高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第3节空间点直线平面的位置关系课件理(1)

证明:(1)连接 EF,CD1,A1B. 因为 E,F 分别是 AB,AA1的中点,
所以 EF∥BA1. 又因为 A1B∥D1C, 所以 EF∥CD1, 所以 E,C,D1,F 四点共面.
反思归纳计算由三视图或平面图形折叠得到几何体中异面直线所成 角的思路 (1)准确作出直观图. (2)在直观图中作出异面直线所成的角,进而求解.
解析:①由平行公理知①正确;②不正确,也可能相交或异面;③不正确,也 可能异面;④不正确,a与c不一定相交;⑤不正确,a与b也可能相交或异面.
3.若直线l不平行于平面α ,且l⊄α ,则( B ) (A)α 内的所有直线与l异面 (B)α 内不存在与l平行的直线 (C)α 内存在唯一的直线与l平行 (D)α 内的直线与l都相交
所以CE,D1F,DA三线共点.
反思归纳 (1)证明点共面或线共面的常用方法 ①直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面. ②同一法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. ③辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面 β,最后证明平面α,β重合. (2)证明空间点共线问题的方法 ①公理法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证 明这些点都在这两个平面的交线上. ②同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. (3)证明三线共点的方法 先选取两线交于一点,再证明该点在第三条线上即可.
答案:②③④
反思归纳(1)空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂 直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利 用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质 定理;对于垂直关系,常常利用线面垂直的性质来解决. (2)解决位置关系问题时,要注意几何模型的选取,如利用正(长)方体模 型来解决问题.
③GH与MN成60°角;
④DE与MN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是
.
解析:如图,延长 CA 到 D,使得 AD=AC,则四边形 ADA1C1 为平行四边形,∠DA1B 就 是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角,又由 AB=AC=AA1 得△A1DB 为等边三角形,所以 ∠DA1B=60°. 故选 C.
解析:依据面面平行的判定定理知,A项不是公理,故选A.
2.下列命题中,正确命题的个数是( B ) ①平行于同一直线的两直线平行;②垂直于同一直线的两直线平行;③一 条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;④若直线a与b相 交,b与c相交,则a与c相交;⑤若直线a,b与c成等角,则a∥b. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
l∥m
l∥n

⇒
寻找两 平面的 交线;证 明线共 点
证明线 线平行
AB∥AB AC∥AC
⇒
∠A=∠A′或
∠A+∠A′=π
判断或 证明两 角相等 或互补
或互补
相等
m∥n
2.空间中点、线、面之间的位置关系
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3.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥ b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角);
(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值.
易混易错辨析 用心练就一双慧眼
借助正方体判定线面位置关系 【典例】下列命题正确的是( ) (A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 (B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 (C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 (D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 解析:若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线不一定平行,还 有可能相交,也可能异面,故A错. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面可能平行, 也可能相交,故B错. 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可能平行,也可能垂直.故D 错.正确的只有C.故选C.
答案:b与α 相交或b⊂α 或b∥α
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 平面的基本性质及应用
【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点. 求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
No
平行关系
图形 语言
符号 语言 交点 个数
直线与直线
a∥b 0
直线与平面
考点三 异面直线所成的角的问题 考查角度1:由几何体的结构特征计算其中异面直线所成的角. 高考扫描:2014高考新课标全国卷Ⅱ
【例3】 (2015高考浙江卷)如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=
BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是
346 2
(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?
答案: 7
8
考点二 空间两直线的位置关系
【例2】 如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC
的中点,在这个正四面体中, ①GH与EF平行; ②BD与MN为异面直线;
解析: 正四面体如图,GH 与 EF 为异面直线,即①不正确;BD 与 MN 为异面 直线,即②正确;△MNG 为正三角形,即③正确;连接AG,FG,则 DE⊥AG, DE⊥GF,于是 DE⊥平面 AFG,DE⊥AF,又 MN∥AF,所以 DE⊥MN,即④正确.
易错提醒:(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比,从而误选A. (2)不会利用正方体作出判断,考虑问题不全面,从而误选B或D.
【即时训练】 若直线l1与l2是异面直线,l1在平面α 内,l2在平面β 内,l是平面α 与平面β 的交线,则下列命题正确的是( )
(A)l与l1,l2都不相交 (B)l与l1,l2都相交 (C)l至多与l1,l2中的一条相交 (D)l至少与l1,l2中的一条相交
解析:可用反证法.假设l与l1,l2都不相交,因为l与l1都在平面α 内,于是 l∥l1,同理l∥l2,于是l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.故选 D.
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【重要结论】 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线.
夯基自测
1.(2013高考安徽卷)在下列命题中,不是公理的是( A ) (A)平行于同一个平面的两个平面相互平行 (B)过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 (C)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在 此平面内 (D)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线
平 Im面 ag与e 平面
a∥α 0
α ∥β 0
(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明：(2)因为EF∥CD1,EF<CD1, 所以CE与D1F必相交, 设交点为P, 则由P∈CE,CE⊂平面ABCD, 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, 所以P∈直线DA,
(2)解:C,D,F,E 四点共面,证明如下:
法一 由 BE
1 AF,G 为 FA 的中点知 BE 2
FG,
所以四边形 BEFG 为平行四边形,所以 EF∥BG.
由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH.所以 EF 与 CH 共面.又 D∈FH,所以 C,D,F,E 四点共面. (教师备用)法二 如图所示,延长 FE,DC 分别与 AB 的延长线交于点 M,M′,
(1)证明:假设AE与PB共面,设平面为α,
最新考纲
1.理解空间直线、平面 位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明 一些空间位置关系的简单命题.
据的公理和定理.
因为A∈α,B∈α,E∈α,
所以平面α即为平面ABE,
所以P∈平面ABE,
这与P∉平面ABE矛盾,
所以AE与PB是异面直线.
考查角度 2:根据三视图计算其对应几何体中异面直线所成的角
【例 4】 (2015 揭阳模拟)如图是三棱锥 D ABC 的三视图,点 O 在三个视图中都
是所在边的中点,则异面直线 DO 和 AC 所成角的余弦值等于(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
(A) 3 3
(B) 1 2
(C) 3
(D) 2 2
反思归纳(1)求异面直线所成角的常用方法及类型 常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行 线平移;利用特殊点(线段的端点或中点、空间某特殊点)作平行线平 移; 补形平移. (2)求异面直线所成角的三个步骤 ①作:通过作平行线,得到相交直线. ②证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角. ③求:通过解三角形,求出该角.
解析:l与平面α相交,则α内不存在与l平行的直线.
B
【即时训练】 如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形,BC 1 AD,BE 2
1 FA,G,H 分别为 FA,FD 的中点. 2 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形;
5.若直线a⊥b,且直线a∥平面α ,则直线b与平面α 的位置关系是 .
.
解析:如图所示,连接 ND,取 ND 的中点 E,连接 ME,CE,则 ME∥AN,则异面直线
AN,CM所成的角即为∠EMC.由题可知CN=1,AN=2 2,所以ME= 2,又CM=
2 2,DN=2 2,NE= 2,所以CE= 3,则cos∠CME=
CM2 EM2 CE2 = 823 =7 . 2CM EM 22 2 2 8
知识梳理
1.平面的基本性质及相关公(定)理
公理 3
如果两个不重合的平 面有一个公共点,那 么它们有且只有一条 过该点的公共直线
公理 4
平行于同一条直线的 两条直线互相平行
两角 相等 或互 补的 定理
空间中如果两个角的 两边分别对应平行, 那么这两个角
P P


⇒
α ∩β =l,
且 P∈l
第3节 空间点、直线、平面的位置关系
知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析
知识链条完善 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.分别在两个平面内的直线就是异面直线吗? 提示:不是.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线,指的是找不 出一个平面同时经过这两条直线,分别在两个平面内的直线可以平行、 异面或相交. 2.空间直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些? 提示:直线与平面的位置关系有:相交、平行、在平面内. 平面与平面的位置关系有:平行、相交.
DO= AD2 AO2 = 12 ( 2 )2 = 3 ,
在△DOE 中,由余弦定理得
cos ∠DOE= 1 3 2 = 3 .故选 A.
2 1 3
3
【例3】 如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=
AC=2,E是PC的中点. (1)求证AE与PB是异面直线;
备选例题
【例1】 (2015济宁一模)直线l1,l2平行的一个充分条件是( ) (A)l1,l2都平行于同一个平面 (B)l1,l2与同一个平面所成的角相等 (C)l1平行于l2所在的平面 (D)l1,l2都垂直于同一个平面
解析:对A,当l1,l2都平行于同一个平面时,l1与l2可能平行、相交或异面; 对B,当l1,l2与同一个平面所成的角相等时,l1与l2可能平行、相交或异 面;对C,l1与l2可能平行,也可能异面,只有D满足要求.故选D.
因为 BE
1 AF, 所以 B 为 MA 的中点. 2
因为 BC
1 AD,所以 B 为 M′A 的中点. 2
所以 M 与 M′重合.即 EF 与 CD 相交于点 M(M′),所以 C,D,F,E 四点共面.
4.正方体 ABCD-A1B1C1D1中,直线 BB1与 AD1所成的角为( )
(A) π (B) π (C) π (D) π
【例2】 三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,AA1⊥平面ABC, 则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:根据题意得如图的直观图,线段 AB,AC,AD 两两垂直,且 AB=AC=2,AD=1,O 是 BC 中点,取 AB 中点 E,连接 DE,OE, 则 OE=1,AE=1, 因为 OE∥AC,故∠DOE 即为所求两异面直线所成的角. 在 Rt△DAE 中,DE= 12 12 = 2 ,