==是纯虚数,即3πθ=⇒z 是纯虚数(tan 3)1(tan 3)1tan 3i i i z i i iθθθ⎡⎤-⋅--⎣⎦===⋅是纯虚数时,,3k k Z πθπ=+∈,不一定有3πθ=,故选:C考查成分条件必要条件的判断,基础题.2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅…癸酉,甲戌、乙亥、丙子…癸未,甲申、乙酉、丙戌…癸巳,…,共得到60个组合,称六十甲子,周而复始,无穷无尽.2019年是“干支纪年法”中的己亥年,那么2026年是“干支纪年法”中的 A.甲辰年 B.乙巳年 C.丙午年 D.丁未年【参考答案】C【试题解析】按照题中规则依次从2019年列举到2026年,可得出答案.根据规则,2019年是己亥年,2020年是庚子年,2021年是辛丑年,2022年是壬寅年,2023年是癸卯年,2024年是甲辰年,2025年是乙巳年,2026年是丙午年,故选C.本题考查合情推理的应用,理解题中“干支纪年法”的定义,并找出相应的规律,是解本题的关键,考查逻辑推理能力,属于中等题.3.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量(单位:kg )服从正态分布()210,0.1N ,现抽取500袋样本,X 表示抽取的面粉质量在区间()10,10.2内的袋数,则X 的数学期望约为( )注:若()2~,Z Nμσ,则()0.6826P Z μσμσ-<<+=,(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=.A.171B.239C.341D.477【参考答案】B 【试题解析】先根据正态分布求得质量在(10,10.2)kg 的袋数的概率,再根据袋数服从二项分布可得 解:(22)0.9544, 10P Z μσμσμ-<+≈=0.1σ=(9.810.2)0.9544P X ∴<<≈0.9544(1010.2)0.47722P X ∴<<== 则面粉质量在(10,10.2)kg 内的袋数服从二项分布,即~(500,0.4772)X B , 则()5000.4772239E X =⨯≈ 故选:B本题考查正态分布的应用以及求二项分布的期望,基础题.4.若不等式14x x m -++≤的解集非空,则实数m 的取值范围是( ) A.[]5,3--B.[]3,5-C.[]5,3-D.[]3,5【参考答案】C 【试题解析】根据绝对值三角不等式求得|1|||x x m -++的最小值为|1|m +,根据题意可得|1|4m +≤即可.解:不等式14x x m -++≤的解集非空, 因为|1||||1|x x m m -+++|1|4414m m ∴+∴-+,53m -故选:C考查不等式能成立求参数的范围,基础题.5.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是 A.72B.120C.144D.168【参考答案】B 【试题解析】分两类,一类是歌舞类用两个隔开共3333(2)A A 种,第二类是歌舞类用三个隔开共31223222()A C A A 种,所以N=3333(2)A A +31223222()A C A A =120.种.选B.6.由曲线y =直线2y x =-及y 轴所围成的平面图形的面积为( )A.6B.4C.103D.163【参考答案】D 【试题解析】先求可积区间,再根据定积分求面积.由y =2y x =-得交点为(4,2),所以所求面积为322440016(2)(2)3232x x x x dx x -+=-+=⎰,选D. 本题考查定积分求封闭图形面积,考查基本求解能力,属基本题. 7.等比数列{}n a 中,12a =,84a =,函数128()()()()f x x x a x a x a =---,则(0)f '=A.62B.92C.122D.152【参考答案】C 【试题解析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积,利用乘法运算的求导法则,代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果. 【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅ ()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a ===()()441218082f a a '∴===本题正确选项:C本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用,涉及到等比数列性质应用的问题,关键是能够将函数拆解为合适的两个部分,从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.8.已知函数2()sin 2cos f x x x x x =+,(2,2)x ππ∈-,则其导函数'()f x 的图象大致是( )A. B.C. D.【参考答案】C 【试题解析】试题分析:()()222sin cos 2cos 2sin 2cos f x x x x x x x x x x =⋅+⋅+-⋅=+',()f x '为偶函数,当()0f x '=且()2,2x ππ∈-时,2x π=±或32x π=±,所以选择C. 考点:1.导数运算；2.函数图象.9.已知51(1)(2)a x x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( ) A.80- B.40-C.40D.80【参考答案】D 【试题解析】51(1)(2)a x x x+-中,给x 赋值1求出各项系数和,列出方程求出a ,展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和,利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +,12a ∴+=1a551111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5511122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55215(1)2r r r rr T C x --+=-,令521r -=得2r;令520r -=,无整数解,展开式中常数项为25880C =,故选D.本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和,属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和；(3)二项展开式定理的应用.10.甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前,每边各坐一人.已知:①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻,也不正面相对.若己与乙不相邻,则以下选项正确的是( ) A .若甲与戊相邻,则丁与己正面相对 B.甲与丁相邻C.戊与己相邻D.若丙与戊不相邻,则丙与己相邻【参考答案】D 【试题解析】先安排甲和乙,再安排丙和丁,此时排除B 、C,余下依次讨论A 和D 即可. 解:由题意可知,甲、乙位置的示意图如图(1),因此丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1,由己和乙不相邻可知,己只能在1或2,故丙和丁只能在3和4,4和3,如图(2)和(3),由此可排除B 、C.对于A 项,若甲与戊相邻,则己与丁可能正面相对,也可能不正面相对,排除A.对于D 项,若丙与戊不相邻,则戊只能在丙的对面,则己与丙相邻,正确. 故选:D考查逻辑推理能力,基础题.11.若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为(,)m n (0n <),且(,)m n 中只有一个整数,则实数a 的取值范围是( ) A.221(,)3e eB.221[,)3e eC.221(,)32e eD.221[,)32e e【参考答案】D 【试题解析】试题分析:0x xe ax a -+<可化为()1xxe a x <-,令()()(),1xf x xeg x a x ==-,显然0a ≠,函数()()1g x a x =-过定点()1,0C ,令()()10,0xf x x e x ='=+=,所以在(),1-∞,()f x 单调递减,在1,,()f x 单调递增,()f x 在1x =处取得极小值,画图象下图所示,由图可知,当直线()()1g x a x =-介于,AC BC 之间时,符合题意()1xxe a x <-的解集为()(),0m n n <,且(),m n 中只有一个整数解.2121,,2,A B e e ⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以212,23AC BC k k e e ==,所以221,32a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.考点:导数.【思路】本题主要考查化归与转化的数学思想方法,考查函数导数与单调性、极值和最值的关系,考查函数数形结合的数学思想方法.先将圆不等式转化为两个函数()()(),1x f x xe g x a x ==-,()g x 图象是直线,过定点,利用导数求出()f x 的单调区间和极值,画出图象,旋转直线,结合题目要求“一个整数点”,就可以求得a 的取值范围. 12.定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ,若()0f x <,且()'()2112f x f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭,则( )A.()()22213f f e< B.()()21f f e< C.()()2212f f e< D.()()231f e f <⋅【参考答案】C 【试题解析】 由()'()2112f x f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭得()2'()0f x f x +<,构造函数:2()()x g x e f x =⋅,求导判单调性得(2)(1)g g >,进而得22(2)(1)e f f ⋅>则可求因为()'()0211122f x f x +⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以()2'()0f x f x +<.构造函数:2()()x g x e f x =⋅,所以2'()()2()'()x x g x e f x e f x f x =⋅+⋅⋅()[()2'()]0x e f x f x f x =⋅⋅+>.所以函数()g x 在R上单调递增,所以(2)(1)g g >,即222(2)(1)e f e f ⋅>⋅,即()()2212f f e< 故选C本题考查导数与函数的单调性,考查构造函数的思想,考查逻辑推理能力,是中档题 二、填空题13.抛掷一个骰子,若掷出5点或6点就说试验成功,则在3次试验中恰有2次成功的概率为______. 【参考答案】29【试题解析】先求出每次试验成功的概率为2163=,在根据n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率公式即可.解:每次试验成功的概率为2163=, 3次试验中成功2次的概率为:2231121339C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为:29考查n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率公式的应用,基础题. 14.观察下列等式11=2349++=3456725++++= 4567891049++++++=照此规律,第n 个等式为__________. 【参考答案】()221n - 【试题解析】根据式子的开始项和中间一项及右边结果的特点得出. 根据题意,由于观察下列等式11=2349++= 3456725++++= 4567891049++++++=照此规律,等式左边的第一个数就是第几行的行数,且相加的连续自然数的个数是中间数字,右边是最中间数字的平方,故第n 个等式为()()()()2123221n n n n n +++++⋯+-=-. 本题考查了归纳推理,属于中档题.15.随机变量ξ的取值为0,1,2,若(015)P ξ==,()1E ξ=,则(21)D ξ+=______. 【参考答案】85【试题解析】由(015)P ξ==,()1E ξ=求出(135)P ξ==和(215)P ξ==,再根据公式求(21)E ξ+,最后求(21)D ξ+解:设(1),(2)P p P q ξξ====,所以 45101215p q p q ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+=⎪⎩ 3515p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()()()131(21)201211221555191355E ξ+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++=()()()222131(21)201321132213555448555D ξ+=⨯+-⨯+⨯+-⨯+⨯+-⨯=+=故答案为:85考查离散型随机变量的期望和方差的求法,基础题.16.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号). ①()25P B =； ②()15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立； ④123,,A A A 是两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定,因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关 【参考答案】②④ 【试题解析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出123,,A A A 事件发生的条件下B 事件发生的概率,即可判断②；然后由()()()123()P B P A B P A B P A B =++,判断①和⑤；再比较11()()()P A B P A P B ，的大小即可判断③.由题意可知事件123,,A A A 不可能同时发生,则123,,A A A 是两两互斥的事件,则④正确； 由题意得()()()123544|,|,|111111P B A P B A P B A ===,故②正确； ()()()()()()()()()123133122()|||P B P A B P A B P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++=++552434910111011101122=⨯+⨯+⨯=,①⑤错； 因11559()()()104492222P A B P A P B ==⨯=，,所以事件B 与事件A 1不独立,③错；综上选②④ 故答案:②④本题主要考查了判断互斥事件,计算条件概率以及事件的独立性,属于中档题.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在直角坐标系xOy 中,直线1;2C x =-,圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求1C ,2C 的极坐标方程； (2)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设23,C C 的交点为,M N ,求2C MN ∆的面积.【参考答案】(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)12. 【试题解析】试题分析:(1)将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程,化简得cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得240ρ-+=得12ρρ==, 所以MN =进而求得面积为12. 试题【试题解答】(1)因为cos ,sin x y ρθρθ==,所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得240ρ-+=得12ρρ=所以MN =因为2C 的半径为1,则2C MN ∆的面积为111sin 4522⨯= 考点:坐标系与参数方程.18.有一款击鼓小游戏规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得50分,没有出现音乐则扣除150分(即获得-150分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立. (Ⅰ)玩一盘游戏,至少出现一次音乐的概率是多少？ (Ⅱ)设每盘游戏获得的分数为X ,求X 的分布列；(Ⅲ)许多玩过这款游戏的人都发现,玩的盘数越多,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析其中的道理. 【参考答案】(1)78(2)见解析(3)见解析 【试题解析】分析:(Ⅰ)设A 表示事件“玩一盘游戏,至少出现一次音乐”,则()317128P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；(Ⅱ)X 的可能取值为150,10,20,50-,利用组合知识,根据独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率,从而可得分布列；(Ⅲ)结合(Ⅱ),利用期望公式可得X 的数学期，可得每盘所得分数的期望为负值,故玩的盘数越多,所得分数反而可能减少. 详解:(Ⅰ)设A 表示事件“玩一盘游戏,至少出现一次音乐”,则()317128P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. (Ⅱ)X 的可能值为-150,10,20,50,则()31115028P X ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,()313131028P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, ()323132028P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()3115028P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以,X 的分布列为:(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,()()131501088E X =-⨯+⨯ 3152050884+⨯+⨯=, 即每盘所得分数的期望为负值,故玩的盘数越多,所得分数反而可能减少.:求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是:先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率,列出分布列,根据数学期望和方差的公式计算.注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用,对实际的含义要正确理解.19.某市积极倡导学生参与绿色环保活动,其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2014年1月—2014年12月(一年)内空气质量指数API 进行监测,下表是在这一年随机抽取的100天的统计结果:天数 4 13 18 30 9 11 15 (1)若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失(单位:元)与空气质量指数API(记为)的关系为:0,0100{4400,1003001500,300tP t tt≤≤=-<≤>,在这一年内随机抽取一天,估计该天经济损失元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节,其中有8天为重度污染,完成22⨯列联表,并判断是否有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季节合计100下面临界值表供参考.2()P K k≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.【参考答案】(1)P(A)=；(2)95%的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关.【试题解析】试题分析:(1)由题意知只可能是第二段函数在此范围类,从而得到t 的范围,进而通过频数统计表得到所对应的天数,利用古典概型概率公式得其概率；(2)列联表的完成只要找到各个数据所对应的含义不难完成,然后利用独立性检验相关系数看相关性大小.试题【试题解答】(1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失200600]P ∈（，元”为事件A , 由2004400600t -≤＜,得150250t ≤＜,频数为39, ∴39()100P A =. (2)根据以上数据得到如表:非重度污染重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63770合计 85151002K的观测值2100(638227) 4.575 3.84185153070k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＞,所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关. 考点:1、分段函数；2、频率分布表；3、古典概型；4、独立性检验.【步骤】判断两个分类变量关系的可靠性的一般步骤为:①根据数据列出相关表格；②根据公式计算出2K 的值；③比较观测值k 与2K 分布表中相应的检测水平,根据小概率原理肯定或者否定假设,判断X ,Y 是否相关.20.“既要金山银山,又要绿水青山”.某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花圆中设计一条观光线路.打算在半圆弧上任选一点C (与,A B 不重合),沿AC 修一条直线段小路,在路的两侧(注意是两侧)种植绿化带；再沿弧BC 修一条弧形小路,在小路的一侧(注意是一侧)种植绿化带,小路与绿化带的宽度忽略不计.(1)设BAC θ∠=(弧度),将绿化带的总长度表示为θ的函数()f θ； (2)求绿化带的总长度()f θ的最大值.【参考答案】(1)()200cos 100f θθθ=+,其中(0,)2πθ∈；(2)5010033π米 【试题解析】(1)先设圆心为O ,连结,OC BC ,根据题意表示出AC 与弧BC ,即可得出()f θ；(2)根据(1)的结果,对函数()fθ求导,利用导数方法研究()f θ的单调性,进而可求出结果.(1)设圆心为O ,连结,OC BC .在直角ABC ∆中,cos 100cos AC AB θθ==,弧BC 的长502100θθ=⨯=； 所以()200cos 100fθθθ=+,其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(2)()'200sin 100f θθ=-+,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 令()'0f θ=,可得1sin 2θ=,所以6πθ=. 当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0f θ>,()f θ单调递增； 当,62ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()'0f θ<,()f θ单调递减； 所以()max 35020010010036263ff πππθ⎛⎫==⨯+⨯=⎪⎝⎭. 所以绿化带的总长度()fθ的最大值为5010033π米. 本题主要考查导数的应用,熟记导数的方法求函数的单调性以及最值即可,属于常考题型.21.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点()10B ,且与x 轴不重合,直线l 交圆A 于C ,D 两点,过点B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线1C ,直线l 交1C 于M ,N 两点,过点B 且与直线l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【参考答案】(1)证明见解析,221(0)43x y y +=≠(2)12,83⎡⎣ 【试题解析】(1)由||||AD AC =,//EB AC ,故EBD ACD ADC ∠=∠=∠,所以||||EB ED =,得到||||=||||||EA EB EA ED AD ++=,化简得||||4EA EB +=,利用椭圆的定义,即可求解；(2)设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,联立方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,利用根与系数的关系,结合弦长公式和三角形的面积公式,即可求解.(1)因为||||AD AC =,//EB AC ,故EBD ACD ADC ∠=∠=∠, 所以||||EB ED =,故||||=||||||EA EB EA ED AD ++=, 又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=,从而||4AD =,所以||||4EA EB +=, 由题设得(1,0)A -,(1,0)B ,||2AB =,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠.(2)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,()11,M x y ,()22,N x y ,由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=,则2122843k x x k +=+,212241243k x x k -=+,所以()2122121||43k MN x k +=-=+,过点()10B ,且与l 垂直的直线1:(1)m y x k =--,A 到m,所以||PQ ==, 故四边形MPNQ的面积1||2S MN PQ ==‖, 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为⎡⎣, 当l 与x 轴垂直时,其方程为1x =,3MN =,四边形MPNQ 的面积为12,综上,四边形MPNQ面积的取值范围为⎡⎣.本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 22.已知函数()()xf x xe x R -=∈ (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称,证明当1x >时,()()f x g x >(Ⅲ)如果12x x ≠,且12()()f x f x =,证明122x x +>【参考答案】(Ⅰ)f(x)在(,1-∞)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数.函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析 【试题解析】(Ⅰ)解:f’()(1)xx x e -=-令f’(x)=0,解得x=1当x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表所以f(x)在(,1-∞)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数.函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e(Ⅱ)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2x e - 令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)xx F x xe x e --=+-于是22'()(1)(1)x x F x x ee --=--当x>1时,2x-2>0,从而2x-2e 10,0,F x e -->>又所以’(x)>0,从而函数F(x)在[1,+∞)是增函数.又F(1)=0,所以x>1时,有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). (Ⅲ)证明:(1)若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。
2019-2020学年河南省平顶山市高三(上)10月段考数学试卷 试题及答案(理科)
2019-2020学年河南省平顶山市高三（上）10月段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|1}A x lnx =<，{|B y y ==，则(A B = )A ．(0,)eB ．(0,)+∞C ．[0，)+∞D ．(0,)[20e ，)+∞2．已知角α的终边经过点()(0)m m ≠，且2sin 5m α=，则cos α的值为( )A ．B ．C ．D ． 3．函数()4sin()13f x x ππ=++图象的一个对称中心为( )A ．1(6，0)B ．2(3，0)C ．2(3，1)D ．1(6，1)4．“33a b >”是“77log log a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积12=（弦⨯矢+矢2)．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为3π，弦长等于2米的弧田．按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积（单位，平方米）为( )A ．3πB ．3π-C ．92-D ．112- 6．若函数||1()()3x a f x -=满足(2)(2)f x x +=-，则()f x 的单调递增区间( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，1]C ．[1，)+∞D ．[2，)+∞7．已知sin()6x m π+=，则2cos(2)(3x π-= ) A ．212m -B ．221m -C ．mD ．21m -8．已知函数2()sin()2cos 1264f x x x πππ=+--，则()f x 在[0，2]上的最大值与最小值之和为( ) A ．72-B ．52-C ．0D ．129．若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为( )A ．(-∞，16]3B ．16(,)3-∞ C ．16(3，)+∞D ．16[3，)+∞10．对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数例如，[ 1.52]2-=-，[2.094]2=．记{}[]x x x =-，则222{log 3}{log 10}{log 15}(+-= )A ．6-B ．1-C ．1D ．011．若3tan tan 7απ=，则5sin()14cos()7παπα++等于( ) A ．2B ．12C ．12-D ．2-12．已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且()()10f x f x '++>，(0)2019f =，则不等式()2020x x e f x e +>（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )A ．(0．)+∞B ．(-∞，0)(0⋃，)+∞C ．(2019,)+∞D ．(-∞，0)(2019⋃，)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“若(0,)2x π∈，则sin x x >”的逆否命题是 ．14．函数()cos sin f x x x θ=+在(0,0)处的切线方程为 ．15．如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小海在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶20海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西45︒方向，则A 、B 两岛屿的距高为 海里．16．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0x ∈，1]时，()21x f x =-，则函数4()log (2)y f x x =-+的零点的个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．设命题p ：实数x 满足22320x mx m -+<，命题q ：实数x 满足2(2)1x +<． （Ⅰ）若2m =-，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若0m <，且p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos )sin c a B b A -=． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =b c +的最大值．19．函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ常数，0A >，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移(0)2t t π<<单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，若()g x 的图象述点(3π-，2)，求函数()g x 的单调递减区间．20．已知幂函数()m f x x =的图象过． （Ⅰ）求m 的值与函数()f x 的定义域； （Ⅱ）已知111()2121x xg x lg m x-=+++-+，求()()g m g m +-的值． 21．已知函数2()21f x ax x =-+．（Ⅰ）若()f x 的值域为[0，)+∞，求a 的值； （Ⅱ）已知12a …，是否存在这祥的实数a ，使函数2()log 4xy f x =-在区间[1，2]内有且只有一个零点．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．已知函数()2()f x x aln ax =++． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设0a >，[3t ∈，4]，若对任意1x ，2(0x ∈，1]，且12x x ≠，都有121211|()()|||f x f x t x x -<-，求实数a 的取值范围．2019-2020学年河南省平顶山市高三（上）10月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|1}A x lnx =<，{|B y y ==，则(A B = )A ．(0,)eB ．(0,)+∞C ．[0，)+∞D ．(0,)[20e ，)+∞【解答】解：集合{|1}{|0}(0,)A x lnx x x e e =<=<<=，{|{|0}[0B y y y y ====…，)+∞；则[0A B =，)+∞．故选：C ．2．已知角α的终边经过点()(0)m m ≠，且2sin 5m α=，则cos α的值为( ) A．B．C． D． 【解答】解：已知角终边上一点(P )(0)m m ≠，且2sin 5m α==， 254m ∴=，cos α∴==． 故选：C ．3．函数()4sin()13f x x ππ=++图象的一个对称中心为( )A ．1(6，0)B ．2(3，0)C ．2(3，1)D ．1(6，1)【解答】解：令3x k πππ+=，解得1()3x k k Z =-+∈，当1k =时，23x =，代入()f x 的()1f x =， 故对称中心为2(3，1)，故选：C ．4．“33a b >”是“77log log a b >”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若33a b >，则a b >，当0b a <…时，或0a b >…时，由“a b >”推不出“77log log a b >”；反之，若“77log log a b >”，则有“a b >”；所以，”33a b >”是” 77log log a b >”的必要不充分条件． 故选：B ．5．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧 田面积12=（弦⨯矢+矢2)．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为3π，弦长等于2米的弧田．按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积（单位，平方米）为( )A ．3πB ．3π-C ．92-D ．112- 【解答】解：如图，在圆心角AOB ∠为3π，弦长AB 等于2米的弧田中，可得半径为2，于是，矢2=，所以，弧田面积12=（弦⨯矢+矢22111)[2(2(2]22=⨯-+-=-． 故选：D ．6．若函数||1()()3x a f x -=满足(2)(2)f x x +=-，则()f x 的单调递增区间( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，1]C ．[1，)+∞D ．[2，)+∞【解答】解：根据题意，函数||1(),13()()13(),3x ax a a x x a f x x a ---⎧⎪⎪==⎨⎪<⎪⎩…，其图象关于直线x a =对称， 又由函数()f x 满足(2)(2)f x x +=-，其图象关于直线2x =对称， 故2a =， 则2|2|21(),213()()13(),23x x x x f x x ---⎧⎪⎪==⎨⎪<⎪⎩…，易得()f x 的递增区间为(-∞，2]； 故选：A ． 7．已知sin()6x m π+=，则2cos(2)(3x π-= ) A ．212m -B ．221m -C ．mD ．21m -【解答】解：已知sin()6x m π+=，所以cos()cos()263x x m πππ--=-=，则222cos(2)2cos ()12133x x m ππ-=--=-． 故选：B ．8．已知函数2()sin()2cos 1264f x x x πππ=+--，则()f x 在[0，2]上的最大值与最小值之和为( ) A ．72-B ．52-C ．0D ．12【解答】解：11()s i n c o s c o s s i n c o s 2s i n ()22222222226f x x x x x x x πππππππ=+----=--， 当[0x ∈，2]时，[266x πππ-∈-，5]6π，所以1sin()[262x ππ-∈-，1]，则5()[2f x ∈-，1]-，即()f x 在[0，2]上的最大值为1-，最小值为52-，则两者之和为72-，故选：A ．9．若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为()A ．(-∞，16]3B ．16(,)3-∞ C ．16(3，)+∞D ．16[3，)+∞【解答】解：2()24f x x ax '=-+，函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则()0f x '=有两个不同的根1x ，2x ；122x x a ∴+=，124x x =，且△2(2)160a =->，又0a >， 2a ∴>，32321211122211()()4433f x f x x ax x x ax x +=-++-+33221212121()()4()3x x a x x x x =+-+++ 221212*********()[()3][()2]4()3x x x x x x a x x x x x x =++--+-++ 2212(434)(48)423a a a a a =---+ 3483a a =-+，令g （a ）348(2)3a a a =-+>，则g '（a ）248a =-+，2a >时，g '（a ）0<， 所以(2,)a ∈+∞，g （a ）单减， 所以g （a ）g <（2）341628233=-+=， 12()()f x f x ∴+取值范围为16(,)3-∞． 故选：B ．10．对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数例如，[ 1.52]2-=-，[2.094]2=．记{}[]x x x =-，则222{log 3}{log 10}{log 15}(+-= )A ．6-B ．1-C ．1D ．0【解答】解：22{log 3}log 31=-，22{log 10}log 103=-，22{log 15}log 153=-，22222222310{log 3}{log 10}{log 15}log 31log 103(log 153)12111015log log ⨯∴+-=-+---=-=-=-=．故选：D ．11．若3tan tan 7απ=，则5sin()14cos()7παπα++等于( ) A ．2B ．12C ．12-D ．2-【解答】解：由3tan tan7απ=，得tan tan37πα=，∴55cos()sin()cos[()]714214cos()cos()cos()777ππππαααπππααα-+-+==+++ cos cos sin sin 1tan tan13777213cos cossin sin1tan tan777πππαααπππααα+++====----．故选：D ．12．已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且()()10f x f x '++>，(0)2019f =，则不等式()2020x x e f x e +>（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )A ．(0．)+∞B ．(-∞，0)(0⋃，)+∞C ．(2019,)+∞D ．(-∞，0)(2019⋃，)+∞【解答】解：令()()x x g x e f x e =+，则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'+=+'+，因为()()10f x f x '++>，所以()0g x '>，则()g x 在R 上单调递增， 又因为(0)2019f =，则00(0)(0)201912020g e f e =+=+=， 所以不等式()2020x x e f x e +>即()(0)g x g >，因为()g x 单调递增，所以0x >，即不等式的解集为(0,)+∞， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“若(0,)2x π∈，则sin x x >”的逆否命题是 若sin x x …，则(0,)2x π∉ ．【解答】解：命题“若p 则q ”的逆否命题是“若q ⌝则p ⌝”，所以命题“若(0,)2x π∈，则sin x x >”的逆否命题是：若sin x x …，则(0,)2x π∉；故答案为：若sin x x …，则(0,)2x π∉．14．函数()cos sin f x x x θ=+在(0,0)处的切线方程为 0x y -= ． 【解答】解：由()cos sin f x x x θ=+，得()cos sin f x x x x '=-， (0)1f ∴'=．又(0)sin 0f θ==，∴函数()cos sin f x x x θ=+在(0,0)处的切线方程为01(0)y x -=⨯-，即0x y -=． 故答案为：0x y -=．15．如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小海在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶20海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西45︒方向，则A 、B 两岛屿的距高为【解答】解：如图所示：连接AB ，由题意可知20CD =，105ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，45ACD ∠=︒， 30CAD ∠=︒，60ADB ∠=︒，在ACD ∆中，由正弦定理得，20sin 45sin 30AD =︒︒，解得AD =在Rt BCD ∆中，45BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，BD ∴=，20CD =．在ABD ∆中，60ADB ∠=︒，AD BD =，所以ABD ∆为等边三角形，所以，AB =故答案为：16．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0x ∈，1]时，()21x f x =-，则函数4()log (2)y f x x =-+的零点的个数为 3 ．【解答】解：因为(2)()f x f x +=， 所以()f x 是周期为2 的偶函数，再同一个坐标系中作出函数()y f x =与4log (2)y x =+的图象，观察图象知，它们有3个交点，即4()log (1)y f x x =-+得零点的个数为3．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．设命题p ：实数x 满足22320x mx m -+<，命题q ：实数x 满足2(2)1x +<． （Ⅰ）若2m =-，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若0m <，且p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当2m =-时，2:680p x x ++<，即42x -<<-， 由2(2)1x +<，得31x -<<-．若p q ∨为真，即p 真或q 真，{|42}{|31}{|41}x x x x x x -<<--<<-=-<<-． 所以实数x 的取值范围是(4,1)--； （2）若0m <，22:320p x mx m -+<，即2m x m <<，:31q x -<<-，:3q x ⌝-…或1x -…，且p 是q ⌝的充分不必要条件，则0,3,m m <⎧⎨-⎩…或0,21,m m <⎧⎨>-⎩即3m <-或102m -<<，故实数m 的取值范围为(-∞，13][2--，0)．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c cos )sin c a B b A -=． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =b c +的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）cos )sin c a B b A -=，∴由正弦定理可得sin cos )sin sin C A B B A -=，即)sin sin sin cos A B B A A B +=，∴sin sin sin A B B A =，sin 0B ≠，∴sin A A=，可得tan A =，(0,)A π∈， 3A π∴=．（Ⅱ）2a =，3A π=，∴由正弦定理可得sin sin sin sin b c b cB C B C+====+21sin )sin()]sin ))326b c B C B B B B B B ππ∴+=++-=+=+， 203B π<<，5666B πππ<+<， ∴1sin()126B π<+…，当且仅当sin()16B π+=，即3B π=时，b c+取得最大值 19．函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ常数，0A >，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移(0)2t t π<<单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，若()g x 的图象述点(3π-，2)，求函数()g x 的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）根据函数的图象，2A =， 由于741234T πππ=-=，解得T π=，故2ω=， 由于2()3k k Z πϕπ+=∈，解得23k πϕπ=-， 由于||2πϕ<，所以当1k =时，3πϕ=．所以()2sin(2)3f x x π=+．（Ⅱ）函数()f x 的图象向左平移(0)2t t π<<单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，若()2sin(22)23g x x t π=+++，由于函数的图象经过(,2)3π-，所以2sin(22)033t ππ-++=，整理得sin(2)03t π-=，所以2()3t k k Z ππ-=∈，由于02t π<<，所以6t π=．所以2()2sin(2)23g x x π=++， 令23222()232k x k k Z πππππ+++∈剟， 整理得5()1212k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以函数的单调递减区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈．20．已知幂函数()m f x x =的图象过．（Ⅰ）求m 的值与函数()f x 的定义域； （Ⅱ）已知111()2121x xg x lg m x-=+++-+，求()()g m g m +-的值．【解答】解：（Ⅰ）幂函数()m f x x =的图象过，即2m =，解得12m =；()f x ∴=[0，)+∞；（Ⅱ）设111()2121xxh x lgx-=++-+， 则()()g x h x m =+； 111111()()21212121x xx xh x h x lg lg x x--+∴+-=+++++-+-- 1111(1)()212111x x x xlg lg x x--+=++++--+- 12()12112x x x lg =++-- 0=；()h x ∴为奇函数，则()()0h m h m +-=，()()()()21g m g m h m m h m m m ∴+-=++-+==．21．已知函数2()21f x ax x =-+．（Ⅰ）若()f x 的值域为[0，)+∞，求a 的值； （Ⅱ）已知12a …，是否存在这祥的实数a ，使函数2()log 4xy f x =-在区间[1，2]内有且只有一个零点．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）函数()f x 的值域为[0，)+∞，则2(2)40a a >⎧⎨=--=⎩解得1a =．（Ⅱ）由222()log 23log 04xy f x ax x x =-=-+-=， 即2223log ax x x -+=令2()23g x ax x =-+，2()log h x x =，[1x ∈，2]，原命题等价于两个函数()g x 与()h x 的图象在[1，2]内有唯一交点．（1）当0a =时，()23g x x =-+在[1，2]上递减，2()log h x x =在[1，2]上递增， 而g （1）10h =>=（1），g （2）11h =-<=（2）， ∴函数()g x 与()h x 的图象在[1，2]内有唯一交点．（2）当0a <时，()g x 图象开口向下，对称轴为10x a=<，()g x 在[1，2]上递减，2()log h x x =在[1，2]上递增，()g x 与()h x 的图象在[1，2]内有唯一交点，当且仅当(1)(1)(2)(2)g h g h ⎧⎨⎩……，即10411a a +⎧⎨-⎩……，即112a-剟． 10a ∴-<…．（3）当102a <…时，()g x 图象开口向上，对称轴为12x a=…，()g x 在[1，2]上递减，2()log h x x =在[1，2]上递增，()g x 与()h x 的图象在[1，2]内有唯一交点，(1)(1)(2)(2)g h g h ⎧⎨⎩……，即10411a a +⎧⎨-⎩……即112a -剟， 102a ∴<…． 综上，存在实数[1a ∈-，1]2，使函数2()log 4xy f x =-于在区间[1，2]内有且只有一个点．22．已知函数()2()f x x aln ax =++． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设0a >，[3t ∈，4]，若对任意1x ，2(0x ∈，1]，且12x x ≠，都有121211|()()|||f x f x t x x -<-，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）已知函数()2()f x x aln ax =++．1()1f x x'=+， 当0a >时，函数定义域为(0,)+∞，()0f x '>恒成立，此时，函数在(0,)+∞单调递增； 当0a <时，函数定义域为(,0)-∞，()0f x '>恒成立，此时，函数在(,0)-∞单调递增． （Ⅱ）0a >时，函数定义域为(0,)+∞，()f x 在(0，1]上递增，而1y x=在(0，1]上递减， 不妨设1201x x <剟，则1221|()()|()()f x f x f x f x -=-，即12121111||x x x x -=-∴121211|()()|||f x f x t x x -<-，等价于211211()()()f x f x t x x -<- 即2121()()t tf x f x x x +<+ 令()()2()t tg x f x x aln ax x x =+=+++ 121211|()()|||f x f x t x x -<-等价于函数()g x 在(0，1]上是减函数，ta x x∴-…， 令2()x a tg x x x +'=-=即220x ax t x +-…， 即20x ax t +-…在(0，1]恒成立，分离参数， 得ta x x-…， 令()t h x x x =-，2()10th x x'=--<． ()th x x x∴=-在(0，1]递减，()h x h …（1）1t =-， 1a t ∴-…，又[3t ∈，4]，2a ∴…，又0a >，故实数a 的取值范围为(0，2]．。
河南省平顶山市2019_2020学年高一数学上学期第一次调研考试试题
河南省平顶山市2019-2020学年高一数学上学期第一次调研考试试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A. B. 0 C. 1 D. 22.若集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A. B. C. D. R3.已知集合A={a-2，2a2+5a，12}，-3∈A，则a的值为（）A. B. C. D.4.已知全集，则正确表示集合和集合关系的韦恩图是（）A. B. C. D.5.已知集合A={x|1≤x<5},B={x|-a<x≤a+3}.若B∩A=B,则a的取值范围为A. B. C. D.6.设全集为R,函数的定义域为M,则= ( )A. B. 且C. 或D. 或7.设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A. B.C. ,D.8.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y =2x 2+1，值域为{5，19}的“孪生函数”共有（ ） A. 4个B. 6个C. 8个D. 9个9.已知函数 ，则函数的图象是（ ）A. B. C. D.10.已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=020)(2x x x x xx f ，方程，，则方程的根的个数是A. 2B. 3C. 4D. 511.已知偶函数f （x ）满足：对任意的[)+∞∈,0,21x x ()21x x ≠,都有0)()(2121>--x x x f x f 成立，则满足f （2x -1）＜f （）的x 取值范围是（ ） A.B.C.D.12.若函数y =f (x )的图像关于点（1，-1）对称， 1)(-=x xx g ，若f (x )与g (x )图像的交点坐标分别是（x 1,y 1）,(x 2,y 2),(x 3,y 3)...(x m ,y m ),(*N m ∈),则(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+(x 3+y 3)+...+(x m +y m )=（ ）A. 0B. 2C. -2mD. 4m第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.写出函数的单调递增区间 ．14.已知函数f （x ）=ax 3+bx +1，若f （a ）=8，则f （-a ）= ______ ．15.已知 λ∈R ，函数 ⎩⎨⎧<+-≥-=λλx x x x x x f 344)(2，若f (x )的图像与轴恰好有2个交点，则λ的取值范围是_____________16.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f （x ），若函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式的解集为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.（10分）（1）计算：41-32-314-168181276421⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）化简：()0,04216132332>>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅b a b a b b a ab18.(12分)设全集U =R ，集合A ={x |1≤x ＜4}，B ={x |2a ≤x ＜3-a }． （1）若a = -2，求B ∩A ，B ∩∁U A ； （2）若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．19.(12分)已知函数f （x ）=2|x -1|-x +1．（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数f （x ）的图象； （2）根据函数f （x ）的图象回答下列问题： ①求函数f （x ）的单调区间； ②求函数f （x ）的值域；③求关于x 的方程f （x ）=2在区间[0，2]上解的个数． （回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）20(12分))已知一次函数f （x ）是增函数且满足f [ f (x )]=4x -3． （Ⅰ）求函数f （x ）的表达式；（Ⅱ）若不等式f （x ）＜m 对于一切x ∈[-2，2]恒成立，求实数m 的取值范围．21.(12分已知函数f (x )=-x 2+2ax +1-a ．若，求在区间上的最小值；若在区间上有最大值3，求实数a 的值．22.(12分)已知函数=x 2-4x +a +3 ,R a ∈若函数y =f (x )的图像与x 轴无交点，求a 的取值范围；若方程=0在区间[-1,1]上存在实根，求a 的取值范围；设函数g (x )=bx +5-2b ,R b ∈,当a =0时若对任意的[]4,11∈x ，总存在[]4,12∈x ，使得f (x 1)=g(x 2) ，求b 的取值范围．答案和解析13.和解：由题意，函数，作出函数的图象由图象知，函数的单调递增区间是和．14.【答案】-6 解：设g(x)=ax3+bx，则f(x)=g(x)+1 易知g(x)为奇函数，故g(-x)+g(x)=0.故f(-x)+f(x)=g(-x)+1+g(x)+1=2 故f(-a)=2-f(a)=-6.15.【答案】解：若f(x)的图像与轴恰好有2个交点，即函数f(x)恰有两个零点.∵当时，，此时，∴，即在上有两个零点；∵当时，，由在上只能有一个零点得.∴综上，的取值范围为.16.【答案】（-1，0）∪（0， 1）解：由题意得到f（x）与x异号，故不等式可转化为：或，根据题意可作函数图象，如右图所示：由图象可得：当f（x）＞0，x＜0时，-1＜x＜0；当f（x）＜0，x＞0时，0＜x＜1，则不等式的解集是（-1，0）∪（0，1）．17. 解：（1）原式=3243416+++=22 （2）原式=()b a b a b a b a b b a ab ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛373234354216131212331218. 解：（1）集合A ={x |1≤x ＜4}，∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4），B ∩∁U A ={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5};（2）若A ∪B =A 则B ⊆A ，分以下两种情形： ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1，②B ≠∅时，所以，解得，综合上述，所求a 的取值范围为.19.解：（1）根据函数f （x ）=2|x -1|-x +1=．可得函数的图象，如图所示：（2）结合函数的图象可得，①函数f （x ）的单调递增区间为[1，+∞）， 函数f （x ）的单调递减区间为（-∞，1）； ②函数f （x ）的值域为[0，+∞），③方程f （x ）=2在区间[0，2]上解的个数为1个．20. 解：（1）由题意可设f （x ）=ax +b （a ＞0）． 由f （f （x ））=4x -3，得：a （ax +b ）+b =4x -3， 即a 2x +ab +b =4x -3，所以，，解得：或，因为a ＞0，所以a =2，b =-1．所以f （x ）=2x -1；（2）由f （x ）＜m ，得m ＞2x -1．不等式f （x ）＜m 对于一切x ∈[-2，2]恒成立，即为m＞2x-1对于一切x∈[-2，2]恒成立，因为函数f（x）=2x-1在[-2，2]上为增函数，所以f max（x）=f（2）=3．所以m＞3．所以，不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立的实数m的取值范围（3，+∞）．21. 21解：（1）若a=2，则f（x）=-x2+4x-1= -（x-2）2+3，函数图象开口向下，对称轴为x=2，∴函数f（x）在区间[0，2]上是增函数，在区间[2，3]上是减函数，又f（0）=-1，f（3）=2，∴f（x）min=f（0）=-1.（2）f(x)对称轴为x=a，当a≤0时，函数在f（x）在区间[0，1]上是减函数，则f（x）max=f（0）=1-a=3，即a=-2；当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[0，a]上是增函数，在区间[a，1]上是减函数，则f（x）max=f（a）=a2-a+1=3，解得a=2或-1，不符合；当a≥1时，函数f（x）在区间[0，1]上是增函数，则f（x）max=f（1）=-1+2a+1-a=3，解得a=3；综上所述，a=-2或a=3．22.。
河南省六市2019届高三下学期第一次联考数学(理)试卷(附答案)
2019年河南省六市高三第一次联考试题数学(理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项:1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。
第I 卷(选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合 A = {032|2≤--x x x }，B = {)2ln(|x y x -=}，则=B A A.(l,3) B.(l,3] C.[-1,2) D.(-1,2)2.设复数i z +=1,则=+25z zA. 225i +-B. 225i-- C. 225i + D. 225i -3. 000040sin 200cos 50sin 70cos -的值为A. 23-B. 23C. 21-D. 214.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 ……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。
这10部专著中有1部产生于魏晋南北朝时期。
某中学拟从这10部专著中选择2部作为 “数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的 概率为 A.1514 B. 151 C. 92 D. 97 5.已知函数R x a x x x f x x ∈++++=-),77()1ln(3)(2，则“a =0”是“函数)(x f 为奇函数的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何 体的表面积为A. π264-B. π264+C. π280-D. π280+ 7.若x xe c b x a e x ln ln 1,)21(,ln ),1,(===∈-，则A. b >c >aB. c > b > aC. b > a > cD. a > b >c8.若将函数πϕϕϕ<<0)2cos(3)2sin()(+++=x x x f 的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点)0,2(π对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6,2[ππ-上的最小值是A. 21-B. 23-C. 21 D. 229.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的最大值是A. -6B. 23- C. -1 D.610. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4,cos cos 2==-b BCb c a ，则△ABC 的面积的最大值 A. 34 B. 32 C. 33 D. 311. 抛物线x y 82=的焦点为F ，设（11,y x )，B(22,y x )是抛物线上的两个动点，若||332421AB x x =++，则∠AFB 的最大值为 A.3πB. 43πC. 65πD.32π 12.函数)(x f 是定义在（1，+∞)上的可导函数，)('x f 为其导函数，若)2()(')1()(2-=-+x x x f x x f ,则不等式)(2e f <0的解集为A. (0,1)B. (0,2)C. (1,2)D. (2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。