人大附中2012届高三十月月考

人大附中2012届高三10月份月考
数学试题(理科)参考答案与评分标准
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案.) 1. 设i 是虚数单位，则6(1)i +的值是（ D ）
A. 8
B.－8
C. 8i
D. －8i
2. 在下列函数中，以π为周期的函数是（ B ）
A. sin cos y x x =+
B. sin cos y x x =
C. sin cos2y x x =+
D. sin cos2y x x =
3. 图中阴影部分表示的集合是（ C ）
A.(())U C A B C
B. ()A B C
C. (())()U C A B A B
D. ()(())U B C C A B
4. 若02log 2log <<b a ，则（ A ）
A. 10<<<a b
B. 10<<<b a
C. 1>>b a
D. 1>>a b 5. 直角坐标方程22100x y x +-=化为极坐标方程是（ C ）
A. 10sin ρθ=
B. 5sin ρθ=
C. 10cos ρθ=
D. 5cos ρθ= 6. 下列四个命题中，是假命题的是（ B ）
A. 命题“∃x ∈R ，2x +1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，2x +1≤3x ”；
B. 函数()22x f x x =-在区间[0，3]上没有零点；
C. 在△ABC 中，“A=B ”的充分必要条件是“sinA=sinB ”；
D. 集合{}25A x x =-≤≤不可能是集合{}121B x a x a =+≤≤-的子集． 7. 定义在R 上的任意函数f (x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和. 如果)110lg()(+=x x f (x ∈R)，那么（ C ） A. (),()lg(10102)x x g x x h x -==++
B. 11()[lg(101)],()[lg(101)]22x x g x x h x x =++=+-
C. (),()lg(101)22x x x
g x h x ==+-
D. (),()lg(101)22
x x x
g x h x =-=++
8. 下列关于函数1
()(0,1)x
f x a a a =>≠的说法中，正确的是（ D ）
A. 函数()f x 为奇函数；
B. 函数()f x 的值域为（0，+∞）；
C. 当a>1时()f x 单减，当0<a<1时()f x 单增；
D. 当x>0时，若a>1，则()1f x >.
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上.）
9. 已知α终边上一点P(－1，y)，且1
sin 3
α=，则tan α=________． 10. 在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =________. 120°
11. 由直线2y x =-和曲线2y x =-所围成的图形的面积是__________.9
2
12. 已知函数()y f x =是偶函数，当x ≥0时，2()(1)f x x x =-，则当x ∈R 时，
()f x =_____________. 22(1),0
()(1),0
x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩
13. 若函数13
()(1)f x x mx =+-在区间[0,)+∞上是单调函数，则实数m 的取值范围
是____________. 1
3
m ≥或0m ≤
14. 若关于a ，b 的代数式(,)f a b 满足：
（1）(,)f a a a =；
（2）(,)(,)f ka kb k f a b =⋅；
（3）12121122(,)(,)(,)f a a b b f a b f a b ++=+； （4）(,)(,
)2
a b
f a b f b +=． 则(1,0)(2,0)f f +＝_________，(,)f x y ＝__________．1；23
x y
+ 三、解答题(本题共6小题，共80分.)
15. （本题满分14分）已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小值，并写出相应的x 取值集合； （Ⅱ）写出函数()f x 的单调递增区间．
解：x x x x x x x x y 22222cos 22sin )cos (sin cos 3cos sin 2sin +++=++=
1sin 2(1cos2)2sin 2cos2x x x x =+++=++2).4
x π
=+ ………4分
（Ⅰ）当1)4
2sin(-=π
+x 时，y 取最小值22-， ………6分
使y 取最小值的x 的集合为},8
3
|{Z k k x x ∈π-π=． ………9分
（Ⅱ）当2[2,2]()4
2
2
x k k k Z πππ
ππ+∈-++∈时函数()f x 单增，………12分
故()f x 的单增区间为：3[,]()88
x k k k Z ππ
ππ∈-
++∈． ………14分
16. （本题满分13分）某商店经销某种商品，年销售总量为6000份，每份进价
为2.8元，销售价为3.4元，全年分若干次进货，每次进货均为x 份，已知每次进货运输劳务费为62.5元，全年保管费为1.5x 元．
（Ⅰ）求该商店经销该商品一年的利润y （元）与每次进货量x （份）之间的函数关系式；
（Ⅱ）为了使利润最大，每次应该进货多少份？ 解：（Ⅰ）600062.5
6000(3.4 2.8) 1.5y x x
⨯=⨯--
-
3750003
3600(
)2
x x =-+，
………6分 定义域为：{|06000,*}x x x N <≤∈； ………8分
（Ⅱ）由均值不等式知：y ≤2100，当且仅当37500032
x
x =，即x=500时，
等号成立，即每次进货500份时，全年可获最大利润2100元. ………13分
17. （本题满分13分）在△ABC 中，已知A>B>C ，且A=2C ，b=4，a+c=8，试
求ABC ∆的面积S. 解：由正弦定理：
sin sin a c A C =
，又A ＝2C ，代入可得：cos 2a
C c
=． 由余弦定理：222cos 2a b c C ab +-=＝22
168a c a +-，
所以221682a c a
a c
+-=，整理得：22(4)(16)a c c c -=-． ………6分
由B>C ，知4＝b>c ，故2(4)a c c =+，即224a c c -=． 又a+c=8，所以2416
,55
a c =
=． ………10分
所以22164163cos 884a c c C a a +-+===
，故sin C =． 于是S
＝1sin 2ab C =
． ………13分
18. （本题满分13分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：24320,8a a a +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若12
log n n n b a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求12470n n S +-+<成立
的正整数 n 的最小值.
解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
依题意，有3
11
2
31208a q a q a a q ⎧+=⎪⎨==⎪⎩，解之得122q a =⎧⎨=⎩或11232
q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩； 又{}n a 单调递增，∴12
2
q a =⎧⎨=⎩，∴2n n a =.
………6分
（Ⅱ）依题意，12
2log 22n n n n b n =+=-,
∴12(12)(1)(1)
221222
n
n n n n n n S +-++=
-=---， 由12470n n S +-+<得：(1)
24702
n n +--+<．
整理得：2900n n +->．
解得：n>9或n<－10（舍）． ∴使12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值为10. ………13分
19. （本题满分14分）已知函数21
()()ax f x x x e a
=--（0a >）.
(Ⅰ)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若不等式3
()0f x a
+≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.
解: 对函数()f x 求导得:()(2)(1)ax f x e ax x '=+-. ………2分
(Ⅰ)当2a =时, 2()(22)(1)x f x e x x '=+-
令()0f x '>解得 1x >或1x <-
令()0f x '<解得11x -<<
所以, ()f x 单调增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞,
()f x 单调减区间为(-1,1). ………5分
(Ⅱ)令()0f x '=,即(2)(1)0ax x +-=,解得2
x a
=-或1x =. ………7分
………9分
对于2x a <-时，因为220,,0x x a a >->>,所以21
0x x a
-->，
所以()f x >0.
对于2x a ≥-时，由表可知函数在1x =时取得最小值1
(1)0a f e a
=-<
所以，当x R ∈时，min 1
()(1)a f x f e a
==-. ………12分
由题意，不等式3
()0f x a
+≥对x R ∈恒成立，
所以得13
0a e a a
-+≥，解得0ln 3a <≤. ………14分
20. （本题满分13分）已知n 为正整数，122{(,,,)|{0,1},12}n
n n i S a a a a i =∈≤≤ ，
对n S 中任意两个元素122(,,,)n
a a a a = 和122(,,,)n
b b b b = ，令
21
(,)n
i i i d a b a b ==-∑．若n A S ⊆，满足对A 中任何两个不同的元素a 和b ，都有
1(,)2n d a b -≥，则称A 为n S 的好子集．
（Ⅰ）试写出2S 的一个好子集M ，使M 中任何两个不同的元素a 和b ，都有(,)2d a b =，且M 的元素个数为4；
（Ⅱ）试写出
S的一个好子集N，使N中任何两个不同的元素a和b，都有
2
d a b ，且N的元素个数为8；
(,)2
（Ⅲ）试求
S的好子集A的元素个数A的最大值．
n
解：（Ⅰ）M＝{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,1,1,1)}
或M＝{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,0,0,0)}
或M＝{(0,0,1,1),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(1,1,1,1)}
或M＝{(0,0,1,1),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,0,0)}
或M＝{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}
或M＝{(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)} ………3分（Ⅱ）
N={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}或
N={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,0,0),(1,1,1,1)}
（写出6个元素给2分，写出8个元素给4分）………7分
………13分。