三角函数复习讲义(含答案)

一.任意角、弧度制
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
1.任意角的概念负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
2.象限角：角的顶点于原点，始边重合于X轴的正半轴，终边落在第几象限就是第几象限。

如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.
终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同
3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}
例题：
1.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤α＜720°的元素
写出来.
解析：S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.
2.把下列各角化成弧度,并且判断角在哪个象限。

(1) 120 °(2) 75 °(3) 135 °(4) 300 °(5) - 210°
二.任意角的三角函数
常见角的三角函数：
角α30º45º60°120°135°150°角α的弧度数
sinα
cosα
tanα
三角函数的诱导公式
sin（2kπ+α）=sinα k∈z sin（π+α）=－sinα k∈z sin（－α）=－sinα
cos（2kπ+α）=cosα k∈z cos（π+α）=－c osα k∈z cos（－α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα k∈z tan（π+α）=tanα k∈z tan（－α）=－tanα
cot（2kπ+α）=cotα k∈z cot（π+α）=cotα k∈z cot（－α）=－cotα
sin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosα cos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinα tan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotα cot （π－α）=－cotα cot （π/2+α）=－tanα cot （π/2－α）=tanα tanα ·cotα=1 sin 2(α)+cos 2(α)=1 三.三角函数的图像和性质
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
1-1y=sinx
-3π2
-5π2
-7π2
7π2
5π
2
3π2
π2
-π2
-4π-3π
-2π4π
3π
2ππ
-π
o
y x
1-1y=cosx
-3π
2
-5π2
-7π
2
7π2
5π2
3π2
π2
-π2
-4π-3π-2π4π
3π
2π
π
-π
o
y
x
y=tanx
3π2
π
π2
-
3π2
-π
-
π2
o
y
x
y=cotx
3π2
π
π2
2π
-π
-
π2
o
y
x
练习
1..求三角函数值
（1）sin30o
sin120o sin780o cos60o cos225o
2. 已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．
是 ( )
解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T a
π
π=>∴< ，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 答案：D
2．三角函数的单调区间：
x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，
递减区间是⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
+
2322
2πππ
πk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，
递减区间是[]πππ+k k 22，
)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-22ππππk k ，)(Z k ∈，
3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA
最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω
π
2=
T
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种
变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的
ω
1
倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω
1
倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或
向右(ϕ＜0＝平移
ω
ϕ|
|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

练习1 试述如何由y =31sin （2x +3
π
）的图象得到y =sin x 的图象
解析：y =31sin （2x +3
π
）
）
（纵坐标不变倍
横坐标扩大为原来的3
πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 3
13π
=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移
x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变
倍
纵坐标扩大到原来的
另法答案：
（1）先将y =31sin （2x +3π）的图象向右平移6π个单位，得y =31
sin2x 的图象；
（2）再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =3
1
sin x 的
图象；
（3）再将y=31
sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx 的图象。

练习2.将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
5.对称轴与对称中心：
sin y x =的对称轴为2
x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)
k ππ+； 6．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
7．求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法
练习
1、下列各式不正确的是 （ B ）
A ． sin （α＋180°）=－sin α
B ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）
C ． sin （－α－360°）=－sin α
D ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 2、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于（ ） A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．3
2
m
3、⎪
⎭⎫ ⎝⎛-π619sin 的值等于（ ）
A ． 21
B ．
21-
C ． 23
D ． 23-
4、若sin （125°－α）=
12
13
,则sin （α＋55°）=
．
5、求下列函数的单调区间：
（1）y =
21sin （4π－3
2x ）； 分析：要将原函数化为y =－21sin （32x －4
π
）再求之。

解：y =
21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4
π
）。

故由2k π－
2π≤32x －4π≤2k π+2
π。

⇒3k π－
8π3≤x ≤3k π+8
π9（k ∈Z ），为单调减区间； 由2k π+
2π≤32x －4π≤2k π+2
π3。

⇒3k π+
8π9≤x ≤3k π+8
π21（k ∈Z ），为单调增区间。

∴递减区间为［3k π－8π3，3k π+8
π
9］， 递增区间为［3k π+
8π9，3k π+8
π21］（k ∈Z ）。

有关三角函数的课后作业
1．已知角α的终边落在直线y ＝3x 上，则sin α＝________．
2．已知P (-3，y )为角α的终边上一点，且sin α＝13
13
，那么y 的值等于________．
3．已知锐角α终边上一点P (1，3)，则α的弧度数为________．
4．（1）sin
49πtan 3
7π_________
5．已知角α的终边过P (-3 ，4)，求α的六种三角函数值 1.10103±
2.21
3.3π
4.2
6
=
a sin 54 53cos -=a ，34tan -=a ， 43cot -=a ， 35sec -=a ，4
5csc =a。