北京市通州区八年级（上）期末数学试卷

八年级（上）期末数学试卷
题号题号 一 二 三 四 总分总分 得分得分
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）分） 1. 若代数式x−2x+3有意义，则x 的取值是（的取值是（ ）
A. x=2
B. x≠2
C. x=3
D. x≠−3
2. 若代数式x 有意义，则x 的取值是（的取值是（ ） A. x=0 B. x≠0 C. x≥0 D. x>0
3. “瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式
各样，属于中国特有的文化艺术遗产．属于中国特有的文化艺术遗产．下列下列“瓦当”的图案中，是轴对称图形的为（称图形的为（ ）
A. B. C.
D.
4. 如图：过△ABC 的边BC 上一点D 作DF ∥AC ，若∠A =40°，
∠B =60°，则∠FDB 的度数为（的度数为（ ）
A. 40∘
B. 60∘
C. 100∘
D. 120∘
5. 下列多边形中，内角和为720°的图形是（的图形是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 如图，两个三角形△ABC 与△BDE 全等，观察图形，判断在这两个三角形中边DE 的对应边为（的对应边为（ ）
A. BE
B. AB
C. CA
D. BC
7. 在一条数轴上四个点A ，B ，C ，D 中的一个点表示实数8，这个点是（，这个点是（ ）
A. A
B. B
C. C
D. D
8. 下列事件中，满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是（ ）
A. 在50件同种产品中，检验员从中取出一件进行检验，检验员从中取出一件进行检验，取出每件产品的可能性相取出每件产品的可能性相
同
B. 一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1−6点数朝上的可能性相同点数朝上的可能性相同
C. 小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性相同小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性相同
D. 口袋里有5个颜色不同的球，从口袋里随意摸出一个球，摸出每个球的可能性
相同相同
二、填空题（本大题共7小题，共14.0分）分） 9. 实数94的平方根是______． 10. (2−5)2=______． 11. 写出一个比4大且比5小的无理数：______．
12. 如图，在△ABC 中，AC =BC ，D 是BA 延长线上一点，E
是CB 延长线上一点，F 是AC 延长线上一点，∠DAC =130°，则∠ECF 的度数为______．
13. 等腰三角形的一腰长为3，底边长为4，那么它底边上的高为______． 14. 在解分式方程12x+1=23x 的过程中，该分式方程等号两边同时乘以6x 可以去分母，若6x ≠0可以得到与其同解的整式方程3+6x =4，此步骤的依据是______．
15. 如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：
①以B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于D ，交
BC 于E ；
②分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ； ③作射线BF 交AC 于G ．
如果BG =CG ，∠A =60°，那么∠ACB 的度数为______．
三、计算题（本大题共4小题，共21.0分）分） 16. 计算：aa2−b2−1a+b
17. 解方程：x+1x−1−6x2−1=1．
18. 已知a -b =23，求代数式(a2+b22a−b)⋅aa−b 的值．的值．
19. 如果a2+2a-1=0，求代数式（a-4a）•a2a−2的值．
的值．
四、解答题（本大题共9小题，共49.0分）
分）
20. 在括号内填入适当的整式，使分式值不变：ba=()−a2．
21. 计算：(23+2)(23−2)
22. 12x=2x+3．
23. 如图，
如图，点点C在线段AE上，BC∥DE，AC=DE，BC=CE．求
证：AB=CD．
24. 已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，DE∥AC，求证：△ADE
是等腰三角形．
25. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=BC=2，CD=1，
的长．
求AD的长．
26. 已知：过点A的射线l⊥AB，在射线l上截取线段AC=AB，
过A的直线m不与直线l及直线AB重合，过点B作BD⊥m 于点D，过点C作CE⊥m于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：△AEC≌△BDA．
27. 已知：线段AB．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，与线段AB交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，点C为l上一个动点（点C不与点D重合），连接CB，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
①当垂足E在线段BC上时，直接写出∠ABC度数的取值范围．
②若∠B=60°，求证：BD=12BC．
28. 在等边△ABC中，
的度数；
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：P A=PM．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：由题意得，x+3≠0，
x≠-3-3．
解得x≠
故选：D．
根据分式有意义分母不等于0列式计算，求出x的取值范围即可得解． 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）如果分式无意义，那么分母为零；
（2）如果分式有意义，那么分母不为零；
（3）如果分式的值为零，那么分子为零且分母不为零．
反之也成立．
2.【答案】C
【解析】
解：由题意得：x≥0，
故选：C．
二次根式有意义要求被开方数为非负数，由此可得出x的取值范围．
本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握被开方数只能为非负数．
3.【答案】B
【解析】
解：A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、是轴对称图形，故选项正确；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：B．
根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．
本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴．
4.【答案】C
【解析】
解：∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠C=80°，
又∵DF∥AC，
∴∠CDF=∠C=80°，
∴∠FDB=100°，
故选：C．
依据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠FDB的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】D
【解析】
解：这个正多边形的边数是n，则
（n-2）•180°=720°，
解得：n=6．
则这个正多边形的边数是六，
故选：D．
n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
本题考查了多边形内角和定理，此题只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．
6.【答案】B
【解析】
解：∵△ABC与△BDE全等，BD＜DE＜BE，BC＜AB＜AC，
∴在这两个三角形中边DE的对应边为AB，
故选：B．
全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的性质，解决问题的关键是掌握：全等三角形的
7.【答案】D
【解析】
解：∵2.5＜＜3，
∴在一条数轴上四个点A，B，C，D中的一个点表示实数，这个点是D． 故选：D．
首先判断出的取值范围，然后根据：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，判定出这个点是哪个即可．
此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
8.【答案】B
【解析】
解：A、在50件同种产品中，检验员从中取出一件进行检验，取出每件产品的可能性不相同，应该对50件产品编序号，然后抽取序号的方式，这样满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等；
B、一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1-6点数朝上的可能性相同，这个事件满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等；
C、小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性不相
同；
D、口袋里有5个颜色不同的球，从口袋里随意摸出一个球，满足摸出每个球的可能性相同，则要使5个球只是颜色不同，其它都一样．
故选：B．
利用随机事件发生的可能性是否一样对各选项进行判断．
本题考查了可能性的大小：对于机事件发生的可能性（概率）的计算方法，只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． 9.【答案】±32
解：∵（±）22
=， ∴实数的平方根是±． 故答案为±．
根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x ，使得x 22
=a ，则x 就是a 的平方根，由此即可解决问题．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 10.【答案】5-2
【解析】
解：原式=|2-|=-（2-）=-2．
故答案为-2．
根据简
=|a|得到原式=|2-|，然后根据绝对值的意义去绝对值即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了绝对值的意义．
11.【答案】17
【解析】
解：比4大且比5小的无理数可以是．
故答案为． 由于4=
，5=
，所以可写出一个二次根式，此根式的被开方数大于16
且小于25即可．
本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
12.【答案】100°
【解析】
解：∵∠DAC=130°，∠DAC+∠CAB=180°，
∴∠CAB=50°， ∵AC=BC ，
∴∠CBA=50°，∠ACB=180°ACB=180°-50°-50°-50°-50°-50°-50°=80°=80°，
∴∠ECF=180°ECF=180°-80°-80°-80°=100°=100°， 故答案为：100°．
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和解答即可．
此题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，关键是根据等腰三角形的性质
13.【答案】5
【解析】
解：如图，∵AB=AC=3，BC=4，AD ⊥BC ， ∴BD=DC=2，
在Rt △ABD 中，由勾股定理得：AD==
．
故答案为：
．
等腰三角形的腰和底边高线构成直角三角形，根据勾股定理即可求得底边上高线的长度．
本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
14.【答案】分式基本性质：分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不
变
【解析】
解：在解分式方程的过程中，该分式方程等号两边同时乘以6x 可
以去分母，
若6x≠0可以得到与其同解的整式方程3+6x=4，此步骤的依据是分式基本性质：分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变， 故答案为：分式基本性质：分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变．
依据分式的基本性质进行判断即可．
本题主要考查了解分式方程，解决问题的关键是掌握解分式方程的基本步骤．
15.【答案】40°
【解析】
解：由作法得BG 平分∠ABC ，
∴∠ABG=∠CBG ， ∵BG=CG ， ∴∠C=∠CBG ，
∴∠ABG=∠CBG=∠C ， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， 即60°60°+3+3∠C=180°， ∴∠C=40°．
故答案为40°．
利用基本作图可判断BG平分∠ABC，则∠ABG=∠CBG，再利用BG=CG得到∠C=∠CBG，然后根据三角形内角和计算∠C的度数．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，
逐步操作．
16.【答案】解：原式=a(a+b)(a−b)−1a+b
=a(a+b)(a−b)−a−b(a+b)(a−b)
=a−(a−b)(a+b)(a−b)
=a−a+b(a+b)(a−b)
=b(a+b)(a−b)．
【解析】
先通分化为同分母分式，再利用同分母分式的加减法则计算，约分得到最简
结果．
本题考查了分式的加减运算，掌握运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：x+1x−1−6x2−1=1
方程两边同乘以（x+1）（x-1）
得（x+1）2-6=（x+1）（x-1）（2分）
分）
整理，得2x=4（3分）
x=2（4分）
检验，把x=2代入（x+1）（x-1）=3≠0．
所以，原方程的根是x=2．（5分）
【解析】
观察可得最简公分母是（x+1）（x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方
程转化为整式方程求解．
本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分
式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
18.【答案】解：原式=(a2+b22a−2ab2a)⋅aa−b
=a2+b2−2ab2a⋅aa−b
=(a−b)22a⋅aa−b
=a−b2，
当a-b=23时，原式=232=3．
【解析】
原式括号中通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分得到最简结果，把a-b=2整体代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】解：原式=(a2a−4a)⋅a2a−2
=a2−4a⋅a2a−2
=(a+2)(a−2)a⋅a2a−2
=a（a+2）
=a2+2a，
∵a2+2a-1=0，
∴原式=1．
【解析】
原式括号中通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分得到最简结果，然后对a2+2a-1=0变形即可解答本题．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：分式的分子分母都乘以-a，得ba=−ab−a2．
∴括号内应填入-ab．
故答案为：-ab．
【解析】
根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的基本性质，解题时注意：分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．
21.【答案】解：原式=(23)2−(2)2
=12-2
=10．
【解析】
可运用平方差公式，直接计算出结果．
本题考查了乘法的平方差公式．掌握平方差公式的结构特点是解决本题的关键．
22.【答案】解：方程两边同时乘以2x（x+3）得，x+3=4x，
整理得，3x=3，解得x=1，
把x=1代入2x（x+3）得，2x（x+3）=8，
故x=1是原分式方程的解．
【解析】
先把分式方程化为整式方程，求出x的值，代入最简公分母进行检验即可． 本题考查的是解分式方程，在解答此类问题时要注意验根．
23.【答案】解：∵BC∥DE
∴∠ACB=∠E，
在△ABC和△DCE中
∵AC=DE∠ACB=∠EBC=CD
∴△ABC≌△DCE（SAS）
∴AB=CD．
【解析】
利用SAS证明△ABC≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等即可得到
AB=CD．
本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明
△ABC≌△DCE（SAS）．
24.【答案】证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠ADE=∠1，
∴EA=ED，
是等腰三角形．
即△ADE是等腰三角形．
【解析】
欲证明△ADE是等腰三角形，只要证明∠ADE=∠1即可．
本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25.【答案】解：连接AC，
∵∠B=90°
∴AC2=AB2+BC2．
∵AB=BC=2
∴AC2=8．
∵∠D=90°
∴AD2=AC2-CD2．
∵CD=1，
∴AD2=7．
∴AD=7．
【解析】
连接AC，首先由勾股定理求得AC2的值；然后在直角△ACD中，再次利用勾股定理来求AD的长度即可．
考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
26.【答案】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵直线l⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∴∠CAE+∠DAB=90°，
∵BD⊥m，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠B=90°，
∴∠CAE=∠B，
∵BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，
∴∠CEA=∠DAB=90°，
在△AEC和△BDA中，
∠CAE=∠B∠CEA=∠DABAC=BA，
∴△AEC≌△BDA（AAS）．
【解析】
（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据AAS证明即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27.【答案】解：（1）如图所示，直线l即为所求，
（2）①当垂足E在线段BC上时，45°≤∠ABC＜90°；
②如图，连接AC，
∵CD是 AB的垂直平分线
∴BD=12AB，CA=CB，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
是等边三角形，
∴BC=AB，
∴BD=12BC．
【解析】
（1）分别以A，B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧，过两弧的交点作直线l即可；
（2）①依据图形即可得到∠ABC度数的取值范围．②连接AC，依据线段垂直平分线的性质以及等边三角形的性质，即可得到结论．
本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
28.【答案】解：（1）∵△ABC为等边三角形
为等边三角形
∴∠B=60°
∴∠APC=∠BAP+∠B=80°
∵AP=AQ
∴∠AQB=∠APC=80°，
补全图形如图所示，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，AP=AQ，
可得∠P AB=∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM
∴∠P AB=∠MAC，AQ=AM
∴∠P AM=∠BAC=60°，
∴△APM为等边三角形
为等边三角形
∴P A=PM．
【解析】
（1）根据三角形的外角性质得到∠APC，由等腰三角形的性质即可得到结论； （2）①根据题意补全图形即可；
②过点A作AH⊥BC于点H，根据等边三角形的判定和性质解答即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的
性质，轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．。