山东省临沂市重点中学高二数学下学期期中试题 理

高中二年级期中质量调研考试试题 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. 注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡上；
2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.
4．在盒子中装有2个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，第三次恰好将白球取完的概率为
A ．31
B ．41
C ．51
D ．6
1
5．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)等于 A ．0.158 8
B ．0.158 7
C ．0.158 6
D ．0.158 5
6．下面给出了关于复数的三种类比推理：
①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；
②由向量a r 的性质2
2||a a =r r 可以类比复数的性质22
||Z Z =；
③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． 其中类比错误的是 A ．①③ B ．①② C ．② D ．③
7．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数)(')1(x f x y -=的图象如图所示，则函数
()f x 有下列结论中一定成立的是
A ．()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f
B ．()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f
C ．()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -
D ．()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f
8．在230123(1)n n
n x a a x a x a x a x -=+++++K 中，若2320n a a －＋＝，则自然数n 的
值是 A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
9.由直线x y e x y 2,,0===及曲线x
y 2
=
所围成的封闭的图形的面积为 A.2ln 23+ B.3 C.2
3e - D.e
10.设曲线()1x
y ax e =-⋅在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1x
y x e
-=-⋅在点
()02,A x y 处的切线为2l ，若存在030,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是
A.(],1-∞
B. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
数学（理科 ） 2014.04
第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上
11. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()2
=32ln f x x xf x '++，则
()2f '的值等于 ．
12. 对任意实数x ，有4234
01234(1)(3)(3)(3)(3)x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-，
则1234a a a a +++的值为 ．
13.设函数()22f x x =+，观察：1()22f x x =+，21()(())46f x f f x x ==+，
32()(())814f x f f x x ==+，43()(())1630f x f f x x ==+，…，根据以上事实，由归
纳推理可得：当*
N n ∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== ．
14．有6个座位连成一排，3人就坐，要求恰有两个空位相邻，则不同的坐法有 种（用数字作答）．
15.记定义在R 上的函数)(x f y =的导函数为'()f x ．如果存在],[0b a x ∈，使得))((')()(0a b x f a f b f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 在区间],[b a 上的“中值点”．那么函数x x x f 3)(3-=在区间[22]－，上的“中值点”为____ ．
三、解答题：本大题共6个小题.满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 16. （本小题满分12分）
已知复数1Z 满足1(2)(1)1Z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2Z 的虚部为2，12Z Z ⋅
是实数，求2Z .
17.（本小题满分12分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
罗庄区2014年3月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（Ⅱ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望． 18．（本小题满分12分）
数列{}n a 满足2n n S n a =-(N*)n ∈．
（Ⅰ）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想． 19．（本小题满分12分）
为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有4名武警战士（分别记为A 、B 、C 、D ）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为
221
,,332
.这三项测试能否通过相互之间没有影响． （Ⅰ）求A 能够入选的概率；
（II ）规定：按入选人数得训练经费（每入选1人，则相应的训练基地得到3000元
的训练经费），求该基地得到训练经费的分布列与数学期望． 20.（本小题满分13分）
工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x （万件）间的关系()()1
0623
x c x
p x c ⎧<≤⎪⎪-=⎨
⎪>⎪⎩（c 为常数，且06c <<），已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5
元.
（Ⅰ）将日盈利额y （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （Ⅱ）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： 100%⨯次品数
次品率=产品总数
）
21.（本小题满分14分）
已知函数2
()()e x
f x x ax a -=++，（a 为常数，e 为自然对数的底）．
（Ⅰ）当0a =时，求(2)f '；
（Ⅱ）若()f x 在0x =时取得极小值，试确定a 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由()f x 的极大值构成的函数为()g a ，将a 换元为x ，试判断曲线()y g x =是否能与直线320x y m -+=（ m 为确定的常数）相切，并说明理由．
17.解：（Ⅰ）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为
事件A , 11
242
68
()15
C C P A C ⋅==.…………………………………………………4分 （Ⅱ）ξ的可能值为0,1,2,3，…………………………………………………5分
363101(0),6C P C ξ=== 21643
101
(1),2
C C P C ξ⋅=== 12643103(2),10C C P C ξ⋅=== 343
101
(3).30
C P C ξ===………………………9分 其分布列为：
ξ
1 2 3
P
16
12
310
130
11316
01+2+3=.6210305
E ξ=⨯+⨯⨯⨯ ………………………………………12分
18.解：(1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝15
8
，………………………………2 分
由此猜想1212
n n n a --=(n ∈N *
)．……………………………………………4 分
(2)证明：当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．
假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *
)时，结论成立，…………………………………6 分 即a k ＝2k
－12
k －1，那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N *
)时，
a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1.
∴122k k a a +=+，…………………………………………………………9 分 ∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k
－12k －12＝2k ＋1
－1
2k
，………………………………………11 分 这表明n ＝k ＋1时，结论成立．
∴a n ＝2n
－12n －1(n ∈N *
)．………………………………………………………12 分
19．解：（I ）设A 通过体能、射击、反应分别记为事件M ，N ，P 则A 能够入选包含以下几个互斥事件：,,,.MNP MNP MNP MNP
()()()()()P A P MNP P MNP P MNP P MNP ∴=+++
221211*********
332332332332183
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==.………4分 （Ⅱ）记ξ表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为3000ηξ=，又ξ可能的取
值为0，1，2，3，4.
∴8113132)0(40
04=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛==C P ξ， 81
83132)1(3
1
14=⎪⎭⎫
⎝⎛⎪
⎭
⎫
⎝⎛==C P ξ， 81243132)2(2
2
24=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭
⎫
⎝⎛==C P ξ， 81
32
3132)3(1
3
34=
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛==C P ξ， 8116
3132)4(0
4
44
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ.………………………………………………9分
∴训练经费3000ηξ=的分布列为：
8243216
300060009000120008000().81818181E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=元………12分
20.解：（Ⅰ）当c x >时，23p =，日盈利223
(1)30332
y x x =-⋅⋅-⋅⋅=.……2分
当0x c <≤时，1
6p x =-，
日盈利2
113392(1)366226x x y x x x x x
-=-⋅⋅-⋅⋅=⋅
---.………………………5分
∴日盈利额y （万元）与日产量x （万件）的函数关系为
23(92)
,02(6)0x x y x c x ⎧-⎪
=<≤-⎨⎪⎩
.……………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当c x >时，日盈利额为0. 当c x ≤<0时，
()
()x x x y --=622932
Θ，()()()()()()()
2
22693362964923x x x x x x x x y ---=--+--⋅='∴，…8分 令0='y 得3=x 或9=x （舍去）
∴①当30<<c 时，Θ0>'y ，y ∴在区间(]c ,0上单调递增， ∴()()
()
c c c c f y --==622932
最大值
，此时c x =；………………………………………10分
②当36c ≤<时，在（0，3）上，0y '>，在（3，4.5）上0y '<， ∴9
=(3)2
y f =
最大值.……………………………………………………………………12分 综上：当03c <<时，日产量为c 万件y 日盈利额最大，
当36c ≤<时，日产量为3万件时日盈利额最大 .………………………13分 21.解：（Ⅰ）当0a =时，2()x
f x x e -=．2()2(2)x
x x f x xe
x e xe x ---'=-=-．
所以(2)0f '=．……………………………………………………………………3分
（Ⅱ）22()(2)e
e ()e [(2)]x
x x f x x a x ax a x a x ---'=+-++=-+-
e [(2)]x x x a -=-⋅--．……………………………………………………………4分
令()0f x '=，得0x =或2x a =-．
当20a -=，即2a =时，
2()e 0x f x x -'=-≤恒成立，
此时()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减，没有极小值；……………………6分 当20a ->，即2a <时，
若0x <，则()0f x '<．若02x a <<-，则()0f x '>．
所以0x =是函数()f x 的极小值点．…………………………………………7分 当20a -<，即2a >时，
若0x >，则()0f x '<．若20a x -<<，则()0f x '>．
此时0x =是函数()f x 的极大值点．…………………………………………8分 综上所述，使函数()f x 在0x =时取得极小值的a 的取值范围是2a <． （Ⅲ）由（Ⅱ）知当2a <，且2x a >-时，()0f x '<， 因此2x a =-是()f x 的极大值点，极大值为2
(2)(4)e a f a a --=-．………9分
所以2
()(4)e (2)x g x x x -=-<． 222()e e (4)(3)e x x x g x x x ---'=-+-=-．
令2()(3)e
(2)x h x x x -=-<．…………………………………………………10分 则2()(2)e
0x h x x -'=->恒成立，即()h x 在区间(,2)-∞上是增函数．
所以当2x <时，22
()(2)(32)e 1h x h -<=-=，即恒有()1g x '<．………12分
又直线320x y m -+=的斜率为
32
， 所以曲线()y g x =不能与直线320x y m -+=相切．……………………14分。