山东省淄博市2014届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A版

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高三教学质量抽测试题理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。

满分150分。

考试用时120分钟.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(共60分)
注意事项:
I .第Ⅰ卷共12小题.
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上,只答在试卷上不得分。

一、选择题(本大题共l2小题,每小题5分,满分60分.每小题只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合}1|{>=x x A ,集合}3|{x y x B -==,则=B A
A .),0[+∞
B .)1,(-∞
C .),1[+∞
D .]3,1(
2.复数z 满足i z i +=-7)21(,则复数=z A .1+3i
B . l-3i
C .3+ i
D .3-i
3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A .3
x x y +=
B .x
y 3=
C .x y 2log =
D .x
y 1
-
= 4.执行如图所示的程序框图,若输出结果为3,则可输入的实数x 的个数为
A .1
B .2
C .3
D .4
5.已知实数a 、b ,则“a >b ”是“2
2
b a >”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
6.已知,等比数列}{n a 的公比为正数,且2
5932a a a =,22=a ,则=1a
A .
2
1 B .
2
2 C .2
D .2
7.如图所示的三棱柱,其正视图是一个边长为2的正方形,其俯视图是一个正三角形,该三棱柱侧视图的面积为
A .32
B .3
C .22
D .4
8.已知函数①x x y cos sin +=,②x x y cos sin 22=,则下列结论正确的是 A .两个函数的图象均关于点)04
(,π
-成中心对称 B .两个函数的图象均关于直线4
π
-=x 对称 C .两个函数在区间)4
4(π
π,-
上都是单调递增函数 D .可以将函数②的图像向左平移4
π
个单位得到函数①的图像 9.函数x
y -=11
ln
的图象大致为
10.若O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足0)2()(=-+⋅-OA OC OB OC OB ,则△ABC 的形状为
A .正三角形
B .直角三角形
C .等腰三角形
D .等腰直角三角形
11.下列四个命题:
①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度;
②某只股票经历了10个跌停(下跌10%)后需再经过10个涨停(上涨10%)就可以回
到原来的净值;
③某校高三一级部和二级部的人数分别是m 、n ,本次期末考试两级部数学平均分分别是a 、b ,则这两个级部的数学平均分为
n
mb
m na +
; ④某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查,现将800名学生从l 到800进行编号.已知从497~513这16个数中取得的学生编号是503,则初始在第1小组1~16中随机抽到的学生编号是7.
其中真命题的个数是 A .0个
B .1个
C .2个
D .3个
12.已知A 、B 、P 是双曲线122
22=-b
y a x 上的不同三点,且A 、B 关于坐标原点对称,若
直线PA 、PB 的斜率乘积3
2
=
⋅PB PA k k ,则该双曲线的离心率等于 A .
2
5 B .
26
C .2
D .
3
15 第Ⅱ卷(共90分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷共10道题.
2.第Ⅱ卷所有题目的答案,考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内,在试卷上答题不得分。

二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在答题卷相应位置上.) 13.计算定积分
=+⎰-dx x x
)sin ( 2
1
1
____________
14.已知函数1)1ln()(-+-=x x x f ,函数零点的个数是________
15.设z =x +y ,其中x ,y 满足⎪⎩

⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 000
2,若z 的最大值为2014,则k 的值为_______.
16.若实数a 、b 、c 满足2a
+2b
=2a +b
,2a
+2b
+2c
=2
a +
b +c
,则c 的最大值是________.
三、解答题(本大题共6小题,满分74分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
在△ABC 中,a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边,且bc c b a ++=2
2
2
. (I )求A 的大小;
(Ⅱ)若sin B +sin C =1,试求内角B 、C 的大小.
18.(本小题满分12分)
四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形;侧棱PD⊥底面ABCD ,PD=DC ,E 是PC 的中点. (I )证明:PA∥平面BDE ;
(Ⅱ)求二面角B-DE-C 平面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
请你设计一个包装盒,如图所示ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD 四个点重合于图中的点P ,正好形成一个四棱柱形状的包装盒,其中E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB= x cm .
(I )某广告商要求包装盒侧面积S (cm 2
)最大,试问x 应取何值;
(II )某广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
20.(本小题满分12分)
等差数列}{n a 中,31 a ,其前n 项和为n S ,等比数列}{n b 中各项均为正数,b 1 =1,
且1222=+S b ,数列{b n }的公比2
2
b S q =
. (I )求数列}{n a 与}{n b 的通项公式; (Ⅱ)证明:
3
21113121<+⋯++≤n S S S . 21.(本小题满分13分)
已知动圆C 与圆1)1(:2
2
1=++y x C 相外切,与圆9)1(:2
2
2=+-y x C 相内切,设动圆圆心C 的轨迹为T ,且轨迹T 与x 轴右半轴的交点为A .
(I )求轨迹T 的方程;
(Ⅱ)已知直线l :y=kx +m 与轨迹为T 相交于M 、N 两点(M 、N 不在x 轴上).若以MN 为直径的圆过点A ,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.
22.(本小题满分13分)
已知函数x ax x f ln )(=(a 为非零常数)图像上点(e ,f (e ))处的切线与直线y = 2x 平行(其中e = 2.71828…).
(I )求函数f (x )解析式;
(Ⅱ)求函数f (x )在[t ,2t ](t >0)上的最小值;
(Ⅲ)若斜率为k 的直线与曲线)('x f y =交于A (x 1,y 1)、)(22y x B ,(21x x <)两点,求证:211
x k
x <<

2014届高三上学期期末考试数学试题
答案(文理)(阅卷)
一、选择题
1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.D 10.C B 11.(文理)C 12. D 二、填空题: 13.(理)
23
,(文)0;14. 2;15. 1007;16.(理)22log 3-,(文)①④. 17.(本小题满分12分)
解析:(Ⅰ)∵bc c b a ++=222,由余弦定理得:A bc c b a cos 22
22-+=,
故︒=-
=120
,2
1
cos A A 23π ………………6分 (Ⅱ)∵1sin sin =+C B ,∴1)3
sin(sin =-+B B π

∴1sin 3
cos cos 3sin
sin =-+B B B π
π
,13sin cos 122B B +
=,………………8分 方法一:∴1sin 3cos cos 3sin
=+B B ππ,∴1)3
sin(=+π
B , ………………10分
又∵B 为三角形内角,2
333
ππB π<+<,
故32ππB +=,从而6
π
B C ==. ………………12分
方法2:22sin 3cos 2
sin cos 1
B B B B ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得3cos 2B = ………………10分 又∵B 为三角形内角,故6
π
B C ==. ……………12分 (注:处理角C 同等对待!)
18.(本小题满分12分)
(理)
解析:(Ⅰ)如图,连接AC 交BD 于F ,再连接EF ; ……………………1分 因为四边形ABCD 为正方形,所以F 为AC 中点; ……………………3分 又因为E 为PC 中点,所以EF//PA ; ……………………5分 因为EF ⊂平面BDE ,PA ⊄平面BDE ,且EF//PA ,
所以PA //平面BDE ; ……………………6分 (Ⅱ)
方法一:如图所示,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.
设PD=DC=2,则A (2,0,0),P (0,0,2),E (0,1,1),B (2,2,0). (2,0,2),(0,1,1),(2,2,0)
PA DE DB =-==.(只建系无坐标不得分) ………………7分
设(,,1)n x y =是平面BDE 的一个法向量,
则由00
n DE n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩,得10220y x y +=⎧⎨+=⎩,即(1,1,1)n =- ………………9分
又2
(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量. ……………10分
设二面角B ―DE ―C 的平面角为θ, ∴12121223
cos cos ,||||32
n n n n n n θ⋅=<>=
==
⋅⨯. 故二面角B ―DE ―C 平面角的余弦值为
3
3
. ……………12分 方法二:因为BC CD ⊥,BC PD ⊥,所以BC ⊥平面CDP ,DE BC ⊥; 又因为△CDP 为等腰直角三角形,E 为CP 的中点,所以DE PC ⊥; 因为DE PC ⊥,DE BC ⊥,所以DE ⊥平面BCP ,DE BE ⊥;
由于DE BE ⊥,DE PC ⊥,故二面角B ―DE ―C 的平面角为BEC ∠;………………8分
在△BCE 中,90o
BCE ∠=,1222
CE CP BC =
=, 222226(
)22
BE BC CE BC BC BC =+=+=, 所以3
tan CE BEC BE ∠=
=, ……………10分 故二面角B ―DE ―C 3
……………12分
(文)
证明:(Ⅰ)由已知,M 为AB 的中点,D 为PB 的中点,
所以MD 是△ABP 的中位线,所以MD ∥AP . ………………………3分 又MD ⊄平面APC ,AP ⊂平面APC ,故MD ∥平面APC . ………………………6分 (Ⅱ)因为△PMB 为正三角形,D 为PB 的中点,所以MD ⊥PB .
又因为MD ∥AP ,所以AP ⊥PB . ………………………7分 又AP ⊥PC ,AP ⊥PB ,PB∩PC=P ,所以AP ⊥平面PBC . ………………………8分 因为BC ⊂平面PBC ,所以AP ⊥BC . ………………………9分 又BC ⊥AC ,且BC ⊥AP ,AC∩AP=A ,所以BC ⊥平面APC . ………………………11分 因为BC ⊂平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面APC . …………………………12分 19.(本小题满分12分) (理)
解析:设包装盒的高为h (cm ),底面边长为a (cm ),
由已知得:
.
300),30(22
260,2<<-=-==x x x
h x a …………2分
(Ⅰ),
1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S
…………4分
所以当15=x 时,S 取得最大值.
…………6分 (Ⅱ)232V a h ==-+.
…………8分
由).20(26),30(22222x x V x x h a -='+-=由0V '=得:0x =(舍)或x =20. 当(0,20)x ∈时,0V '>; 当(20,30)x ∈时,0V '<;
所以当x =20时,V 取得极大值,也是最小值.
…………10分
此时
11
22
h a =即,装盒的高与底面边长的比值为1.2
…………12分
(文)
解析:(Ⅰ)4,6,6;
…………4分
(Ⅱ)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3,A 4,A 5,A 10,A 11,A 13.
从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{A 3,A 4},{A 3,A 5},{A 3,A 10},{A 3,A 11},
{A 3,A 13},{A 4,A 5},{A 4,A 10},{A 4,A 11},{A 4,A 13},{A 5,A 10},{A 5,A 11},{A 5,A 13},{A 10,A 11},{A 10,A 13},{A 11,A 13},共15种.
…………8分
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有:{A 4,A 5},{A 4,A 10},{A 4,A 11},{A 5,A 10},{A 10,A 11},共5种.
所以P(B)=515=1
3

…………12分
20.(本小题满分12分)
解析:(Ⅰ)由于221212S b q =-=-,可得12q
q q
-=
,………………2分 解得:3q =或4q =-(舍去), ………………………3分
29S =,212123d a a S a =-=-=, ………………………4分
3(1)33n a n n ∴=+-= ………………………5分 13n n b -= ………………………6分
(Ⅱ)证明:由3n a n =,得(33)12211
()2(33)31n n n n S S n n n n +=
∴==-++ ………………………7分
(33)12211
()2(33)31
n n n n S S n n n n +=
∴==-++
121112*********
(1)(1)322334131
n S S S n n n ∴
+++=-+-+-++-=-++…… …………9分
111212
10(1)123313n n n ≥∴<
≤∴≤-<
++ …………11分
故1211112
33n S S S ≤+++<…
…………12分
21.(本小题满分12分)
解析: (Ⅰ) 11+=r CC ,r CC -=32,∴1CC +2CC = 4 ………2分
∴点C 的轨迹是以1C 、2C 为焦点(c=1),长轴长2a = 4的椭圆 ………………4分]
∴点C 的轨迹T 的方程是13
42
2=+y x ……………………………………6分
(Ⅱ)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,
将y kx m =+代入椭圆方程得:2
2
2
(43)84120k x kmx m +++-=.
212122
2
8412
,4343
km m x x x x k k --∴+==++. (*式) ……………………………8分 MN 为直径的圆过点A ,A 点的坐标为(2,
0)
, 0AM AN ∴•=,即1212(2)(2)0x x y y --+=. ……………………………10分
11y kx m =+,22y kx m =+,22121212(2)()y y k x x km x x m =+-++,代入(*式)
得:22
71640m km k ++=,
27m k ∴
=-或2m
k
=-都满足0∆>, ……………………12分 由于直线l :y kx m =+与x 轴的交点为(,0m
k
-),
当2m
k =-时,直线l 恒过定点(2,0),不合题意舍去, 27m k ∴=-,直线l :2y k(x )7=-恒过定点2
(,0)7.………………………13分 22. (本小题满分13分) (理)
解析:(Ⅰ) 由点))(,(e f e 处的切线方程与直线02=-y x 平行,得该切线斜率为2,即
.2)('=e f
()(ln 1)f x k x '=+,
且()(ln 1)21f e k e k '=+=⇒=,所以()ln f x x x =,…………1分
()ln 1f x x '=+,
………………………2分
①102t t e <<<+,即10t e <<时,min 11
()()f x f e e
==-;………………………3分

1
2t t e
≤<+,即1t e ≥时,()f x 在[,2]t t +上单调递增,min ()()ln f x f t t t ==;……………4分 (Ⅱ)
22ln 3x x x ax ≥-+-恒成立等价于3
2ln a x x x
≤++
恒成
立; ………………………5分
设3
()2ln (0)h x x x x x
=++>,则2
(3)(1)'()x x h x x +-=; 当(0,1)x ∈,'()0h x <,()h x 单调递减; 当(1,)x ∈+∞,'()0h x >,()h x 单调递增;


min ()(1)4h x h ==. (6)
分 因为



(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,需要
min ()4a h x ≤=.………………………8分
(Ⅲ)
12ln x x e ex >-恒成立等价于2
ln ((0,))x x x x x e e >-∈+∞恒成立;
由(Ⅰ)可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -(当且仅当1
x e
=取等号) (10)

设2
()((0,))
x x m x x e e
=-∈+∞,则1'()x x m x e -=; 易得max 1
()(1)m x m e
==-(当且仅当1x =取等号). (12)
分 由于
11e
≠,从而对一切(0,)x ∈+∞,都有12
ln x x e ex >-成立. ……………
13分
(文)
解析:(Ⅰ)当5a =时2
()(53)x
g x x x e =-+-⋅,(1)g e =. ………1分
2()(32)x g x x x e '=-++⋅,故切线的斜率为(1)4g e '=. ………2分
所以切线方程为:4(1)y e e x -=-,即43y ex e =-. ………4分 (Ⅱ)()ln 1f x x '=+,
………6分
①当e
t 1

时,在区间(,2)t t +上()f x 为增函数, 所以min ()()ln f x f t t t == ………7分 ②当10t e <<
时,在区间1(,)t e 上()f x 为减函数,在区间1
(,)e e
上()f x 为增函数,
所以min 11
()()f x f e e ==-
………8分
(Ⅲ) 由()2()x g x e f x =,可得:2
23ln x x x ax =-+-, ………9分
32ln a x x x
=++
, 令32()ln h x x x x =++
, 2
2)1)(3(321)(x x x x x x h -+=-+=' .
………11分
1132()h e e e =+-,14()h =,3
2()h e e e
=++ . 12420()()h e h e e e
-=-+<. ………12分
∴实数a 的取值范围为3
42a e e
<≤++ . ………13分。

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