古扎拉蒂《计量经济学基础》复习笔记和课后习题详解（多元回归分析：推断问题）【圣才出品】

古扎拉蒂《计量经济学基础》复习笔记和课后习题详解（多元回归分析：推断问题）【圣才出品】
第8章多元回归分析：推断问题
8.1 复习笔记
考点一：再议正态性假定★
当回归模型的参数用于估计和推断两个方面时，还需要假定u i服从正态性假定，即：u i～N（0，σ2）。

在三变量模型中，偏回归系数的OLS估计量与ML估计量一致，是最优线性无偏估计量（BLUE）。

参数估计量也是正态分布的，且（n－3）（σ∧2/σ2）～χ2（n－3）。

参数的t值均服从自由度为n－3的t分布。

t分布可用于构造置信区间并进行假设检验。

χ2分布可用于检验关于真实σ2的假设。

考点二：多元回归中的假设检验的多种形式★
1．检验个别偏回归系数的假设。

2．检验估计的多元回归模型的总体显著性，即判别全部偏斜率系数是否同时为零。

3．检验两个或多个系数是否相等。

4．检验偏回归系数是否满足某种约束条件。

5．检验所估计的回归模型在时间上或在不同横截面单元上的稳定性。

6．检验回归模型的函数形式是否正确。

考点三：检验关于个别偏回归系数的假设★★
t检验的程序是基于随机误差项u i服从正态分布的假定。

检验方法：给定一个特定的显著性水平α，当t值超过临界值tα/2（df），则拒绝原假设。

或使用p值判断，当p足够小，则拒绝原假设。

参数β∧2的（1－α）置信区间为：（β∧2－tα/2se（β∧2），
β∧2＋tα/2se（β∧2））。

由于不能直接观测u i，所以利用代理变量u∧i，即残差。

残差的正态性可进行雅克-贝拉（JB）检验（大样本检验）。

考点四：检验样本回归的总体显著性★★★★★
1．总体显著性检验
（1）定义
总体显著性检验的原假设为：H0：β2＝β3＝0。

也就是检验Y是否与X2和X3存在线性关系。

（2）总体显著性检验与个别显著性检验
检验个别显著性时，隐含地假定每一个显著性检验都是根据一个不同的（即独立的）样本进行的。

如果用同一样本数据去进行联合检验，就违反了检验方法所依据的基本假定。

检
验一系列单个假设，不等于联合地检验同样的这些假设。

因为在对几个假设的进行一个联合检验时，任何一个单个假设都受其他假设所含信息的“影响”。

2．检验所观测到的多元回归的总显著性的方差分析法：F 检验
（1）三变量回归的方差分析（ANOVA ）表（见表8-1）
表8-1 三变量回归的方差分析（ANOVA ）表
（2）F 检验
在u i 的正态性假定下，当原假设β2＝β3＝0成立，变量：
()()()22332??/2
/3/2,3/i i i i i y x y x F u n ESS df F n RSS df
ββ+=-=-∑∑∑ ①当F 值大于α显著水平下的
F 临界值时，就拒绝H 0；否则就不拒绝。

F 统计量小结见表8-2。

表8-2 F 统计量小结
②如果所观测到的F 的p 值足够低，则可以拒绝H 0。

3．检验多元回归的总显著性：F 检验的决策规则
（1）决策规则
对于k 变量回归模型：Y i ＝β1＋β2X 2i ＋β3X 3i ＋…＋βk X ki ＋u i 。

假设检验中的虚拟假设和对立假设分别为：H 0：β2＝β3＝…＝βk ＝0，H 1：全部系数不同时为零。

F 统计量为：F ＝（ESS/df ）/（RSS/df ）＝[ESS/（k －1）]/[RSS/（n －k ）]。

如果F ＞F α（k －1，n －k ），则拒绝H 0；否则不拒绝。

或者根据p 值判断，当p 值足够低，即拒绝H 0。

（2）个别与联合假设检验对比
这两类检验是不相同的。

有可能出现t 检验不显著而F 检验显著的情况。

个别的（多个）置信区间所提供的联合“信息”，不能代替假设的联合检验和联合置信区域。

4．R 2和F 之间的一个重要关系式
()()()()()()()()()
22ESS ESS 1RSS 1TSS ESS
/1ESS /TSS 11ESS /TSS 1/n k n k F k k n k R k k R n k --=?=?-----=?=---- F 和R 2是同向变化的。

当R 2＝0时，F ＝0。

R 2越大，F 值也越大。

当R 2＝1时，F 趋于无限大。

因此，F 检验既是总体显著性的度量，也是R 2的一个显著性检验。

5．用R 2表述的多元回归总显著性检验
（1）决策规则
F 统计量计算公式变换为：F ＝[R 2/（k －1）]/[（1－R 2）/（n －k ）]。

决策规则与之前
的一致。

在使用R 2型F 检验时，要保证新老模型中因变量相同。

（2）引申的重要经验对于横截面数据，由于具有多样性，得到的R 2一般都很低。

要明白的是，R 2值在模型设定中相对不重要。

更重要的是：正确地设定模型、回归元具有正确（即理论预期）的符号以及统计显著的回归系数。

6．一个解释变量的“增量”或“边际”贡献
一个解释变量的增量或边际贡献是指在模型中增加一个变量，是否相对于RSS “显著”地增加了ESS （从而影响R 2）。

用于评价变量增量贡献的ANOVA 表见表8-3。

表8-3 用于评价变量增量贡献的ANOVA 表
为了评估X 3的增量贡献，构造：
()()
24ESS ESS //d /d RSS /d 新增回归元个数新模型中的参数个数new old new Q f F Q f f n -===-
F 统计量还可用R 2值重新表达为： ()()()()()2
2222
2/d /1/d 1/d 新增回归元个数新模型中的参数个数
new old new old
new new
R R f R R F R f R f n --==--=-
上述统计量服从F 分布。

若使用R 2型F 检验，必须保证新老模型的因变量是相同的。

（1）加入一个新变量对于有同一因变量但有解释变量不同的模
型，应选择具有最高R ＿
2值的模型。

因此只要新变量的加入能增加R ＿2的值，就可以在模型中加入该变量，而不管它是否显著地减少RSS 。

如果新增变量的系数的t 值在绝对值上大于1，R ＿2就会增加。

即仅当一个新增解释变量的F （＝t 2）值大于1时，它的引进才会使R ＿2增大。

（2）加入/排除一组变量
一组变量的加入（排除）有一个大（小）于1的F 值，R ＿2将增加（减小），则加入（排除）该组变量。

考点五：检验两个回归系数是否相等★★★
在Y i ＝β1＋β2X 2i ＋β3X 3i ＋β4X 4i ＋u i 中，检验假设：H 0：β3＝β4，H 1：β3≠β4。

在经典假设下，可以证明：t ＝{[（β∧3－β∧4）－（β3－β4）]/se （β∧3－β∧
4）}～t （n －4）。

因为： ()34??se
ββ-=
将上式和虚拟假设代入t 统计量计算公式中，可得： ??t =
考点六：受约束的最小二乘法：检验线性等式约束条件★★★★ 对于柯布-道格拉斯生产函数：。