山东省淄博市2014届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A版

高三教学质量抽测试题理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）
注意事项：
I ．第Ⅰ卷共12小题．
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，满分60分．每小题只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合}1|{>=x x A ，集合}3|{x y x B -==，则=B A
A ．),0[+∞
B ．)1,(-∞
C ．),1[+∞
D ．]3,1(
2．复数z 满足i z i +=-7)21(，则复数=z A ．1+3i
B ． l-3i
C ．3+ i
D ．3-i
3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A ．3
x x y +=
B ．x
y 3=
C ．x y 2log =
D ．x
y 1
-
= 4．执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知实数a 、b ，则“a >b ”是“2
2
b a >”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知，等比数列}{n a 的公比为正数，且2
5932a a a =，22=a ，则=1a
A ．
2
1 B ．
2
2 C ．2
D ．2
7．如图所示的三棱柱，其正视图是一个边长为2的正方形，其俯视图是一个正三角形，该三棱柱侧视图的面积为
A ．32
B ．3
C ．22
D ．4
8．已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是 A ．两个函数的图象均关于点)04
(，π
-成中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线4
π
-=x 对称 C ．两个函数在区间)4
4(π
π，-
上都是单调递增函数 D ．可以将函数②的图像向左平移4
π
个单位得到函数①的图像 9．函数x
y -=11
ln
的图象大致为
10．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足0)2()(=-+⋅-OA OC OB OC OB ，则△ABC 的形状为
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
11．下列四个命题：
①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；
②某只股票经历了10个跌停（下跌10%）后需再经过10个涨停（上涨10%）就可以回
到原来的净值；
③某校高三一级部和二级部的人数分别是m 、n ，本次期末考试两级部数学平均分分别是a 、b ，则这两个级部的数学平均分为
n
mb
m na +
； ④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从l 到800进行编号．已知从497～513这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组1～16中随机抽到的学生编号是7．
其中真命题的个数是 A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
12．已知A 、B 、P 是双曲线122
22=-b
y a x 上的不同三点，且A 、B 关于坐标原点对称，若
直线PA 、PB 的斜率乘积3
2
=
⋅PB PA k k ，则该双曲线的离心率等于 A ．
2
5 B ．
26
C ．2
D ．
3
15 第Ⅱ卷（共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共10道题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分。

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上．） 13．计算定积分
=+⎰-dx x x
)sin ( 2
1
1
____________
14．已知函数1)1ln()(-+-=x x x f ，函数零点的个数是________
15．设z =x +y ，其中x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 000
2，若z 的最大值为2014，则k 的值为_______．
16．若实数a 、b 、c 满足2a
+2b
=2a +b
，2a
+2b
+2c
=2
a +
b +c
，则c 的最大值是________．
三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且bc c b a ++=2
2
2
． （I ）求A 的大小；
（Ⅱ）若sin B +sin C =1，试求内角B 、C 的大小．
18．（本小题满分12分）
四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形；侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点． （I ）证明：PA∥平面BDE ；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C 平面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
请你设计一个包装盒，如图所示ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个四棱柱形状的包装盒，其中E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB= x cm ．
（I ）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2
）最大，试问x 应取何值；
（II ）某广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
20．（本小题满分12分）
等差数列}{n a 中，31 a ，其前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中各项均为正数，b 1 =1，
且1222=+S b ，数列{b n }的公比2
2
b S q =
． （I ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：
3
21113121<+⋯++≤n S S S ． 21．（本小题满分13分）
已知动圆C 与圆1)1(:2
2
1=++y x C 相外切，与圆9)1(:2
2
2=+-y x C 相内切，设动圆圆心C 的轨迹为T ，且轨迹T 与x 轴右半轴的交点为A ．
（I ）求轨迹T 的方程；
(Ⅱ)已知直线l ：y=kx +m 与轨迹为T 相交于M 、N 两点（M 、N 不在x 轴上）．若以MN 为直径的圆过点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
22．（本小题满分13分）
已知函数x ax x f ln )(=（a 为非零常数）图像上点（e ，f (e )）处的切线与直线y = 2x 平行（其中e = 2.71828…）．
（I ）求函数f (x )解析式；
（Ⅱ）求函数f (x )在[t ，2t ](t >0)上的最小值；
（Ⅲ）若斜率为k 的直线与曲线)('x f y =交于A (x 1，y 1)、)(22y x B ，（21x x <）两点，求证：211
x k
x <<
．
2014届高三上学期期末考试数学试题
答案（文理）（阅卷）
一、选择题
1．D 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．A 8．C 9．D 10．C B 11．（文理）C 12． D 二、填空题： 13．（理）
23
，（文）0；14． 2；15． 1007；16．（理）22log 3-，（文）①④． 17．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）∵bc c b a ++=222，由余弦定理得：A bc c b a cos 22
22-+=，
故︒=-
=120
,2
1
cos A A 23π ………………6分 （Ⅱ）∵1sin sin =+C B ，∴1)3
sin(sin =-+B B π
，
∴1sin 3
cos cos 3sin
sin =-+B B B π
π
，13sin cos 122B B +
=，………………8分 方法一：∴1sin 3cos cos 3sin
=+B B ππ，∴1)3
sin(=+π
B ， ………………10分
又∵B 为三角形内角，2
333
ππB π<+<，
故32ππB +=，从而6
π
B C ==． ………………12分
方法2：22sin 3cos 2
sin cos 1
B B B B ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得3cos 2B = ………………10分 又∵B 为三角形内角，故6
π
B C ==． ……………12分 （注：处理角C 同等对待！）
18．（本小题满分12分）
（理）
解析：（Ⅰ）如图，连接AC 交BD 于F ，再连接EF ； ……………………1分 因为四边形ABCD 为正方形，所以F 为AC 中点； ……………………3分 又因为E 为PC 中点，所以EF//PA ； ……………………5分 因为EF ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，且EF//PA ，
所以PA //平面BDE ； ……………………6分 （Ⅱ）
方法一：如图所示，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
设PD=DC=2，则A （2，0，0），P （0，0，2），E （0，1，1），B （2，2，0）． (2,0,2),(0,1,1),(2,2,0)
PA DE DB =-==．（只建系无坐标不得分） ………………7分
设(,,1)n x y =是平面BDE 的一个法向量，
则由00
n DE n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得10220y x y +=⎧⎨+=⎩，即(1,1,1)n =- ………………9分
又2
(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量． ……………10分
设二面角B ―DE ―C 的平面角为θ， ∴12121223
cos cos ,||||32
n n n n n n θ⋅=<>=
==
⋅⨯． 故二面角B ―DE ―C 平面角的余弦值为
3
3
． ……………12分 方法二：因为BC CD ⊥，BC PD ⊥，所以BC ⊥平面CDP ，DE BC ⊥； 又因为△CDP 为等腰直角三角形，E 为CP 的中点，所以DE PC ⊥； 因为DE PC ⊥，DE BC ⊥，所以DE ⊥平面BCP ，DE BE ⊥；
由于DE BE ⊥，DE PC ⊥，故二面角B ―DE ―C 的平面角为BEC ∠；………………8分
在△BCE 中，90o
BCE ∠=，1222
CE CP BC =
=， 222226(
)22
BE BC CE BC BC BC =+=+=， 所以3
tan CE BEC BE ∠=
=， ……………10分 故二面角B ―DE ―C 3
……………12分
（文）
证明：(Ⅰ)由已知，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，
所以MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP ． ………………………3分 又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC ． ………………………6分 (Ⅱ)因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB ．
又因为MD ∥AP ，所以AP ⊥PB ． ………………………7分 又AP ⊥PC ，AP ⊥PB ，PB∩PC＝P ，所以AP ⊥平面PBC ． ………………………8分 因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC ． ………………………9分 又BC ⊥AC ，且BC ⊥AP ，AC∩AP＝A ，所以BC ⊥平面APC ． ………………………11分 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC ． …………………………12分 19．（本小题满分12分） （理）
解析：设包装盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），
由已知得：
.
300),30(22
260,2<<-=-==x x x
h x a …………2分
（Ⅰ）,
1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S
…………4分
所以当15=x 时，S 取得最大值．
…………6分 （Ⅱ）232V a h ==-+．
…………8分
由).20(26),30(22222x x V x x h a -='+-=由0V '=得：0x =（舍）或x =20． 当(0,20)x ∈时，0V '>； 当(20,30)x ∈时，0V '<；
所以当x =20时，V 取得极大值，也是最小值．
…………10分
此时
11
22
h a =即，装盒的高与底面边长的比值为1.2
…………12分
（文）
解析：（Ⅰ）4，6，6；
…………4分
（Ⅱ）①得分在区间[20，30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13．
从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 10}，{A 3，A 11}，
{A 3，A 13}，{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 4，A 13}，{A 5，A 10}，{A 5，A 11}，{A 5，A 13}，{A 10，A 11}，{A 10，A 13}，{A 11，A 13}，共15种．
…………8分
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有：{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}，共5种．
所以P(B)＝515＝1
3
．
…………12分
20．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由于221212S b q =-=-，可得12q
q q
-=
，………………2分 解得：3q =或4q =-（舍去）， ………………………3分
29S =，212123d a a S a =-=-=， ………………………4分
3(1)33n a n n ∴=+-= ………………………5分 13n n b -= ………………………6分
（Ⅱ）证明：由3n a n =，得(33)12211
()2(33)31n n n n S S n n n n +=
∴==-++ ………………………7分
(33)12211
()2(33)31
n n n n S S n n n n +=
∴==-++
121112*********
(1)(1)322334131
n S S S n n n ∴
+++=-+-+-++-=-++…… …………9分
111212
10(1)123313n n n ≥∴<
≤∴≤-<
++ …………11分
故1211112
33n S S S ≤+++<…
…………12分
21．（本小题满分12分）
解析： （Ⅰ） 11+=r CC ，r CC -=32，∴1CC +2CC = 4 ………2分
∴点C 的轨迹是以1C 、2C 为焦点（c=1），长轴长2a = 4的椭圆 ………………4分]
∴点C 的轨迹T 的方程是13
42
2=+y x ……………………………………6分
（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，
将y kx m =+代入椭圆方程得：2
2
2
(43)84120k x kmx m +++-=．
212122
2
8412
,4343
km m x x x x k k --∴+==++． （*式） ……………………………8分 MN 为直径的圆过点A ，A 点的坐标为（2，
0）
， 0AM AN ∴•=，即1212(2)(2)0x x y y --+=． ……………………………10分
11y kx m =+，22y kx m =+，22121212(2)()y y k x x km x x m =+-++，代入（*式）
得：22
71640m km k ++=，
27m k ∴
=-或2m
k
=-都满足0∆>， ……………………12分 由于直线l ：y kx m =+与x 轴的交点为（,0m
k
-），
当2m
k =-时，直线l 恒过定点(2,0)，不合题意舍去， 27m k ∴=-，直线l ：2y k(x )7=-恒过定点2
(,0)7．………………………13分 22． （本小题满分13分） （理）
解析:(Ⅰ) 由点))(,(e f e 处的切线方程与直线02=-y x 平行，得该切线斜率为2，即
.2)('=e f
()(ln 1)f x k x '=+，
且()(ln 1)21f e k e k '=+=⇒=，所以()ln f x x x =，…………1分
()ln 1f x x '=+,
………………………2分
①102t t e <<<+,即10t e <<时,min 11
()()f x f e e
==-；………………………3分
②
1
2t t e
≤<+,即1t e ≥时,()f x 在[,2]t t +上单调递增,min ()()ln f x f t t t ==；……………4分 (Ⅱ)
22ln 3x x x ax ≥-+-恒成立等价于3
2ln a x x x
≤++
恒成
立； ………………………5分
设3
()2ln (0)h x x x x x
=++>,则2
(3)(1)'()x x h x x +-=； 当(0,1)x ∈,'()0h x <,()h x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞,'()0h x >,()h x 单调递增；
所
以
min ()(1)4h x h ==. (6)
分 因为
对
一
切
(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立，需要
min ()4a h x ≤=.………………………8分
(Ⅲ)
12ln x x e ex >-恒成立等价于2
ln ((0,))x x x x x e e >-∈+∞恒成立；
由（Ⅰ）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -（当且仅当1
x e
=取等号） (10)
分
设2
()((0,))
x x m x x e e
=-∈+∞,则1'()x x m x e -=； 易得max 1
()(1)m x m e
==-（当且仅当1x =取等号）. (12)
分 由于
11e
≠,从而对一切(0,)x ∈+∞,都有12
ln x x e ex >-成立. ……………
13分
（文）
解析:(Ⅰ)当5a =时2
()(53)x
g x x x e =-+-⋅,(1)g e =. ………1分
2()(32)x g x x x e '=-++⋅，故切线的斜率为(1)4g e '=. ………2分
所以切线方程为:4(1)y e e x -=-,即43y ex e =-. ………4分 (Ⅱ)()ln 1f x x '=+,
………6分
①当e
t 1
≥
时,在区间(,2)t t +上()f x 为增函数, 所以min ()()ln f x f t t t == ………7分 ②当10t e <<
时,在区间1(,)t e 上()f x 为减函数,在区间1
(,)e e
上()f x 为增函数,
所以min 11
()()f x f e e ==-
………8分
(Ⅲ) 由()2()x g x e f x =，可得：2
23ln x x x ax =-+-， ………9分
32ln a x x x
=++
, 令32()ln h x x x x =++
, 2
2)1)(3(321)(x x x x x x h -+=-+=' .
………11分
1132()h e e e =+-,14()h =,3
2()h e e e
=++ . 12420()()h e h e e e
-=-+<. ………12分
∴实数a 的取值范围为3
42a e e
<≤++ . ………13分。