《数列的概念》 导学案

《数列的概念》导学案
一、学习目标
1、理解数列的概念，了解数列的分类。

2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。

3、能根据数列的前几项写出数列的通项公式。

二、学习重点
1、数列的概念及表示方法。

2、数列的通项公式的求法。

三、学习难点
1、根据数列的前几项写出数列的通项公式。

2、理解数列是一种特殊的函数。

四、知识链接
1、函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

2、函数的表示方法：列表法、图象法、解析式法。

五、学习过程
（一）引入
在日常生活中，我们经常会遇到按照一定顺序排列的数，比如：
1、一个班学生的学号：1，2，3，4， (50)
2、某剧场的座位号：10，12，14，16，…。

3、银行利息按时间顺序排列：5%，52%，55%，…。

像这样按照一定次序排列的一列数称为数列。

（二）数列的概念
1、定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。

2、数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，……，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。

例如，数列 2，4，6，8，10，… ，第 1 项是 2，第 2 项是 4，第 3 项是 6，第 4 项是 8，第 5 项是 10。

3、数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}。

其中 an 是数列的第 n 项。

（三）数列的分类
1、按项数的多少，数列可以分为有穷数列和无穷数列。

有穷数列：项数有限的数列。

无穷数列：项数无限的数列。

例如，数列 2，4，6，8，10 是有穷数列；数列 1，3，5，7，… 是
无穷数列。

2、按项的大小变化，数列可以分为递增数列、递减数列、常数列
和摆动数列。

递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。

递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。

常数列：各项都相等的数列。

摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。

例如，数列 1，2，3，4，5，… 是递增数列；数列 5，4，3，2，1，… 是递减数列；数列 3，3，3，3，… 是常数列；数列 1，－1，1，－1，1，－1，… 是摆动数列。

（四）数列与函数的关系
1、数列可以看作是一个定义域为正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函
数值。

2、数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

例如，数列 2，4，6，8，10，… 的通项公式为 an ＝ 2n 。

（五）由数列的前几项求通项公式
1、观察法
通过观察数列的前几项，分析其规律，尝试写出通项公式。

例如，数列 1，－1，1，－1，1，－1，… 的通项公式可以写为
an ＝（－1)＾（n ＋ 1) 。

2、叠加法
对于一些形如 an an 1 ＝ f(n) （n ≥ 2）的递推关系，可以通过叠加
的方法求出通项公式。

例如，已知 a1 ＝ 1 ， an an 1 ＝ n （n ≥ 2），则：
a2 a1 ＝ 2
a3 a2 ＝ 3
a4 a3 ＝ 4
…
an an 1 ＝ n
将以上 n 1 个式子相加，得：
an a1 ＝ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋… ＋ n
因为 a1 ＝ 1 ，所以 an ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ n ＝ n(n ＋ 1)／2 。

3、累乘法
对于一些形如 an ／ an 1 ＝ f(n) （n ≥ 2）的递推关系，可以通过累乘的方法求出通项公式。

例如，已知 a1 ＝ 1 ， an ／ an 1 ＝ n （n ≥ 2），则：
a2 ／ a1 ＝ 2
a3 ／ a2 ＝ 3
a4 ／ a3 ＝ 4
…
an ／ an 1 ＝ n
将以上 n 1 个式子相乘，得：
an ／ a1 ＝ 2 × 3 × 4 × … × n
因为 a1 ＝ 1 ，所以 an ＝ n! 。

（六）例题讲解
例 1、写出下列数列的一个通项公式：
（1）1，3，5，7，9，…
（2）2，4，6，8，10，…
（3）1，4，9，16，25，…
解：（1）观察数列可知，每一项都是奇数，且第 n 项为 2n 1 ，所以通项公式为 an ＝ 2n 1 。

（2）观察数列可知，每一项都是偶数，且第 n 项为 2n ，所以通项公式为 an ＝ 2n 。

（3）观察数列可知，每一项都是平方数，且第 n 项为 n^2 ，所以通项公式为 an ＝ n^2 。

例 2、已知数列{an}的通项公式为 an ＝ n^2 5n ＋ 4 ，求数列的最小项。

解：因为 an ＝ n^2 5n ＋ 4 ＝（n 5/2)＾2 9/4 ，
所以当 n ＝ 2 或 n ＝ 3 时，an 取得最小值，且 a2 ＝ a3 ＝－2 。

（七）课堂练习
1、写出数列 3，－6，9，－12，15，… 的通项公式。

2、已知数列{an}的通项公式为 an ＝ 3n 1 ，求 a5 和 a10 。

3、已知数列{an}满足 a1 ＝ 1 ， an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 1 ，求数列{an}的通项公式。

（八）课堂小结
1、数列的概念：按照一定顺序排列的一列数。

2、数列的分类：有穷数列、无穷数列；递增数列、递减数列、常
数列、摆动数列。

3、数列与函数的关系：数列可以看作是一个特殊的函数。

4、数列的通项公式：表示数列第 n 项与序号 n 之间关系的公式。

5、由数列的前几项求通项公式的方法：观察法、叠加法、累乘法。

（九）课后作业
1、课本 PXX 第 1、
2、3 题。

2、思考：如何判断一个数列的单调性？。