闭区间上连续函数的性质
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F(a)F(b) [ f (a) C][ f (b) C] 0 ，由零点定理知，至少在一点 (a ，b) ，使点 F() 0 ，即 f () C ．
1.2 零点定理与介值定理
介值定理的几何意义是连续曲线 y f (x) 与水平直线 y C 在 (a ，b) 内至少有 一个交点，如图所示．
推论 若函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续， m 和 M 分别为 f (x) 在[a ，b] 上的最 小值与最大值，则对介于 m 和 M 之间的任一实数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
设 m f (x1) ， M f (x2 ) ， m M ，在闭区间[x1 ，x2 ]（或[x2 ，x1] ）上应用介值 定理，即得上述推论．
f (a) 与 f (b) 之间的任意一个常数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
定理 4 的证明，仅需设一个新的辅助函数 F(x) f (x) C ．由 f (x) 在[a ，b] 上连续， 且 C 介 于 f (a) 与 f (b) 之 间 ， 可 知 F(x) 在 [a ，b] 上 连 续 ，
x 1， 在闭区间[0，2] 上不连续
x 3， 1 x 2
（有跳跃间断点 x 1），虽有界但无最值，如图所示．
1.2 零点定理与介值定理
如果 f (x0 ) 0 ，则称 x0 点为函数 f (x) 的零点． 定理 3（零点定理） 设函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，且 f (a) f (b) 0 ，则
至少存在一点 (a ，b) ，使得 f ( ) 0 ．
证明从略．从几何上看，定理 3 表示：如果连续曲线弧 y f (x) 的两个端点位于 x 轴的不同侧，那么这段曲线弧与 x 轴至少有一个交点，如图所示．
1.2 零点定理与介值定理
由定理 3 可推得下列较一般性的定理． 定理 4（介值定理） 设函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，且 f (a) f (b) ，则在
1.1 有界性与最值定理
定理 2 是指，如果 f (x) 在[a ，b] 上连续，则在[a ，b] 上至少存在一点1 ，使得 f (1) 是 f (x) 在[a ，b] 上的最大值，即 x [a ，b] ， f (x) f (1) ；同样在[a ，b] 上至少存在 一点 2 ，使得 f (2 ) 是 f (x) 在 [a ，b] 上的最小值，即 x [a ，b] ， f (x) f (2 ) ，如 图所示．
高等数学
闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续函数具有许多重要的性质，这些性质有很多重要的 应用，由于这些性质的证明还需比较深入的数学知识，本节我们仅以 定理形式陈述这些性质并做一些必要的解释，不予证明．
1.1 有界性与最值定理
定理 1（有界性） 若函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，则 f (x) 在[a ，b] 上有界． 定理 1 是指如果 f (x) 在[a ，b] 上连续，则 M 0 ，对[a ，b] ，使| f (x) | M ． 定理 2（最大值与最小值） 若函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，则 f (x) 在[a ，b] 上一定能取得最大值与最小值．
1.1 有界性与最值定理
注：如果 f (x) 在开区间 (a ，b) 上连续或在闭区间上有间断点，则 f (x) 在此区间
上不一定有界，也不一定能取得最大值与最小值．例如，函数 y tan x 在开区间
2
， 2
上连续，但在
2
， 2
上无界且不存在最大值和最小值．
x 1， 0 x 1，
再如， f (x) 1，
f (0) f (1) 0 ． 由 零 点 定 理 知 ， 在 (0，1) 至 少 存 在 一 个 ， 使 得 f ( ) 0 ， 即 2 2 1 0 ．所以 是方程 x2 2x 1 0 的实根．
高等数学
1.2 零点定理与介值定理
例 1 证明方程 x2 2x 1 0 在 (0，1) 上至少有一个实根．
分析 本例实际上是证明函数 f (x) x2 2x 1在 (0，1) 上存在零点． 证明 设 f (x) x2 2x 1，显然 f (x) 在[0，1] 上连续，且 f (0) 1， f (1) 2 ，
1.2 零点定理与介值定理
介值定理的几何意义是连续曲线 y f (x) 与水平直线 y C 在 (a ，b) 内至少有 一个交点，如图所示．
推论 若函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续， m 和 M 分别为 f (x) 在[a ，b] 上的最 小值与最大值，则对介于 m 和 M 之间的任一实数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
设 m f (x1) ， M f (x2 ) ， m M ，在闭区间[x1 ，x2 ]（或[x2 ，x1] ）上应用介值 定理，即得上述推论．
f (a) 与 f (b) 之间的任意一个常数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
定理 4 的证明，仅需设一个新的辅助函数 F(x) f (x) C ．由 f (x) 在[a ，b] 上连续， 且 C 介 于 f (a) 与 f (b) 之 间 ， 可 知 F(x) 在 [a ，b] 上 连 续 ，
x 1， 在闭区间[0，2] 上不连续
x 3， 1 x 2
（有跳跃间断点 x 1），虽有界但无最值，如图所示．
1.2 零点定理与介值定理
如果 f (x0 ) 0 ，则称 x0 点为函数 f (x) 的零点． 定理 3（零点定理） 设函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，且 f (a) f (b) 0 ，则
至少存在一点 (a ，b) ，使得 f ( ) 0 ．
证明从略．从几何上看，定理 3 表示：如果连续曲线弧 y f (x) 的两个端点位于 x 轴的不同侧，那么这段曲线弧与 x 轴至少有一个交点，如图所示．
1.2 零点定理与介值定理
由定理 3 可推得下列较一般性的定理． 定理 4（介值定理） 设函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，且 f (a) f (b) ，则在
1.1 有界性与最值定理
定理 2 是指，如果 f (x) 在[a ，b] 上连续，则在[a ，b] 上至少存在一点1 ，使得 f (1) 是 f (x) 在[a ，b] 上的最大值，即 x [a ，b] ， f (x) f (1) ；同样在[a ，b] 上至少存在 一点 2 ，使得 f (2 ) 是 f (x) 在 [a ，b] 上的最小值，即 x [a ，b] ， f (x) f (2 ) ，如 图所示．
高等数学
闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续函数具有许多重要的性质，这些性质有很多重要的 应用，由于这些性质的证明还需比较深入的数学知识，本节我们仅以 定理形式陈述这些性质并做一些必要的解释，不予证明．
1.1 有界性与最值定理
定理 1（有界性） 若函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，则 f (x) 在[a ，b] 上有界． 定理 1 是指如果 f (x) 在[a ，b] 上连续，则 M 0 ，对[a ，b] ，使| f (x) | M ． 定理 2（最大值与最小值） 若函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，则 f (x) 在[a ，b] 上一定能取得最大值与最小值．
1.1 有界性与最值定理
注：如果 f (x) 在开区间 (a ，b) 上连续或在闭区间上有间断点，则 f (x) 在此区间
上不一定有界，也不一定能取得最大值与最小值．例如，函数 y tan x 在开区间
2
， 2
上连续，但在
2
， 2
上无界且不存在最大值和最小值．
x 1， 0 x 1，
再如， f (x) 1，
f (0) f (1) 0 ． 由 零 点 定 理 知 ， 在 (0，1) 至 少 存 在 一 个 ， 使 得 f ( ) 0 ， 即 2 2 1 0 ．所以 是方程 x2 2x 1 0 的实根．
高等数学
1.2 零点定理与介值定理
例 1 证明方程 x2 2x 1 0 在 (0，1) 上至少有一个实根．
分析 本例实际上是证明函数 f (x) x2 2x 1在 (0，1) 上存在零点． 证明 设 f (x) x2 2x 1，显然 f (x) 在[0，1] 上连续，且 f (0) 1， f (1) 2 ，