高考数学一轮复习第十一章概率3几何概型课件新人教A版2

-25考点1
考点2
考点3
考点4
考点 3 几何概型与非几何知识的综合
例3(1)已知a,b∈(0,1),则函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)内是单
调递增的概率为( A )
1
1
A.
B.
C.
D.
4
3
4
2
3
5
2
2
(2)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为 a,b,则方程 2 + 2 =1
a,
4
在边 BC 上随机取一点 D,要使 AD=
则 OD=
√10

4
2
-
√2

2
2
=
√2
a.
4
√10
则事件“AD> 4 a”发生的概率为
√2
√2- 2
P=
√2
1
= 2.
-18考点1
考点2
考点3
考点4
考点 2 与面积、体积有关的几何概型
例2(1)如图,半径为r的圆O内有一内接正六边形ABCDEF,正六边
形中的灰色部分和白色部分关于圆心O成中心对称.在圆内随机取
一点,则此点取自灰色部分的概率为( A )
3√3
A.
4π
3√3
B.
8π
C.
3
4π
D.
3
8π
-19考点1
考点2
考点3
考点4
解析:(1)灰色部分是三个边长为r的等边三角形,
其面积为
3√3 2
√3 2
S= 4 r ×3= 4 r ,
根据几何概型可得所求的概率为 P=
不超过20分钟的概率是( A )
1
1
A.3
B.2
C.3
D.4
2
3
(2)(2020 广西北海一模)在 Rt△ABC 中,A=90°,AB=AC=a,在边
BC 上随机取一点
√10
D,则事件“AD> a”发生的概率为
4
1
2
.
-16考点1
考点2
考点3
考点4
解析:(1)叶先生在7:20至8:20之间到达,预定了早晨8:20的机场大
件转化为所求事件A满足的区域,在图形中画出事件A发生的区域,
然后用公式 P(A)=
构成事件的区域面积(或体积)
求出概率.
试验的全部结果所组成的区域面积(或体积)
-22考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练2(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面
ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点
“∠DAB内作射线AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域H是
∠DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在∠CAB内,区域h
为∠CAB,
∠
30°
1
所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为∠ = 90° = 3.
解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和
对象的活动范围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线
转化,将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”
等表示出来.如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,
这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积来解决.
-29考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练3(1)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为
1
4
1
4
2
方体内部的半球的体积为 × πr3= × π×13= π,
2
3
2
3
2
π
3
3
π
则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1- 8 =1-12.
-24考点1
考点2
考点3
考点4
(2)用x轴表示小张到校时刻,用y轴表示小王到校时刻,建立平面
直角坐标系如图所示.
设小张到校的时刻为x,小王到校的时刻为y,则x-y≥5.
3
4
5
4.(2020四川德阳模拟)在正方形ABCD中,弧AD是以AD为直径的
半圆,若在正方形ABCD中任取一点,则该点取自阴影部分内的概率
为( D )
A.
π
16
4-π
C.
4
B.
π
12
1
D.4
-8知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
解析:由对称性可得,阴影部分的面积等于△AOB的面积,
1
而△AOB 的面积占整个正方形面积的4,

π 2
=
3√3
4π
.
-20考点1
考点2
考点3
考点4
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,有一动点在长方体内随机
1
运动,则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为
.
6
思考求与面积、体积有关的几何概型的概率的基本思路是什么?
解析:设事件M为“动点在三棱锥A-A1BD内”,
P(M)=
三棱锥 -
段长度比计算;当考察对象为线时,一般用角度比计算.
-15考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练1(1)(2020广东东莞期末)东莞城市候机楼至广州白云机
场的机场大巴发车时间间隔20分钟,每天早晨7:40,8:00,8:20,8:40均
有机场大巴发车.叶先生通过网络平台预定了早晨8:20的机场大巴
票,他预计在7:20至8:20之间到达东莞城市候机楼,那么他等车时间
( C )
3
1
1
1
1
1
1
1
A.4 + 2π
B.2 + π
C.4 − 2π
D.2 − π
(2)任取k∈[-1,1],直线l:y=kx+3与圆C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N
两点,则|MN|≥2 √3 的概率为( A )
600个随机数x1,x2,…,x800,y1,y2,…,y800,已知800个点(x1,y1),
(x2,y2),…,(x800,y800)落在阴影部分的个数为m,则m的估计值为(
)
A.157
关闭

由题意,得800 =
1
1
π×
2
4
1
,解得 m≈314,故选 B.
关闭
B
解析
答案
-7知识梳理
1
双基自测
2
利用几何概型公式结合题意可得,这只蚊子安全飞行的概率 P= =
π
1
.
关闭
6π
6
解析
答案
-10知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
自测点评
1.“几何概型”与“古典概型”两者共同点是基本事件的发生是等
可能的,不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概
型中基本事件的个数是有限的.
2.在几何概型的试验中,事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度
②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算

频率fn(A)= 作为所求概率的近似值.
-4知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内
随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等. ( √ )
11.3
几何概型
-2知识梳理
双基自测
1
2
1.几何概型
(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
长度
(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几
何概率模型,简称为几何概型.
(2)特点
①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;
②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.
(3)公式:
构成事件的区域长度(面积或体积)
-13考点1
考点2
考点3
考点4
(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB= √3 ,BC=1,在∠DAB内任作射线
1
AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为
.
3
思考如何确定几何概型的概率是用长度或角度的比来求?
-14考点1
考点2
考点3
考点4
解析:(2)因为在∠DAB内任作射线AP,则等可能基本事件为

<
√3
,
2
2 > 2 ,
> > 0,
即 2
化简得
< 2.
< 42 ,
又 a∈[1,5],b∈[2,4],画出满足不等式组的平面区域(阴影部分),
15
如图所示,求得阴影部分的面积为 4 ,
阴影
故所求的概率为
矩形
=
15
4
2×4
=
15
32
.
-28考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是通过
巴票,
若他等车时间不超过20分钟,
则必须8:00至8:20到站满足要求.
由几何概型中的线段型可得
20
1
他等车时间不超过Βιβλιοθήκη 20 分钟的概率是60 = 3.故选 A.
-17考点1
考点2
考点3
考点4
(2)如图,在Rt△ABC中,A=90°,AB=AC=a,取BC的中点为O,
√2
则 AO= 2 a.
√10
由题意,知0≤x≤20,0≤y≤20,可行域如图所示,其中,阴影部分表
示小张比小王至少晚5分钟到校.
- = 5,
由
得 A(20,15).易知 B(20,20),C(5,0),D(20,0).
= 20
1
由几何概型概率公式,得所求概率为
△
正方形
=
2
×15×15
20×20
9
= 32.
长方体 -
1
1 1 1 1
=
三棱锥
1 -
长方体 -
1 1 1 1
1
1
1 ·矩形
3
2
=
1 ·矩形
1
= .
6
-21考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得求与面积、体积有关的几何概型的概率的基本思路:用
图形准确地表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条
量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关.
3.因为随机模拟得到的是某一次的频率,所以相同环境下两次随
机模拟得到的概率的估计值可能相等也可能不相等.
-11考点1
考点2
考点3
考点4
考点 1 与长度、角度有关的几何概型
例1(1)十九世纪末,法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝
特朗悖论”,即“在一个圆内任意选一条弦,这条弦的弦长大于这个圆
1
故所求概率为4.故选 D.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行,当蚊子在该正方体的
内切球中飞行时属于安全飞行,则这只蚊子安全飞行的概率
是
.
关闭
设正方体的棱长为 2a,其体积 V1=(2a)3=8a3,内切球直径为 2a,其体积
4
4
V2= πR3= πa3.
3
3
2
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.
( √ )
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关. ( × )
(4)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.
( × )
(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率. ( √ )
-5知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时
该概率为p,则p=( C )
1
A.
5
1
B.
4
1
C.
3
1
D.
2
-12考点1
考点2
考点3
考点4
解析:(1)设“弦AB的长超过圆内接等边三角形边长”为事件M,以
点A为一顶点,在圆中作一圆内接等边三角形ACD,如图所示,
则要满足题意,点B只能落在劣弧CD上,又圆内接等边三角形
ACD恰好将圆周3等分,
1
故 p=3.
0 < < 1,
1
1
1
由不等式组 0 < < 1,所构成的三角形的面积为 ×1× = .
2
2
4
> 2
1
故所求的概率为4.
-27考点1
考点2
考点3
2
考点4
2
√3
(2)方程 2 + 2 =1 表示焦点在 x 轴上,且离心率小于 2 的椭圆,
> > 0,
则
=


=
√ 2 - 2
P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
-3知识梳理
双基自测
1
2
2.随机模拟方法
(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出
随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.
(2)用计算机或计算器模拟试验的方法的基本步骤:①用计算机或
计算器产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;
间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒
才出现绿灯的概率为(
)
7
5
A.10
3
B.8
C.8
3
D.10
关闭
因为红灯持续时间为 40 秒,所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现
40-15
绿灯的概率为
B
40
5
= 8,故选 B.
关闭
解析
答案
-6知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
3.如图,正方形内的曲线C是以1为直径的半圆,从区间[0,1]上取1
表示焦点在 x
√3
轴上,且离心率小于 的椭圆的概率为
2
15
32
.
思考如何把看似与几何概型无关的知识转化成与几何概型有关
的问题?
-26考点1
考点2
考点3
考点4
解析:(1)因为函数f(x)在区间[1,+∞)内是单调递增,且a>0,所以由
二次函数的单调性可得,
-4
-
2
=
2

≤1,即 a≥2b.
如图,由 0<a<1,0<b<1 所构成的正方形的面积为 1,
的内接等边三角形边长的概率是多少?”贝特朗用“随机半径”“随机
端点”“随机中点”三种方法求解,所得结果均不相同.该悖论的矛头
直击概率概念本身,这极大地促进了概率论基础的严格化.已知“随
机端点”的方法如下:设A为圆O上一个定点,在圆周上随机取一点B,
连接AB,求所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率.记