江门市普通高中高三调研测试文科数学试题

1 / 9
江门市普通高中高三调研测试
数 学（文科）试 题
本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 3
1
=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
⒈已知全集{}4 3, , 2 , 1 , 0=U ，集合{
}3 , 2 , 1=A ，{}4 , 2=B ，则=B A C U )( A ．{} 2 B ．{} 4 C ．{
}4 3, , 2 , 1 D ．{}3 , 1 ⒉若) )( 2(i b i ++是实数（i 是虚数单位，b 是实数），则=b A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-
⒊已知双曲线122
22=-b
y a x 的两个焦点分别为1F 、2F ，双曲线与坐标轴的两个交点分别
为A 、B ，若||3
5
||21AB F F =，则双曲线的离心率=e
A ．35
B ．45
C ．34
D ．3
8
⒋如图1，将一个正三棱柱截去一个三棱锥，得到几何体
DEF BC -，则该几何体的正视图（或称主视图）是
A ．
B ．
C ．
D ．
⒌设命题p ：函数x y 2sin =的最小正周期为
2
π
； 命题q ：函数x
x
y 21
2+
=是偶函数．则下列判断正确的是 A ．p 为真 B ．q ⌝为真 C ．q p ∧为真 D ．q p ∨为真
⒍从等腰直角ABC ∆的斜边AB 上任取一点P ，则APC ∆为锐角三角形的概率是
★启用前 试卷类型：A
2 / 9
否 是
1 , 0==i s
1+=i i
开始
输入821 , , , A A A
结束 ?6≤i
输出s
图4
i A s s +=
图3
A ．1
B ．21
C ．3
1 D ．61
⒎经过圆022
2
=+-y x x 的圆心且与直线02=+y x 平行的直线方程是
A ．012=-+y x
B ．022=-+y x
C ．012=++y x
D ．022=++y x ⒏在一组样本数据) , (11y x ，) , (22y x ，…，) , (n n y x （2≥n ，1x ，2x ，…，n x 互不相等）的散点图中，若所有样本点) , (i i y x （1=i ，2，…，n ）都在直线
12
1
-=
x y 上，则这组样本数据的样本相关系数为 A ．1- B ．0 C ．2
1
D ．1
⒐如图2，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是 AE 的中点，若 a AB =， b AD =，则= AF A ．
41 21b a +
B ． 21 41b a +
C ． 41
21b a - D ．
2
1 41b a - ⒑若直线ax y =与曲线x y ln =相切，则常数=a
A ．e
B ．1
C ．1
-e D ．e
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
(一)必做题（11～13题）
⒒设)(n f 是定义在数集+N 上的函数，若对1n ∀，+∈N n 2，
)()()(2121n f n f n n f =+，则n a n f =)(，a 为常数。

类似地，若对1n ∀，+∈N n 2，)()()(2121n f n f n n f +=+，则有 ．
⒓据《法制晚报》报道，8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，图3是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，从左到右各直方块表示的人数依次记为1A 、2A 、……、8A （例如2A 表示血液酒精浓度在30～40 mg/100 ml 的人数），图4是对图3中血 液酒精浓度在某一范围内的人数进行统计的程序框图。

这个程序框图输出的=s ________．
3 / 9
A B C
D
E F
图5
P
D C
B
A
N
图6
⒔已知)0 , 0(O 、)4 , 3(A 、)5 , 2(B ，) , (y x M 为OAB ∆内（含三角形的三边与顶点）的动点，则y x z 23-=的最大值是 ．
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
⒕（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系Oxy 的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系) , (θρ（πθ20<≤），曲线C 的极坐标方程是2=ρ，正六边形ABCDEF 的顶点都在C 上，且A 、B 、C 、D 、E 、F 依逆时针次序排列。

若点A 的极坐标为)3 , 2(π
，则点B 的直角坐标为 ．
⒖（几何证明选讲选做题）如图5，EF 是梯形ABCD 的中位线， 记梯形ABFE 的面积为1S ，梯形CDEF 的面积为2S ，若
21=CD AB ，则=EF
AB
，=21S S ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
⒗（本小题满分12分）
已知向量)sin , 1(x m -=，)cos , 2( x n -=，函数 2)(n m x f ⋅=． ⑴求函数)(x f 在区间2
, 0 [π
上的最大值；
⑵若ABC ∆的角A 、B 所对的边分别为a 、b ，524)2(=
A f ，13
64)42(=+πB f ，11=+b a ，求a 的值．
⒘（本小题满分14分）
侧棱PD ⊥平面
如图6，四棱锥ABCD P -的底面是边长是1的正方形，
ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．
⑴求证：//MN 平面PAD ；
4 / 9
⑵记x MN =，)(x V 表示四棱锥ABCD P -的体积， 求)(x V 的表达式（不必讨论x 的取值范围）．
⒙（本小题满分14分）
某班几位同学组成研究性学习小组，从[25，55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次日常生活中是否具有环保意识的调查．若生活习惯具有较强环保意识的称为“环保族”，否则称为“非环保族”。

得到如下统计表：
组数
分组
环保族人数 占本组的频率 本组占样本的频率
第一组 [25，30) 120 0.6
0.2
第二组 [30，35) 195 p
q
第三组 [35，40) 100
0.5 0.2 第四组 [40，45) a
0.4 0.15 第五组 [45，50) 30 0.3 0.1 第六组 [50，55) 15
0.3
0.05
⑴求q 、n 、p 、a 的值；
⑵从年龄段在[40，50)的“环保族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外环保活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在 [40，45)的概率．
⒚（本小题满分12分）
已知椭圆C 的焦点为)0 , 1(1-F 、)0 , 1(2F ，点)2
2
, 1(-P 在椭圆上． ⑴求椭圆C 的方程；
⑵若抛物线px y 22
=（0>p ）与椭圆C 相交于点M 、N ，当OMN ∆（O 是坐标原点）的面积取得最大值时，求p 的值．
⒛（本小题满分14分）
5 / 9
已知数列{}n a 中11=a ，1
21+=+n n n a a a （+
∈N n ）．
⑴求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a 1为等差数列； ⑵设1+⋅=n n n a a b （+
∈N n ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足2012
1005
>
n S 的最小正整数n ．
21（本小题满分14分）
已知函数x x a x x f ln )1( 2
1
)(2---=，其中R a ∈． ⑴若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值；
⑵若0>∀x ，1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围．
文科数学评分参考
一、选择题： BDACD BADAC
二、填空题：
⒒an n f =)(，a 为常数（说明：“an n f =)(”4分，“a 为常数”1分）； ⒓24480； ⒔1； ⒕)3 , 1(-（说明：对1个坐标给3分）； ⒖32（2分），7
5（3分）．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步
骤．
⒗解：⑴依题意，)cos sin 2(2)(x x x f +=……2分，x 2sin 4+=……3分，
]2
, 0 [π
∈x ，则] , 0 [2π∈x ，]1 , 0 [2sin ∈x ……4分，
所以，函数)(x f 在区间]2
, 0 [π
上的最大值为5……5分
6 / 9
⑵由524)2
(=A f 得5
4
sin =A ……6分， 由1364)42(=+πB f 得1312)2sin(=+πB ……7分，从而13
12cos =B ……8分，
因为π<<B 0，所以13
5
sin =B ……9分，
由正弦定理得2552sin sin ==B A b a ……11分，所以7752=
+b a a ，7
52
=a ……12分．
⒘证明与求解：⑴取CD 的中点E ，连接ME 、NE ，则AD ME //，PD NE //……2分，
因为E NE ME = ，所以平面//MNE 平面PAD ……4分，
⊂MN 平面MNE ，所以//MN 平面PAD ……6分．
⑵PD NE //，PD ⊥平面ABCD ，所以NE ⊥平面ABCD ……8分， ⊂ME 平面ABCD ，ME NE ⊥……9分，
222NE ME MN +=，所以1222-=-=x ME MN NE ……10分，
由⑴知1222-==x NE PD ……11分，
所以PD S Sh x V ABCD ⨯⨯==
3131)(……13分，13
22-=x ……14分． ⒙解：⑴第二组的频率为：3.0)05.01.015.02.02.0(1=++++-=q ……2分，
第一组的人数为
2006.0120=，第一组的频率为0.2，所以10002
.0200
==n ……4分， 第二组人数为3001000=⨯q ，所以65.0300
195
==p ……6分，
第四组人数15015.01000=⨯，所以604.0150=⨯=a ……8分，
⑵[40，45)年龄段“环保族”与[45，50)年龄段“环保族”人数比值为60︰30=2︰1，采用分层抽样法从中抽取6人，[40，45)年龄段有4人，[45，50)年龄段有2人……9分；
设[40，45)年龄段的4人为a 、b 、c 、d ，[45，50)年龄段的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有（a,b ）、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m) 、(b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)、(m,n)，共15种……11分；其中恰有1人年龄在[45，50)的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)，共8种……13分；
7 / 9
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)的概率为15
8
……14分．
⒚解：⑴依题意，设椭圆C 的方程为122
22=+b
y a x ……1分，
||||221PF PF a +=……2分，22=，所以2=a ……3分，
1=c ，所以12
2
=-=c a b ……4分，椭圆C 的方程为12
22
=+y x ……5分 ⑵根据椭圆和抛物线的对称性，设) , (00y x M 、) , (00y x N -（0 , 00>y x ）……
6分，OMN ∆的面积0000)2(2
1
y x y x S =⨯=……7分，
) , (00y x M 在椭圆上，12
2
020=+y x ，所以002
02
020*******y x y x y x =⋅≥+=，等号当且仅当002y x =时成立……9分，
解⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧==+002
0202
12
y
x y x （0 , 00>y x ）得⎪⎩⎪⎨⎧==22
100y x ……10分， ) , (00y x M 即)22
, 1(M 在抛物线px y 22=上，所以12)2
2
(2⨯=p ……11分，
解得4
1
=p ……12分．
⒛证明与求解：⑴由11=a 与1
21+=
+n n
n a a a 得0≠n a ……1分，
n
n n n a a a a 1
21211
+=+=
+……3分， 所以+
∈∀N n ，21
11
=-+n
n a a 为常数，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列……5分 ⑵由⑴得
12)1(2111
-=-+=n n a a n ……7分
8 / 9
)1
21
121(21)12)(12(11+--=+-=
⋅=+n n n n a a b n n n ……8分
所以)1
21
121(21)5131(21)311(2121+--++-+-=+++=n n b b b S n n (9)
分，)1211(21+-=n ……10分，1
2+=
n n ……11分， 由20121005>n S 即2012100512>+n n 得2
1
50221005=>n ……13分，
所以满足2012
1005
>n S 的最小正整数503=n ……14分．
21解：⑴x
x a x f 1
)1( 1)(/
-
--=……2分， 因为2=x 是)(x f 的极值点，所以0)2(/
=f ……3分，
解021)12( 1=---a 得2
1
=a ……4分，
⑵（方法一）依题意1ln )1( 2
12
≥---x x a x ，)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-，
0>x
……5分。

1=x 时，)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-恒成立……6分 0>x 且1≠x 时，由)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-得)ln 1()
1(2
2
x x x a ---≤
…8分 设x x x g ln 1)(--=，0>x ，x
x g 1
1)(/
-
=……9分，当10<<x 时0)(/<x g ，当1>x 时0)(/>x g ……10分，所以0>∀x ，0)1()(=≥g x g ……12分
所以，当0>x 且1≠x 时，0)ln 1()
1(2
2
>---x x x ，从而0≤a ……13分， 综上所述，a 的取值范围为]0 , (-∞……14分．
（方法二）由⑴)1(11)1( 1)(/
ax x x x x a x f --=
---=……5分， 若0≤a ，则01>-ax ，由0)(/
=x f 得1=x ……7分，且当10<<x 时0)(/<x f ，当1>x 时0)(/>x f ……8分，所以0>∀x ，1)1()(=≥f x f ……10分
若0>a ，由0)(/
=x f 得1=x 或a x 1=……11分，取⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=a m 1 , 1max 为1与a 1两
数的较大者，则当m x >时0)(/
<x f ……12分，从而)(x f 在) , (∞+m 单调减少，
9 / 9
x x a x x f ln )1( 2
1
)(2---=无最小值，1)(≥x f 不恒成立……13分。

（说明一：本段解答如举反例亦可，评分如下：若0>a ，取)3(2
30>+
=a
x ……11分，)23ln()123(2123)(2
0a a a a x f +--+-+=10)23ln(21<<+---=a
a ，
1)(≥x f 不恒成立……13分。

说明二：若只讨论一个特例，例如1=a ，给1分）
综上所述，a 的取值范围为]0 , (-∞……14分．。