宁夏银川二中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析

2016-2017学年宁夏银川二中高二（上）期中数学试卷(理科）
一、选择题:
1．已知集合M=｛x|｜x﹣1|＜1}，N={x｜x2＞4｝，则（）
A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∩N=N D．M∪N=R
2．在三角形ABC中,AB=5，AC=3,BC=7,则∠BAC大小为（)
A． B． C． D．
3．已知点A(﹣1,2）和点B(4，﹣6）在直线2x﹣ky+4=0的两侧，则实数k的取值范围是（)
A．(﹣2，1）B．（﹣1，2) C．(﹣∞,1）∪（﹣2,+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
4．已知{a n｝是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．20
5．在△ABC中,acosA=bcosB,则△ABC的形状为()
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
6．下列四个命题中正确的是（）
A．若a＞b,c＞d，则ac＞bd
B．若ab≥0，则|a+b|=|a｜+|b|
C．若x＞2，则函数y=x+有最小值2
D．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
7．已知x＜,则函数y=4x﹣2+的最大值是（）
A．2 B．3 C．1 D．
8．等差数列｛a n｝的前10项和为30，前20项和为100,则它的前30项和是() A．130 B．170 C．210 D．260
9．已知点（x，y）在给出的平面区域内(如图阴影部分所示）,其中A(1，1），B （2,5），C(4，3)，若使目标函数Z=ax﹣y（a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是(）
A．B．1 C．4 D．
10．函数y=3x+（x＞0）的最小值是()
A．6 B．6 C．9 D．12
11．若关于x的不等式|x+2｜﹣|x﹣1|＞a的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）
A．（3，+∞）B．(﹣3,+∞) C．(﹣∞，3) D．(﹣∞，﹣3）
12．在△ABC中,角A、B、C所对的边为a，b，c,若a,b，c成等差数列，则角B 的范围是（）
A．B．C． D．
二、填空题：(本题共4小题，每空5分，共20分.）
13．已知数列,则是该数列的第项．
14．设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，算出A、B两点的距离为m．15．设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值．
16．若a,b是正常数，a≠b,x，y∈（0,+∞),则,当且仅当时
上式取等号．利用以上结论，可以得到函数(）的最小值为，取最小值时x的值为．
三、解答题：(本大题共6小题，总分70分，解答时写出证明过程或演算步骤。

) 17．（12分）已知各项都不相等的等差数列{a n}，a6=6,又a1，a2,a4成等比数列．（1)求数列｛a n}的通项公式；
（2）设b n=2+2n，求数列{b n}的前n项和S n．
18．（12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，∠B=45°，△ABC的面积S=2
（1）求边b的长；
（2）求△ABC的外接圆的面积．
19．（12分）已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣12．
（1)当m=1时，解不等式f（x)＞0；
（2）若不等式f(x）＜0的解集为R，求实数m的取值范围．
20．（12分)已知实数x，y满足不等式组
（1）求目标函数z=2x﹣y的取值范围；
（2）求目标函数z=x2+y2的最大值．
21．(12分）设x＞0，y＞0，z＞0,
（Ⅰ）比较与的大小；
（Ⅱ)利用（Ⅰ）的结论,证明：．
22．（10分）设函数f（x)=｜x﹣1｜+｜x﹣3|．
(1）作出函数图象,并求不等式f（x)＞2的解集;
（2）设g（x）=，若对于任意的x1,x2∈［3,5］都有f（x1）≤g（x2)恒成立,求正实数m的取值范围．
2016-2017学年宁夏银川二中高二(上）期中数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．已知集合M=｛x||x﹣1|＜1}，N={x｜x2＞4｝，则(）
A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∩N=N D．M∪N=R
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】化简集合M和N，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：集合M={x｜|x﹣1|＜1}=｛x|﹣1＜x﹣1＜1｝=｛x|0＜x＜2｝,
N={x｜x2＞4｝={x|x＞2或x＜﹣2｝，
∴M∩N=∅．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断．
2．在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC大小为（）
A． B． C． D．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】先根据余弦定理求出角∠BAC的余弦值,再由角的范围确定大小即可．【解答】解：∵，
又∠BAC∈（0,π），所以．
故选A．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用．在三角形中求出余弦值找对应的角时切记莫忘角的范围．
3．已知点A（﹣1，2）和点B（4，﹣6）在直线2x﹣ky+4=0的两侧，则实数k
的取值范围是（）
A．(﹣2,1）B．（﹣1，2）C．（﹣∞,1）∪(﹣2，+∞）D．（﹣∞,﹣2）∪（1，+∞）
【考点】直线的斜率．
【分析】点A(﹣1，2)和点B(4,﹣6）在直线2x﹣ky+4=0的两侧，那么把这两个点代入2x﹣ky+4，它们的符号相反，乘积小于0,即可求出k的取值范围．
【解答】解：∵点A(﹣1,2)和点B（4，﹣6）在直线2x﹣ky+4=0的两侧，
∴（﹣2﹣2k+4）（8+6k+4）＜0，
即：（k﹣1）（k+2）＞0,解得k＜﹣2或k＞1，
故选:D．
【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，是基础题．准确把握点与直线的位置关系,找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．
4．已知{a n｝是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．20
【考点】等比数列．
【分析】先由等比数列的性质求出a2•a4=a32,a4•a6=a52，再将a2a4+2a3a5+a4a6=25转化为(a3+a5）2=25求解．
【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4=a32，a4•a6=a52
∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为
（a3+a5）2=25又∵a n＞0
∴a3+a5=5
故选A
【点评】本题主要考查等比数列性质和解方程．
5．在△ABC中,acosA=bcosB，则△ABC的形状为（)
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】利用正弦定理将acosA=bcosB中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可．
【解答】解:在△ABC中,∵acosA=bcosB，
∴由正弦定理==2R得：a=2RsinA,b=2RsinB，
∴sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B,
∴sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A=π﹣2B，
∴A=B或A+B=，
∴△ABC为等腰或直角三角形，
故选C．
【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用,属于中档题．
6．下列四个命题中正确的是（）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ab≥0，则|a+b|=｜a｜+｜b｜
C．若x＞2，则函数y=x+有最小值2
D．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
【考点】不等式的基本性质．
【分析】对4个选项分别进行判断,即可得出结论．
【解答】解：A，均为正数，才能相乘，不正确；
B,若ab≥0，则|a+b｜=｜a|+｜b|,正确；
C,若x＞2,则函数y=x+有最小值2+=，不正确；
D，a=﹣2，b=﹣1时不成立．
故选B．
【点评】本题考查不等式的性质，考查学生的计算能力,比较基础．
7．已知x＜,则函数y=4x﹣2+的最大值是(）
A．2 B．3 C．1 D．
【考点】基本不等式．
【分析】将函数y=4x﹣2+变形为y=3﹣[（5﹣4x）+]，再利用基本不等式求解．
【解答】解:∵x＜,∴4x﹣5＜0，
∴y=4x﹣2+=（4x﹣5）++3=3﹣[(5﹣4x）+]≤3﹣2=3﹣2=1，
当且仅当5﹣4x=，即x=1时取等号．
故选:C．
【点评】本题考查基本不等式的应用:求最值．创造基本不等式适用的形式是本解法的关键．基本不等式求最值时要注意三个原则：一正,即各项的取值为正；二定，即各项的和或积为定值；三相等，即要保证取等号的条件成立．
8．等差数列｛a n｝的前10项和为30,前20项和为100，则它的前30项和是(）A．130 B．170 C．210 D．260
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列{a n｝的前n项和的性质：S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列．即可得出．
【解答】解：由等差数列｛a n}的前n项和的性质：S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列．
∴30+S30﹣100=2×(100﹣30），
解得：S30=210．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知点（x，y)在给出的平面区域内(如图阴影部分所示），其中A（1,1)，B(2，5），C（4，3），若使目标函数Z=ax﹣y(a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）
A．B．1 C．4 D．
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】由题设条件，目标函数Z=ax﹣y （a＞0)，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故最大值应该在边界AB上取到,即ax﹣y=0应与直线AB平行;进而计算可得答案．
【解答】解：由题意，使目标函数Z=ax﹣y(a＞0）取得最大值，而y=ax﹣z
即在Y轴上的截距最小；
所以最优解应在线段AC上取到,故ax﹣y=0应与直线AC平行．
∵k AC==，
∴a=，
故选:A．
【点评】本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型,知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数．
10．函数y=3x+（x＞0）的最小值是（）
A．6 B．6 C．9 D．12
【考点】基本不等式．
【分析】由已知式子变形可得y=3x+=x+x+，由三项基本不等式可得．【解答】解:∵x＞0,∴y=3x+=x+x+≥3=9，
当且仅当x=即x=2时,原式取最小值9，
故选：C．
【点评】本题考查三项基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．
11．若关于x的不等式|x+2｜﹣|x﹣1|＞a的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）
A．（3，+∞）B．（﹣3,+∞） C．（﹣∞,3）D．（﹣∞，﹣3）
【考点】绝对值三角不等式．
【分析】由于|x+2｜﹣|x﹣1｜表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之差，其最大值为3,再根据关于x的不等式|x+2｜﹣｜x﹣1｜＞a的解集不是空集,求出实数a的取值范围．
【解答】解：｜x+2|﹣｜x﹣1｜表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之差，其最大值为3,故当a＞3时，关于x的不等式|x+2|﹣|x﹣1｜＞a的解集不是空集,故实数a的取值范围为（3，+∞），
故选A．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a,b,c，若a，b，c成等差数列，则角B 的范围是（)
A．B．C． D．
【考点】等差数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．
【分析】由a，b，c成等差数列，根据等差数列的性质得到2b=a+c，解出b,然后利用余弦定理表示出cosB，把b的式子代入后，合并化简，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围以及余弦函数的单调性，再利用特殊角
三角函数值即可求出B的取值范围．
【解答】解:由a,b，c成等差数列,得到2b=a+c，即b=，
则cosB===≥=,
因为B∈（0，π)，且余弦在（0，π）上为减函数,
所以角B的范围是:0＜B≤．
故选B
【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理化简求值，会利用基本不等式求函数的最值,是一道综合题．
二、填空题：（本题共4小题，每空5分,共20分.）
13．已知数列,则是该数列的第7项．
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】根据数列的前几项写出数列的一个通项公式,把所给的这一项的数字都放到根号下面，得到关于n的方程,解方程即可．
【解答】解：∵数列,
∴第n项的通项是
则=，
∴n=7，
故答案为：7
【点评】本题考查数列的概念即简单表示，解题的关键是看清题目中根号下的数字与项数之间的关系,一般需要把根号外的都放到根号里面，这样更好看出结果．
14．设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°,∠CAB=105°后，算出A、B两点的距离为50 m．
【考点】余弦定理．
【分析】根据题意画出图形,如图所示，由∠ACB与∠CAB的度数求出∠ABC的度
数，再由AC的长,利用正弦定理即可求出AB的长．
【解答】解：在△ABC中，AC=50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,
∴∠ABC=30°,
由正弦定理=得：AB===50(m），
故答案为:50
【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
15．设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值3+2．
【考点】基本不等式．
【分析】根据题意，x+2y=1，对于可变形为(x+2y）•（),相乘计算可得，3+，由基本不等式的性质，可得答案．
【解答】解：根据题意,x+2y=1,
则=（x+2y）•（）=3+≥3+2=3+2,
故答案为3+2．
【点评】本题考查基本不等式的性质与运用，解题时要注意常见技巧的运用，如本题中“1”的代换，进而构造基本不等式使用的条件．
16．若a，b是正常数，a≠b,x，y∈(0，+∞）,则,当且仅当
时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数（)的最小值为25，取最小值时x的值为．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】依据题设中的条件的形式,可推知当函数f（x）有最小值，求得x，进而最小值也可求．
【解答】解：依题意可知=≥=25,
当且仅当时,即x=时上式取等号,
最小值为25，
故答案为：25,
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生通过已知条件,解决问题的能力．
三、解答题：（本大题共6小题,总分70分，解答时写出证明过程或演算步骤。

）17．（12分）(2016秋•兴庆区校级期中）已知各项都不相等的等差数列{a n}，a6=6，又a1，a2,a4成等比数列．
（1）求数列｛a n｝的通项公式；
（2）设b n=2+2n，求数列｛b n｝的前n项和S n．
【考点】等差数列的前n项和;等比数列的通项公式．
【分析】（1)利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组,求出首项和公差，由此能求出数列｛a n}的通项公式．
（2）由b n=2+2n=2n+2n，利用分组求和法能求出数列｛b n}的前n项和．【解答】解:（1)∵各项都不相等的等差数列{a n｝，a6=6,又a1，a2，a4成等比数列．
∴,
解得a1=1,d=1,
∴数列{a n}的通项公式a n=1+(n﹣1）×1=n．
（2）∵b n=2+2n=2n+2n,
∴数列｛b n｝的前n项和：
S n=（2+22+23+…+2n）+2（1+2+3+…+n)
=+2×
=2n+1﹣2+n2+n．
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．
18．（12分)（2016秋•兴庆区校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，∠B=45°,△ABC的面积S=2
(1）求边b的长；
（2)求△ABC的外接圆的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）先根据三角形面积公式求得c边的长,进而利用余弦定理求得b的值．
(2）根据正弦定理利用=2R求得三角形外接圆的直径，根据圆的面积公式即可得解．
【解答】解：(1）∵S=acsinB=2,
∴×1×c×sin45°=2,
∴c=4，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=1+32﹣2×1×4×cos45°，
∴b2=25,b=5．
（2）∵b=5，∠B=45°，
∴△ABC的外接圆的直径等于=5，可求△ABC的外接圆的面积S=π×(）2=．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式,圆的面积公式，正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．作为正弦定理和余弦定理的变形公式也应熟练掌握,以便做题时方便使用，属于基础题．
19．（12分）（2016秋•兴庆区校级期中）已知函数f(x）=mx2﹣mx﹣12．（1）当m=1时，解不等式f（x）＞0；
（2）若不等式f(x)＜0的解集为R，求实数m的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】(1）因式分解，利用一元二次不等式的解法求解即可．
(2）对二次项系数进行讨论，利用一元二次不等式的解法求解即可．
【解答】解：(1）函数f（x)=mx2﹣mx﹣12．
当m=1时，解不等式f（x）＞0；即x2﹣x﹣12＞0
因式分解得:（x﹣4）（x+3）＞0
解得:﹣3＞x或x＞4．
∴不等式的解集为｛x|﹣3＞x或x＞4｝．
（2）当m=0时,此时f(x）=﹣12，不等式f(x）＜0的解集为R，恒成立．
当m≠0时，要使不等式f（x）＜0的解集为R，
则m＜0，△=b2﹣4ac=m2+48m＜0，
解得：m＜﹣48．
综上可得，实数m的取值范围是（﹣∞,﹣48）∪｛0}
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分析，是基础题．
20．（12分)（2016秋•兴庆区校级期中）已知实数x，y满足不等式组
(1）求目标函数z=2x﹣y的取值范围；
(2)求目标函数z=x2+y2的最大值．
【考点】简单线性规划．
【分析】（1）通过实数x，y满足约束条件直接画出此二一元次不等式组表示的平面区域；直接求出目标函数z=2x﹣y结果的可行域内的顶点，即可求出z的最大值和最小值；
（2）z=x2+y2就是可行域内的点到坐标原点距离的平方，求出最大值即可．
【解答】解：（1)实数x,y满足
的可行域如图：
直线z=2x﹣y经过，
当x=3，y=4时z取最大值2；
直线z=2x﹣y经过,解得交点B,即x=，y=时，z=2x﹣y取最小值．
z的范围是［，2]．
（2）由可行域可知，A当x=3,y=4时,z=x2+y2取得最大值为32+42=25．
【点评】本题考查简单的线性规划的应用,考查计算能力与作图能力，以及表达式的几何意义．
21．（12分）(2016春•南阳期中）设x＞0，y＞0，z＞0,
（Ⅰ）比较与的大小;
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明:．
【考点】综合法与分析法（选修)．
【分析】（Ⅰ）对两个解析式作差,对差的形式进行化简整理，判断出差的符号,得出两数的大小．
（Ⅱ)利用（Ⅰ)类比出一个结论,利用综合法证明不等式即可．
【解答】（Ⅰ)∵，∴．
（Ⅱ)由（1）得．
类似的,,（7分）
又;
∴x2+y2+z2≥xy+yz+zx．
∴
=
(12分）【点评】本题考查综合法与分析法，解题的关键是根据（I）类比出一个条件作为证明的前提．再利用综合法证明,正确理解综合法与分析法的原理与作用，顺利解题很关键．
22．（10分）(2016秋•兴庆区校级期中）设函数f（x）=｜x﹣1|+｜x﹣3｜．(1）作出函数图象，并求不等式f（x）＞2的解集；
（2）设g（x）=，若对于任意的x1，x2∈［3，5]都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求正实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）去掉绝对值,化简函数的解析式,作出函数的图象．
(2）由题意可得当x∈［3，5]时，f（x)max≤g（x)min，由于当x∈［3，5］时，f （x）max=3，故g(x)的最小值大于或等于3．分当∈［3,5]、当∈（0，3）、
当＞5三种情况，分别求得m的范围，综合可得结论．
【解答】解:（1)函数f（x）=｜x﹣1｜+|x﹣3｜=,如图所示：
令=2，求得x=，
故结合图象，由f（x）＞2可得x＜,或x＞3．
（2）设g(x）=，若对于任意的x1,x2∈［3,5］，
都有f（x1)≤g（x2)恒成立,
故当x∈［3，5]时，f（x）max≤g（x）min．
由于当x∈［3，5]时，f（x）max=5﹣2=3，故g（x）的最小值大于或等于3．∵m＞0，g（x）=x+≥2,当且仅当x=∈[3，5]时取等号，
显然满足2≥3，故有m∈[9,25]．
当∈（0，3），即0＜m＜9时,＜3，g（x)=x+在[3,5］上单调递增，
g（x）的最小值为g(3)=3+＞3，满足条件．
当＞5，即m＞25时，＞5，g（x)=x+在［3，5］上单调递减。