1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
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➢ 任意角的正弦函数与余弦函数
如图，给定任意角α ，作单位圆，角α的
终边与单位圆的交点为P(u，v) ，点P的纵坐
标v 、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角
三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为角α
的正弦值，仍记作v =sinα；
把点P的横坐标u定义为角α
的余弦值，仍记作u=cosα.
课文精讲
➢ 任意角的正弦函数与余弦函数
+(−)
故答案为： .
综合练习
已知角α的终边经过点P（8，m），且sinα
= ，则m=_____.
6
解：角α的终边经过点P（ 8，m ），
且sinα==
故答案为6.
+
， m=6，
本课小结
锐角的正弦函数与余
弦函数
单位圆与任意角的
正弦函数、余弦 函
数的基本性质
角α的正弦函数、余弦函数.下面我们在平面直
角坐标系中，利用单位圆(以后常设单位圆的
圆心在原点)进一步研究锐角α的正弦函数和
余弦函数.
课文精讲
➢ 锐角的正弦函数与余弦函数
如图，对于锐角α，角α的终边与单位圆
交于点P(u，v)，故u是由锐角α唯一确定的，v
也是由锐角α唯一确定的.
过点P向x轴作垂线，垂足为M.在
任意角的正弦函数与
余弦函数
1
0 − −
π
2π
0 − −
−
-1
−
0
-1 − −
0
1
0
1
0
课文精讲
观察此表格中的数据，你能发现函数
v=sinα和u=cosα的变化有什么特点吗？
在区间[0，]和[ ，2π]上， v=sinα的
解：(1)如图，以原点为角的顶点，以x轴的非
负半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交
于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于
点M.于是α=∠MOP=− 即为所作
的角.
典型例题
例2：在单位圆中，α=- .
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值.
解：(2)设点P(u，v)，则 u=
sin −
如果角α的大小用弧度表示，那么，正
弦v=sinα 、余弦u=cosα分别是以角α的大小
为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐
标为函数值的函数，其定义域为全体实数，
其值域为实数的子集合.这样定义的正弦函数
和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了.
典型例题
例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，
y).求角α的正弦函数值和余弦函数数值.
同理，cosα=
| + |
，
当角α的终边在坐标轴上时，
容易验证上述等式仍然成立.
||
+ |
，
课文精讲
设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则
sinα=， cosα =.
其中
r= + .
典型例题
例2：在单位圆中，α=- .
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值.
解：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形.
如图.设角α的终边与单位圆交于点P，
则点P的坐标为(cosα ，sinα)，且OP=1.
典型例题
例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，
y).求角α的正弦函数值和余弦函数数值.
解：点Q(x，y)在角α的终边上，则
OQ= + .
分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN，垂足
Rt△OMP中，OP=1，OM=u，MP=v，有
sin =
= =
v， cos =
= =
u.
课文精讲
➢ 锐角的正弦函数与余弦函数
由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐
标v是该角的正弦函数值，记作v= sinα；点P
的横坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cosα.
课文精讲
4.1单位圆与任意角的正弦
函数、余弦函数定义
温故知新
弧度概念
弧度制
弧度与角度的换算
学习目标
1. 能根据单位圆中正、余弦函数的定义结合
单位圆说出它们的基本性质. （重点）
2. 能利用正、余弦函数的基本性质解决相关
问题.（难பைடு நூலகம்）
课文精讲
➢ 锐角的正弦函数与余弦函数
在初中，我们借助直角三角形学习了锐
= v =−
，v =−
，
，cos − =u= .
课文精讲
思考交流
在单位圆中，画出下列各特珠角，求各角
终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特
殊角的正弦函数值、余弦函数值填入表中:
课文精讲
α
v=sinα
u=cosα
α
v=sinα
u=cosα
为M，N，易知△POM∽△QON.
所以，即
即
|| ||
=
，
|| ||
||
| |
= .
| + |
典型例题
例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，
y).求角α的正弦函数值和余弦函数数值.
解：因为点P和点Q在同一象限，所以sinα
和y的符号相同，于是得到sinα= |
值逐渐增加，u=cosα的值逐渐减小，在区
间[，π]和[π， ] 上，v=sinα的值逐渐减
小，u=cosα的值逐渐增加.
综合练习
若角α的终边经过点P（5α，-12α）（α＜
0），则sinα=_____.
解：∵角α的终边经过点P（5α，-12α）（α
−
sinα=
=
，
＜0），则
如图，给定任意角α ，作单位圆，角α的
终边与单位圆的交点为P(u，v) ，点P的纵坐
标v 、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角
三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为角α
的正弦值，仍记作v =sinα；
把点P的横坐标u定义为角α
的余弦值，仍记作u=cosα.
课文精讲
➢ 任意角的正弦函数与余弦函数
+(−)
故答案为： .
综合练习
已知角α的终边经过点P（8，m），且sinα
= ，则m=_____.
6
解：角α的终边经过点P（ 8，m ），
且sinα==
故答案为6.
+
， m=6，
本课小结
锐角的正弦函数与余
弦函数
单位圆与任意角的
正弦函数、余弦 函
数的基本性质
角α的正弦函数、余弦函数.下面我们在平面直
角坐标系中，利用单位圆(以后常设单位圆的
圆心在原点)进一步研究锐角α的正弦函数和
余弦函数.
课文精讲
➢ 锐角的正弦函数与余弦函数
如图，对于锐角α，角α的终边与单位圆
交于点P(u，v)，故u是由锐角α唯一确定的，v
也是由锐角α唯一确定的.
过点P向x轴作垂线，垂足为M.在
任意角的正弦函数与
余弦函数
1
0 − −
π
2π
0 − −
−
-1
−
0
-1 − −
0
1
0
1
0
课文精讲
观察此表格中的数据，你能发现函数
v=sinα和u=cosα的变化有什么特点吗？
在区间[0，]和[ ，2π]上， v=sinα的
解：(1)如图，以原点为角的顶点，以x轴的非
负半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交
于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于
点M.于是α=∠MOP=− 即为所作
的角.
典型例题
例2：在单位圆中，α=- .
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值.
解：(2)设点P(u，v)，则 u=
sin −
如果角α的大小用弧度表示，那么，正
弦v=sinα 、余弦u=cosα分别是以角α的大小
为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐
标为函数值的函数，其定义域为全体实数，
其值域为实数的子集合.这样定义的正弦函数
和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了.
典型例题
例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，
y).求角α的正弦函数值和余弦函数数值.
同理，cosα=
| + |
，
当角α的终边在坐标轴上时，
容易验证上述等式仍然成立.
||
+ |
，
课文精讲
设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则
sinα=， cosα =.
其中
r= + .
典型例题
例2：在单位圆中，α=- .
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值.
解：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形.
如图.设角α的终边与单位圆交于点P，
则点P的坐标为(cosα ，sinα)，且OP=1.
典型例题
例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，
y).求角α的正弦函数值和余弦函数数值.
解：点Q(x，y)在角α的终边上，则
OQ= + .
分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN，垂足
Rt△OMP中，OP=1，OM=u，MP=v，有
sin =
= =
v， cos =
= =
u.
课文精讲
➢ 锐角的正弦函数与余弦函数
由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐
标v是该角的正弦函数值，记作v= sinα；点P
的横坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cosα.
课文精讲
4.1单位圆与任意角的正弦
函数、余弦函数定义
温故知新
弧度概念
弧度制
弧度与角度的换算
学习目标
1. 能根据单位圆中正、余弦函数的定义结合
单位圆说出它们的基本性质. （重点）
2. 能利用正、余弦函数的基本性质解决相关
问题.（难பைடு நூலகம்）
课文精讲
➢ 锐角的正弦函数与余弦函数
在初中，我们借助直角三角形学习了锐
= v =−
，v =−
，
，cos − =u= .
课文精讲
思考交流
在单位圆中，画出下列各特珠角，求各角
终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特
殊角的正弦函数值、余弦函数值填入表中:
课文精讲
α
v=sinα
u=cosα
α
v=sinα
u=cosα
为M，N，易知△POM∽△QON.
所以，即
即
|| ||
=
，
|| ||
||
| |
= .
| + |
典型例题
例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，
y).求角α的正弦函数值和余弦函数数值.
解：因为点P和点Q在同一象限，所以sinα
和y的符号相同，于是得到sinα= |
值逐渐增加，u=cosα的值逐渐减小，在区
间[，π]和[π， ] 上，v=sinα的值逐渐减
小，u=cosα的值逐渐增加.
综合练习
若角α的终边经过点P（5α，-12α）（α＜
0），则sinα=_____.
解：∵角α的终边经过点P（5α，-12α）（α
−
sinα=
=
，
＜0），则