中考数学压轴必刷 专题9胡不归(8PA+kPB)型最短问题(学生版)

【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题9胡不归（8PA+kPB）型最短问题
【例1】已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，a≠0）与x轴的正半轴交于点A，其顶点C的坐标为（2，4）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△P AC面积的最大值；
（Ⅲ）点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，求QC+QA的最小值．
【例2】已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当P A＝2PE时，求EF+BF的最小值．
（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．
【例3】如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣2，m）、B（6，n）两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．
（1）求一次函数的解析式求出点C的坐标．
（2）在x轴上是否存在点P，使得P A+PD的值最小？若存在，求出点P的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由．
（3）将∠ADC 沿x 轴左右平移到∠AD ′C ′，在平移过程中，将该角绕点D ′旋转，使它的一边始终经过点A ，另一边与直线AC 交于点C ′，若为△AD ′C ′等腰直角三角形，求出点C ′的坐标．
【例4】如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）证明：△ABM ≌△EBN ．
（2）当M 点在何处时，AM +BM +CM 的值最小，并说明理由． （3）当AM +BM +CM 的值最小值为
+1时，则正方形的边长为 ．
【例5】问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP +1
2BP 的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有CD CP
=
CP CB
=12
，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴
PD BP
=1
2
，∴PD =1
2BP ，∴AP +12
BP
＝AP +PD ．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +1
2BP 的最小值为 √37 ． （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，1
3AP +BP 的最小值为
23
√37
．
（3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是CD ̂上一点，求2P A +PB 的最小值．
【例6】如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （√3，0），B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝3OA =√3OC ，∠OAC 的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ． （1）求抛物线的解析式；
（2）设点P 的横坐标为m ，当FH ＝HP 时，求m 的值；
（3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，1
2HC 为半径作⊙H ，点Q 为⊙H 上的一个动点，
求1
4
AQ +EQ 的最小值．
．
1．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＞CD ，AD ＝AB +CD ．
（1）利用尺规作∠ADC 的平分线DE ，交BC 于点E ，连接AE （保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下， ①证明：AE ⊥DE ；
②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．
2．问题探究
（1）如图①，在△ABC中，∠B＝30°，E是AB边上的点，过点E作EF⊥BC于F，则EF
BE 的值为
1
2
．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ABC，点E是对角线
BD上一点，求AE+1
2BE的最小值．
问题解决
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于点A、B，点P为直线AB上的动点，以OP为边在其下方作等腰Rt△OPQ且∠POQ＝90°．已知点C（0，﹣4），点D（3，0）连
接CQ、DQ，那么DQ+√2
2CQ是否存在最小值，若存在求出其最小值及此时点P的坐标，若不存在请说
明理由．
3．已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△P AC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；
（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值．
4．如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B右侧），交y轴于点C，直线y ＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；
（3）连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标．
5．如图1，在平面直角坐标系中，点D的横坐标为4，直线l1：y＝x+2经过点D，分别与x、y轴交于点A、B两点．直线l2：y＝kx+b经过点D及点C（1，0）．
（1）求出直线l2的解析式．
（2）在直线l2上是否存在点E，使△ABE与△ABO的面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从点C出发，沿线段CP以每秒2个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到D后停止，求H点在整个运动过程的最少用时．。