2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(理科)-含详细解析

2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）
副标题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.=（）
A. B. C. D.
2.设集合A={-1，0，1}，B={x|2x＞2}，则A∩B=（）
A. B. C. D.
3.若x，y满足不等式组，则z=2x-3y的最小值为（）
A. B. C. D.
4.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点
坐标为（1，0），若e=p，则双曲线C的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之
地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图
形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标
共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形
的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆
半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）
A. B. C. D.
6.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，则{a n}的公差为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7.运行如图程序，则输出的S的值为（）
A. 0
B. 1
C. 2018
D. 2017
8.已知函数f（x）=ln（x+1）-ax，若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程
为y=2x，则实数a的值为（）
A. B. C. 1 D. 2
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AB1D=，则直线AB1与BC1所成角的
余弦值为（）
A. B. C. D.
10.已知函数f（x）=cos x-sin x在（0，α）上是单调函数，且f（α）≥-1，则α的取值
范围为（）
A. B. C. D.
11.已知半圆C：x2+y2=1（y≥0），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m
过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ=，则t的取值范围是（）
A. B.
C. D.
12.在边长为2的菱形ABCD中，BD=2，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面
角B-AC-D的余弦值为，则所得三棱锥A-BCD的内切球的表面积为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知cosα=-，则cos2α=______．
14.在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为______（用数字作答）．
15.已知函数f（x）是奇函数，且0≤x1＜x2时，有＜1，f（-2）=1，则不等式
x-3≤f（x）≤x的解集为______．
16.已知数列{a n}的前n项和S n满足，S n=3a n-2，数列{na n}的前n项和为T n，则满足
T n＞100的最小的n值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且S=bc cos A，
C=．
（Ⅰ）求cos B的值；
（Ⅱ）若c=，求S的值．
18.如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，PA⊥BD，
AB=2，PA=PD=CD=BC=1．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
19.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均
每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
将学生日均体育锻炼时间在，）的学生评价为锻炼达标．
（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，
（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？
（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d
临界值表
20.已知O为坐标原点，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），
F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y=-与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：y=k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！
21.已知函数f（x）=e x-ax．
（Ⅰ）若函数f（x）在x∈（，2）上有2个零点，求实数a的取值范围．（注e3
＞19）
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-ax2，若函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2证明：＜．
22.已知曲线C1的参数方程为（α为参数），P是曲线C1上的任一点，
过P作y轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹为C2．
（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ-cosθ=交曲线C2于M，N两点，求|MN|．
23.已知函数f（x）=|x-2|．
（Ⅱ）对a+b=1（a，b＞0）及∀x∈R，不等式f（x-m）-（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
【解答】
解：=．
故选：B．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
可解出集合B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．
【解答】
解：B={x|x＞1}；
∴A∩B=∅．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】
解：画出x，y满足不等式组
表示的平面区域，
如图所示；
平移目标函数z=2x-3y知，A（2，3），B（1，
0），C（0，1）
当目标函数过点A时，z取得最小值，
∴z的最小值为2×2-3×3=-5．
故选：D．
画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．
4.【答案】A
【解析】
解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p=2，
又e=p，所以e==2，可得c2=4a2=a2+b2，可得：b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y=±．
故选：A．
求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．
5.【答案】B
【解析】
解：图标第一部分的面积为8×3×1=24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32=9π，
图标第三部分的面积为π×22=4π，
故此点取自图标第三部分的概率为，
故选：B．
以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．
本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】
解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，
若S4=3S2，a7=15，则4a1+6d=3（2a1+d），a1+6d=15，
解可得a1=3，d=2；
故选：B．
解可得d的值，即可得答案．
本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】
解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
S=2017+（sin+sin）+（sin+sin）+…+（sin+sin）的值，
可得：S=2017+（sin+sin）+（sin+sin）+…+（sin+sin）=2017．故选：D．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
8.【答案】B
【解析】
解：f （x）的定义域为（-1，+∞），
因为f′（x）=-a，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，
可得1-a=2，解得a=-1，
故选：B．
求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．
9.【答案】D
【解析】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y
轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标
系，
设AB=a，则A（1，0，0），D（0，0，0），
=（-1，-a，-1），=（0，-a，-1），
∵∠AB1D=，∴cos==，
解得a=，B1（1，，1），B（1，0），C1（0，，1），
=（0，），=（-1，0，1），
设直线AB1与BC1所成角为θ，
则cosθ===．
∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
故选：D．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10.【答案】C
【解析】
解：函数f（x）=cosx-sinx=2cos（x+）在（0，α）上是单调函数，∴+α≤π，∴0
＜α≤．
又f（α）≥-1，即 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，∴α∈（0，]，
故选：C．
利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦
函数的图象，可得 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，由此可得α的取值范围．
本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．
解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则
|PB|=|t|，
由于BP与x轴垂直，且∠BPQ=，则在
Rt△PBT中，
|BT|=|PB|=|t|，
当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，
PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有
最大值，
当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值-，则t 取得最小值-，
t=0时，P与B重合，不符合题意，
则t的取值范围为[-，0）]；
故选：A．
根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=
|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t
的范围，综合可得答案．
本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】
解：如下图所示，
易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．
所以，∠BND是二面角B-AC-D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，
可得BO⊥平面ACD．
因为在△BDN中，，所以，BD2=BN2+DN2-2BN•DN•cos∠BND=
，
则BD=2．
故三棱锥A-BCD为正四面体，则其内切球半径．
因此，三棱锥A-BCD的内切球的表面积为．
故选：C．
作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B-AC-D的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥
B-ACD为正四面体，根据内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．
本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．
13.【答案】
【解析】
解：∵cosα=-，
∴cos2α=2cos2α-1=2×（-）2-1=．
故答案为：．
由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】120
【解析】
解：（2+x）5的展开式的通项是
，
所以在（1+x）（2+x）5=（2+x）5+x（2+x）5的展开式中，
含x3的项为，
所以x3的系数为120．
故答案为：120．
根据（2+x）5的展开式的通项公式，计算在（1+x）（2+x）5的展开式中含x3的项是什么，从而求出x3的系数．
本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．
15.【答案】[0，2]
【解析】
解：由x-3≤f（x）≤x等价为-3≤f（x）-x≤1
设g（x）=f（x）-x，
又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（-x）=-f（x），
则有g（-x）=f（-x）-（-x）=-f（x）+x=-[f（x）-x]=-g（x），
即函数g（x）为R上的奇函数，
则有g（0）=0；
又由对任意0≤x1＜x2时，有＜1，
则==-1，
∵＜1，
∴=-1＜0，
即g（x）在[0，+∞）上为减函数，
∵g（x）是奇函数，
∴g（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
∵f（-2）=1，∴g（-2）=f（-2）-（-2）=1+2=3；
g（2）=-3，g（0）=f（0）-1=-1，
则-3≤f（x）-x≤1等价为g（2）≤g（x）≤g（0），
∵g（x）是减函数，
∴0≤x≤2，
即不等式x-3≤f（x）≤x的解集为[0，2]；
故答案为：[0，2]．
根据条件构造函数g（x）=f（x）-x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．
16.【答案】7
【解析】
解：根据题意，数列{a n}满足S n=3a n-2，①
当n≥2时，有S n-1=3a n-1-2，②，
①-②可得：a n=3a n-3a n-1，变形可得2a n=3a n-1，
当n=1时，有S1=a1=3a1-2，解可得a1=1，
则数列{a n}是以a1=1为首项，公比为的等比数列，则a n=（）n-1，
数列{na n}的前n项和为T n，则T n=1+2×+3×（）2+……+n×（）n-1，③
则有T n=+2×（）2+3×（）3+……+n×（）n，④
③-④可得：-T n=1+（）+（）2+……×（）n-1-n×（）n=-2（1-）-n×（）n，变形可得：T n=4+（2n-4）×（）n，
若T n＞100，即4+（2n-4）×（）n＞100，
分析可得：n≥7，故满足T n＞100的最小的n值为7；
故答案为：7．
根据题意，将S n=3a n-2变形可得S n-1=3a n-1-2，两式相减变形可得2a n=3a n-1，令n=1求出a1的值，即可得数列{a n}是以a1=1为首项，公比为的等比数列，
即可得数列{a n}的通项公式，进而可得T n=1+2×+3×（）2+……+n×（）n-1，
由错位相减法分析求出T n的值，若T n＞100，即4+（2n-4）×（）n＞100，验证分析可得n的最小值，即可得答案．
本题考查数列的递推公式，关键是分析数列{a n}的通项公式，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵S=bc sin A=bc cos A，
∴sin A=2cos A，可得：tan A=2，
∵△ABC中，A为锐角，
又∵sin2A+cos2A=1，
∴可得：sin A=，cos A=，
又∵C=，
∴cos B=-cos（A+C）=-cos A cos C+sin A sin C=-，
（Ⅱ）在△ABC中，sin B==，
由正弦定理，可得：b==3，
∴S=bc cos A=3．
【解析】
（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得tanA=2，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，cosA，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosB的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理可得b的值，即可得解S的值．
本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】证明：（Ⅰ）∵AB∥CD，∠BCD=，PA=PD=CD=BC=1，
∴BD=，∠ABC=，，∴，
∵AB=2，∴AD=，∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，
∵PA⊥BD，PA∩AD=A，∴BD⊥平面PAD，
∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO=，
由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，
直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（，，0），B（，，0），C（-，，0），P（0，0，），=（-1，0，0），=（-，，），
设平面PBC的法向量=（x，y，z），
则，取z=，得=（0，，），
∵=（，，-），
∴cos＜，＞==-，
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．
【解析】
（Ⅰ）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
K2==≈6.061＞5.021．
（6分）所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（Ⅱ）（i）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，
用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．
（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2．
则P（（X=0）==，P（（X=1）==，P（（X=2）==，
可得X的分布列为：
可得数学期望E（X）=0×+1×+2×=．
【解析】
（I）列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论．（Ⅱ）（i）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．
本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（Ⅰ）∵在=1（a＞b＞0）中，令x=c，可得y=±，
∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，
∴=3，
∵直线y=-与椭圆C相切，
∴b=，
∴a=2
∴a2=4，b2=3．
故椭圆C的方程为+=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c=1，则直线l的方程为y=k（x+1），
联立，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，
则△=64k4-4（4k2+3）（4k2-12）=144（k2+1）＞0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=-，
∵（）＜1，
∴•＜1，
∴（x2-1，y2）（x1-1，y1）=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2＜1，
即++1-＜1，
整理可得k2＜4，
解得-2＜k＜2，
∴直线l存在，且k的取值范围为（-2，2）．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得=3，以及直线y=-与椭圆C相切，可得b=，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；
（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．
本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=0，得a=，
令h（x）=，x∈（，2），
h′（x）=，
故h（x）在（，1）递减，在（1，2）递增，
又h（）=2，h（2）=，h（1）=e，
故h（2）＞h（），
故a∈（e，2）；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2=e x-ax-ax2，
故g′（x）=e x-2ax-a，
∵x1，x2是函数g（x）的两个不同的极值点（不妨设x1＜x2），
易知a＞0（若a≤0，则函数f（x）没有或只有1个极值点，与已知矛盾），
且g′（x1）=0，g′（x2）=0，故-2ax1-a=0，-2ax2-a=0，
两式相减得2a=，
于是要证明＜ln（2a），即证明＜，
两边同除以，即证（x1-x2）＞-1，
即证（x1-x2）-+1＞0，
令x1-x2=t（t＜0），
即证不等式t-e t+1＞0，当t＜0时恒成立，
设h（t）=t-e t+1，则h′（t）=-[-（+1）]，
设k（t）=-（+1），则k′（t）=（-1），
当t＜0时，k′（t）＜0，k（t）递减，
故k（t）＞k（0）=0，
即-（+1）＞0，故h′（t）＜0，
故h（t）在t＜0时递减，h（t）在t=0处取最小值h（0）=0，故h（t）＞0得证，
故＜．
【解析】
（Ⅰ）问题转化为
a=，令h（x）=，x∈（，2），根据函数的单调性求出a的
范围即可；
（Ⅱ）求出
2a=，问题转化为证（x1-x2）-+1＞0，令x1-x2=t（t＜
0），即证不等式
t-e t+1＞0，当t＜0时恒成立，设h（t）=t-e t+1，则h′（t）=-
[-
（+1）]，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元
思想，是一道综合题．
22.【答案】解：（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得（x-3）2+（y-1）2=4，
设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），则PQ中点的轨迹方程为（2x-3）2+（y-1）2=4．
（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y-x=1，
∴联立y-x=1与（2x-3）2+（y-1）2=4得x=，∴|MN|==．
【解析】
（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得圆C1的普通方程，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），将P的坐标代入C1的方程即可得；
（Ⅱ）先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入C2的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长|MN|．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）+f（2x+1）=|x-2|+|2x-1|=
，＜，
，＞
当x＜时，由3-3x≥6，解得x≤-1；
当≤x≤2时，x+1≥6不成立；
当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．
所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1][3，+∞）．
（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），
∴（a+b）（+）=5++≥5+2=9，
∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，
即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9
∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|
∴-9≤m+4≤9，
∴-13≤m≤5．
【解析】
（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．
（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．
本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。