黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(3)含解析

黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】
由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2
3
2
3111P X p p p p ==-+-=-，则
()()()()()()2
1232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3
解得5122p p >
<或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭
， 答案选A 【点睛】
本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 2．函数52sin ()([,0)(0,])33
x x
x x
f x x -+=
∈-ππ-U 的大致图象为 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
【分析】 【详解】 因为5()2sin()52sin ()()3333
x x x x
x x x x
f x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ， 又5()033
f π-π
π
π=
>-，排除C ，故选A ． 3．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41
m n
+的最小值为（ ）. A ．
92
B ．9
C ．5
D ．
52
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41
m n
+的最小值. 【详解】
Q 定点为(1,2),
1,2k b ∴==，
2m n ∴+=
41141()()2m n m n m n +=++∴
149(5+)22
m n n m =+… 当且仅当4m n
n m =时等号成立，
即42
,33m n =
=时取得最小值92
. 故选：A 【点睛】
本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.
4．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()2
1f x x =-+，求()2020f =（ ）
A ．2
B ．0
C ．1-
D ．1
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可. 【详解】
由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=，
()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，
所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，
由于当10x -≤≤时，()2
1f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
5．已知函数()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，则“()f x 在(3,)+∞上是单调函数”是“01a <<”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出复合函数()f x 在(3,)+∞上是单调函数的充要条件，再看其和01a <<的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案. 【详解】
()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，
由20x a -->得2x a <-或2x a >+，
即()f x 的定义域为{2x x a <-或2}x a >+，（0,a >且1a ≠） 令2t x a =--，其在(,2)a -∞-单调递减，(2,)a ++∞单调递增，
()f x 在(3,)+∞上是单调函数，其充要条件为23
01a a a +≤⎧⎪
>⎨⎪≠⎩
即01a <<. 故选：C. 【点睛】
本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.
6．在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=u u u r u u u r
（ ）． A ．3- B ．6-
C ．4
D ．9
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由
()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
可得结果.
【详解】
根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC V 中，又2AC =,60BAC ∠=︒
则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-
则DC =则CD AB ⊥
则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：B 【点睛】
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.
7．双曲线2
2
12
y x -=的渐近线方程为（ ）
A ．y x =±
B ．y x =±
C ．y =
D ．y =
【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程. 【详解】
Q 双曲线22
12
y x -=,
∴双曲线的渐近线方程为y =，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.
8．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2lg e
D ．2lg10
【答案】A 【解析】 【分析】
根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解. 【详解】
输入ln10a =，lg b e =，
因为ln101lg e >>，所以由程序框图知， 输出的值为11ln10ln10ln100lg a b e
-=-=-=. 故选：A 【点睛】
本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.
9．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．21,06e ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．1,06e ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．10,
6e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．2
10,
6e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
令2
()()30F x f x kx =-=，可得2ln 3x k x =
，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2
ln ()3x
g x x
=有两个交点，结合已知，即可求得答案. 【详解】
令2
()()30F x f x kx =-=， 可得2ln 3x
k x
=
， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2
ln ()3x
g x x =
有两个交点， Q 3
12ln ()3x
g x x -'=
， 令12ln 0x -=，
可得x =
∴当x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在上单调递增；
当)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减.
∴当x =max 1()6e
g x =， ∴若直线y k =和2
ln ()3x g x x =
有两个交点，则10,6e k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
. ∴实数k 的取值范围是10,6e ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
10．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2
()(2)3-∞+∞，，
U B ．2
(2)3
， C ．22()33
-，
D ．22()()33
-∞-+∞，，U 【答案】D
【解析】 【分析】
先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果.
【详解】
因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；
又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；
所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23
x <-
； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23
x >
； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33
-∞-+∞，，U . 【点睛】
本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.
11．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A ．28π
B ．7π
C ．14π
D ．21π
【答案】A 【解析】 【分析】
画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据13OO =即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC
和sin AEC ∠，即可求半径从而求外接球表面积； 【详解】
如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==
.
法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =，
28S π=；
法二：13OO =，7R =
，28S π=；
法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，
7AE =，AC 3
3=，cos 27427
AEC ∠=
=-⋅⋅， 33
sin 27
AEC ∠=
，33227
sin 33
27
AC R AEC =
==∠，7R =，28S π=. 故选：A 【点睛】
此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.
12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A ．
23
B ．
43
C ．2
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积． 【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：
则该四棱锥的体积为211421333
ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=正方形. 故选：B. 【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12
n
n S a =-，则7=S __________. 【答案】-254 【解析】 【分析】
利用1(2)n n n a S S n -=-≥代入即可得到122(2)(2)n n S S n --=-≥，即{2}n S -是等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可. 【详解】 由已知12n n S a =
-，得12n n S a =-，即112
n n n S
S S --=-，所以122(2)(2)n n S S n --=-≥ 又1
112
S a =
-，即12S =-，124S -=-，所以{2}n S -是以-4为首项，2为公比的等比数 列，所以1
242n n S --=-⨯，即1
22n n S +=-，所以8
722254S =-=-。

故答案为：254-
【点睛】
本题考查已知n S 与n a 的关系求n S ，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
14．设集合{}1 A a =-，，e e 2a B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，（其中e 是自然对数的底数）
，且A B ⋂≠∅，则满足条件的实数a 的个数为______． 【答案】1 【解析】 【分析】
可看出2a
a e ≠，这样根据A B ≠∅I
即可得出2a =，从而得出满足条件的实数a 的个数为1．
【详解】
解：A B ≠∅Q I ， 2a ∴=或2a a e =，
在同一平面直角坐标系中画出函数y x =与2x
y e =的图象，
由图可知y x =与2x
y e =无交点， 2a
a e ∴=无解，则满足条件的实数a 的个数为1． 故答案为：1． 【点睛】
考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程2x
x e =无解，属于基础题． 15．()()6
12x x +-展开式中2x 的系数为_________. 【答案】48 【解析】 【分析】
变换()()()()6
6
6
1222x x x x x +-=-+-，根据二项式定理计算得到答案. 【详解】
()
6
2x -的展开式的通项为：()6162r r r
r T C x -+=⋅-，()()()()666
1222x x x x x +-=-+-，
取=5r 和4r =，计算得到系数为：()()5
4
54
662248C C ⋅-+⋅-=.
故答案为：48. 【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 16．在四面体ABCD 中， 41,34,5,
,AB CD AC BD AD BC E F ======分别是,AD BC 的中
点．则下述结论：
①四面体ABCD 的体积为20； ②异面直线,AC BD 所成角的正弦值为
24
25
； ③四面体ABCD 外接球的表面积为50π；
④若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为6．
其中正确的有_____．（填写所有正确结论的编号） 【答案】①③④． 【解析】 【分析】
补图成长方体，在长方体中利用割补法求四面体的体积，和外接球的表面积，以及异面直线的夹角，作出截面即可计算截面面积的最值. 【详解】
根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为,,a b c ，
2222
22413425c b c a b a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
，解得3,4,5a b c === 补成长，宽，高分别为3,4,5的长方体，在长方体中：
①四面体ABCD 的体积为134********
V ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=＝，故正确
②异面直线,AC BD 所成角的正弦值等价于边长为5,3的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值为1517
，故错；
③四面体ABCD 外接球就是长方体的外接球，半径R ==
，其表面积为50π，故正确；
④由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，可得5KL KN +＝，
设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则sin sin HFB sin LKN θ∠∠＝＝，算得24
25
sin θ＝
， 2
24
••6225
MNKL KL KN S NK KL sin NKL +⎛⎫∴∠≤⨯
= ⎪⎝⎭＝．故正确． 故答案为：①③④． 【点睛】
此题考查根据几何体求体积，外接球的表面积，异面直线夹角和截面面积最值，关键在于熟练掌握点线面位置关系的处理方法，补图法作为解决体积和外接球问题的常用方法，平常需要积累常见几何体的补图方法.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知圆O 经过椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点以及两个顶点，且点1,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．
()1求椭圆C 的方程；
()2若直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于M 、N 两点，且4
3
MN
=
，求直线l 的倾斜角． 【答案】（1）2
212x y +=；（2）4π或
34
π 【解析】 【分析】
(1)先由题意得出b c = ,可得出b 与a 的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆C 的方程，可求出a 与b 的值，从而得出椭圆C 的方程；(2)对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当直线l 的斜率不存在时，可求出MN ，然后进行检验；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+,设点
()()1122,,,M x y N x y ，先由直线l 与圆O 相切得出m 与k 之间的关系，再将直线l 的方程与椭圆C 的方
程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件4
3
MN =得出k 的值，从而求出直线l 的倾斜角. 【详解】
（1）由题可知圆O 只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得222a b =，
又点1,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以2
2221
1b a a b
+=，解得222,1a b ==，
即椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）圆O 的方程为22
1x y +=，当直线l
不存在斜率时，解得MN =
当直线l 存在斜率时，设其方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O 相切，
1=，即221m k =+.
将直线l 与椭圆C 的方程联立，得：
()2
2
2124220k x
kmx m +++-=，
判别式222881680m k k ∆=-++=>，即0k ≠，
设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222
422
=,=,1212km m x x x x k k
--+++
122
12x x k
-==+， 所以
124
3
MN x =
=-==， 解得1k =±， 所以直线l 的倾斜角为4
π或34π
. 【点睛】
求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(
P ，曲线C ：2sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以原点为极点，
x 轴正半轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
. （Ⅰ）判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB +的值. 【答案】（Ⅰ）点P 在直线l
上；见解析（Ⅱ）
11PA PB
+= 【解析】 【分析】
（Ⅰ）直线l
：2cos
6
π
ρθ⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
cos sin
θρθ
+=，所以直线l
的直角坐标方程为y
+=
0+=，所以点P在直线l上；
（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得.
【详解】
（Ⅰ）直线l
：2cos
6
π
ρθ⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
cos sin
θρθ
+=，
所以直线l
y
+=
0=
所以点P在直线l上；
（Ⅱ）直线l
的参数方程为
1
2
x t
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数），
曲线C的普通方程为
22
1
24
x y
+=，
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得2
51240
t t
+-=，
设两根为1t，2t，所以12
12
5
t t+=-，
11
4
5
t t⋅=-<，
故1t与2t异号，
所以
125
t t
A P
P B=-==
+，
1212
4
5
PA PB t t t t
⋅=⋅=-=，
所以
11PA PB
PA PB PA PB
+
+==
⋅
【点睛】
本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题. 19．椭圆
22
22
:1(1)
x y
E a b
a b
+=>>的左、右焦点分别为12
,
F F，椭圆E上两动点,P Q使得四边形
12
PFQF 为平行四边形，且平行四边形12
PFQF
的周长和最大面积分别为8和
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线2
PF与椭圆E的另一交点为M，当点
1
F在以线段PM为直径的圆上时，求直线
2
PF的方程.
【答案】（1）22
143
x y +=（2
）330x +-=
或330x --=
【解析】 【分析】
（1）根据题意计算得到2a =
，1b c =
=，得到椭圆方程.
（2）设()()21122:1,,,,PF l x my P x y M x y =+，联立方程得到1221226,34
9.
34m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩
，根据110F P F M ⋅=u u u r u u u u r ，
计算得到答案. 【详解】
（1）由平行四边形12PFQF 的周长为8，可知48a =，即2a =.
由平行四边形的最大面积为
bc =1a b >>
，解得1b c =
=.
所以椭圆方程为22
143
x y +=.
（2）注意到直线2PF 的斜率不为0，且过定点2(1,0)F . 设()()21122:1,,,,PF l x my P x y M x y =+，
由22
1,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩消x 得()22
34690m y my ++-=，所以122122
6,349.34m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩
， 因为()()1111222,,2,F P my y F M my y =+=+u u u r u u u u r
，
所以()()()()2
111212*********F P F M my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++u u u r u u u u r ()
2222229112794343434
m m m m m m +-=--+=
+++.
因为点1F 在以线段PM 为直径的圆上，所以110F P F M ⋅=u u u r u u u u r
，即m =，
所以直线2PF
的方程330x +-=
或330x --=.
【点睛】
本题考查了椭圆方程，根据直线和椭圆的位置关系求直线，将题目转化为110F P F M ⋅=u u u r u u u u r
是解题的关键.
20．某保险公司给年龄在2070-岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.
年龄 （单位：岁） [)20,30
[)30,40
[)40,50
[)50,60 []60,70
保费 （单位：元）
x
2x
3x
4x
5x
（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求x 精确到整数时的最小值0x ；
（2）经调查，年龄在[]60,70之间的老人每50人中有1人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为
12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元.某老人年龄66岁，若购买该项保险(x 取()1中的0x ).
针对此疾病所支付的费用为X 元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y 元.试比较X 和Y 的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？ 【答案】（1）30；（2）()()E Y E X >，比较划算. 【解析】
【分析】
（1）由频率和为1求出0.032a =，根据a 的值求出保费的平均值3.35x ，然后解一元一次不等式
3.35100x ≥ 即可求出结果，最后取近似值即可；
（2）分别计算参保与不参保时的期望()E X ，()E Y ，比较大小即可. 【详解】
解:（1）由()0. 0070.0160.0250.020101a ⨯++++=， 解得0.032a =.
保险公司每年收取的保费为:
()100000.070.1620.32 3.0.2540.20510000 3.35x x x x x x +⨯+⨯+⨯+⨯=⨯
∴要使公司不亏本，则10000 3.351000000x ⨯≥，即3.35100x ≥ 解得100
29.85,3.35
x ≥
≈ ∴030x =.
（2）①若该老人购买了此项保险，则X 的取值为150, 2150.
()()491
,215050 10
550P P X X ==
==Q ∴491
()1502150147431905050
E X =⨯
+⨯=+=(元). ②若该老人没有购买此项保险，则Y 的取值为0. 12000.
()()4910,120005050
P Y P Y ==
==Q ∴491
()0120002405050
E Y =⨯
+⨯=(元). ()()E Y E X >Q
∴年龄为66的该老人购买此项保险比较划算. 【点睛】
本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题.
21．已知函数()2
cos 2cos 1f x x x x =-+.
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若满足()2f B =，8a =，5c =，求cos A .
【答案】（1）,,63k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
；（2）17
【解析】 【分析】
（1）化简得到()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，取222,262k x k k Z πππ
ππ-+≤-≤+∈，解得答案. （2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭=，解得3
B π
=，根据余弦定理得到7b =，再用一次余弦定理解得答案. 【详解】
（1）()2
23sin cos 2cos 13sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛
⎫
=-+=-=-
⎪⎝
⎭
. 取222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈，解得,,63x k k k Z ππππ⎡⎤
∈-
++∈⎢⎥⎣⎦
.
（2）()2si 2n 26f B B π⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
=, 因为()110,,2,666B B π
πππ⎛⎫
∈∴-
∈- ⎪
⎝⎭
， 故262B ππ-=，3B π=. 根据余弦定理：2222cos 49b a c ac B =+-=，7b =.
2222225781
cos 22577
b c a A bc +-+-===⨯⨯.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 22．如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，G 在线段BC 上，且3BG CG =。

将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到1A 的位置（如图2所示），且1A F CD ⊥。

（1）证明：//BE 平面1A FG ；
（2）求平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值 【答案】（1）证明见解析
（2）
5
【解析】 【分析】
（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取BC 的中点M ，连接DM ，根据条件证明
//,//DM BE DM FG ，即//BE FG ；
（2）以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值. 【详解】
（1）证明：取BC 的中点M ，连接DM . ∵3BG CG =，∴G 为CM 的中点. 又F 为CD 的中点，∴//FG DM .
依题意可知//DE BM ，则四边形DMBE 为平行四边形， ∴//BE DM ，从而//BE FG .
又FG ⊂平面1A FG ，BE ⊄平面1A FG ， ∴//BE 平面1A FG .
（2）1,DE AD DE DC ⊥⊥Q ，且1A D DC D =I ，
DE ∴⊥平面ADC ，1A F ⊂平面ADC ，
1DE A F ∴⊥，
1A F DC ⊥Q ，且DE DC D ⋂=， 1A F ∴⊥平面BCDE ，
∴以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间
直角坐标系F xyz -，不妨设2CD =，
则()0,0,0F ，(1A ，()1,4,0B ，()1,2,0E -，()1,1,0G ，
(
1FA =u u u r ，()1,1,0FG =u u u r ，(11,2,A E =-u u u r ，()2,2,0EB =u u u r
.
设平面1A FG 的法向量为()1111,,n x y z =u r
，
则100n FA n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即111300z
x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，
令11x =，得()1,1,0n =-r
.
设平面1A BE 的法向量为()222,,m x y z =u r
， 则100m A E m EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即22222230220x y z x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩，
令21x =，得()
1,1,3m =--u r
.
从而10
cos ,525
m n <>=
=⨯u r r
， 故平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值为
10
5
.
【点睛】
本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.
23．已知首项为2的数列{}n a 满足11221
n n n na a n +++=+.
（1）证明：数列2n n na ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）1
211
2222
n n S n n +=++- 【解析】 【分析】
（1）由原式可得11(1)22n n n n a na +++=+,等式两端同时除以12n +,可得到11(1)122
n n n n n a na +++=+,即可证明结论;
（2）由（1）可求得
2
n n na 的表达式,进而可求得,n n a b 的表达式,然后求出{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】 （1）证明:因为11221
n n n na a n +++=+,所以11(1)22n n n n a na +++=+, 所以11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n n n a na +++-=,因为12a =,所以112
a =, 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由（1）可知()112
n n na n n =+-=,则2n n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+, 则123n n S b b b b =+++⋯+()()()
23(21)22232n n =++++++++L ()232222(123)n n =+++++++++L L ()212(1)122n n n ⨯-+=
+-12112222
n n n +=++-. 【点睛】 本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.。