《二次函数 (3)》课件 (同课异构)2022年精品课件
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解：
小试牛刀
1. 写出以下函数的解析式，并且指出它们中 哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些 是反比例函数. 〔1〕正方形的面积S关于它的边长x的函数；
答：S = x2 .
〔2〕圆的周长C关于它的半径r的函数； 答：C = 2πr
〔3〕圆的面积S关于它的半径r的函数； 答：S = πr2
〔4〕当菱形的面积S一定时，它的一条对角线 的长度y关于另一条对角线的长度x的函数. 答：y=2xS. 其中(1)、(3)是二次函数，(2)是一次 函数，(4)是反比例函数.
像关系式①、②那样，如果函数的表达式 是自变量的二次多项式，这样的函数称为二次 函数，它的一般形式是
y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0).
二次函数的自变量的取值范围是所有实数.
但是对于实际问题中的二次函数，它的自 变量的取值范围会有一些限制.
例如，上面第一个例子中，0＜x＜50.
知识讲解 知识讲解
M
A
P角两边距离相等的点在角的平分线上， 到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
归纳总 结
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
C
P
P
已知 条件
结论
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
当堂练习
解：在RT△MOP和RT△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴RT△MOP≌RT△NOP〔HL〕.
O
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
A M
P
N
B
课堂小结
性质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
角平分线 判 定 定理
在一个角的内部，到角两边距离 相等的点在这个角的平分线上
2.联系角平分线性质：
面积 周长
利用角平分线的性 质所得到的等量关 系进行转化求解
二 角平分线的判定
思考：交换角的平分线性质中的和结论，你能得到什么结论，
这个新结论正确吗？
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
逆
命
O
题
A
D C
P
E
B
思考：这个结 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平论分正线确上吗．？
根据我们在上学期学过的一元二次方程的知 识，我们容易得到平均降价率x与售价y之间有如 下的关系：
y = 6000(1-x)2， 0＜x＜1，
即
y = 6000x2-12000x+6000，0＜x＜1. ②
在上面的两个例子中，矩形植物园的面积 S与相邻于围墙面的每一面墙的长度x的关系式 ①，电脑价格y与平均降价率x的关系式②有什 么共同点？
• 他们的课程，无论是在内容和形式上，都是经过认真研判， 把各学科的核心素养作为教学主线。既涵盖城市中小学、又包 括乡村大局部学校的教学模式。適合全國大局部教學大區。本 課件就是從全國一等獎作品中，优选出的具有代表性的作品。 示范性强，有很大的推广价值。
5.3 二次函数
新课导入
植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？ 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌 三面墙，围成一个矩形植物园，如图1-1所示.
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
例1：：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且
BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. E
F
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
B
D
C
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，
PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，
那么PE=_4_____cm.
B D
M P
A
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
E
∴∠AOP=∠BOP 〔全等三角形的对应角相等〕.
A P
B
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
知识总 u 判结定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
u应用格式：
图1-1
现在已备足可以砌100m长的墙的材料. 大家 来讨论对应于不同的砌法，植物园的面积会发生 什么样的变化.
有没有一种统一的能包括一切可能砌法的探
讨方法呢？
设与围墙相邻的每一面墙的长度都为x m， 那么与围墙相对的一面墙的长度为(100-2x)m.
于是矩形植物园的面积S为
S = x(100-2x)， 0＜x＜50，
2. 函数y=(a-2)x2+4x+3不是二次函数， 求a4的值.
答：函数y=(a-2)x2+4x+3不是 二次函数， 所以，a-2=0，即a=2 所以，a4=24=16.
第一章
八年级数学下〔BS〕 教学课件
三角形的证明
角平分线
第1课时 角平分线
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.会表达角平分线的性质及判定;〔重点〕 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理， 理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应 用这两个性质解决一些简单的实际问题;〔难点〕 3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步开展学 生的推理证明意识和能力．
了任何一个.
∴PD = PE 〔在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等〕.
判一判：〔1〕∵ 如下左图，AD平分∠BAC〔〕， ∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D
A
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB 〔〕.
D C
∴ BD = CD ,
EC
变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝
90°，AP平分∠BAC交BC于点P，假设PC＝4,
AB=14.
4
〔1〕那么点P到AB的距离为_______.
B
D
P
A
C
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900， AP平分∠BAC交BC于点P，假设PC＝4，AB=14.
O
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
A
D C
P
E
B
例3:如图，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，A FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.
导入新课
情境引
入如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路
和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这
个集贸市场应建在何处？
O
〔比例尺为1︰20000〕
解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
讲授新课
一 角平分线的性质 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别 是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，那么 ∠EBF= 60 度，BE= BF .
B
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,那么点D到AB的距离是 3 .
A E
C D
F G
C D
A
EB
3.用三角尺可按下面方法画角平分线：在∠AOB的两边上，分 别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画 射线OP,那么OP平分∠AOB.为什么？
验证猜 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ：如测图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
A
D C
P
E
B
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
OP= OP，
∴PD=PE.
知识
u要性点质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. A
应用所具备的条件：
D
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上；
O （3）垂直距离.
C P
定理的作用： 证明线段相等.
u应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
任意一点
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将
三次数据填入下表： A
D
C
PD PE
第一次
p
第二次
O
E
B
第三次
2. 观察测量结果，猜测线段PD与PE的大小关系，写 出猜结测：：_角P_D_的_=_平P_E_分__线_ 上的点到角的两边的距离相等.
E G
C
M
F
┑
B HD
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图
中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现方案修
建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，
到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建
在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，
不写作法，保存作图痕迹) A
M O
N
B
解：如以下图：
证明猜测 ：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线OP， ∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP〔公共边〕， O PD= PE〔 〕，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO〔 HL〕.
2021 年 “精 英 杯〞 全国公开课大赛
获奖作品展示
教育部“精英杯〞公开课大赛简介
• 2021年6月，由教育学会牵头，教材编审委员会具体组织实 施，在全国8个城市，设置了12个分会场，范围从“小学至高中 〞全系列部编新教材进行了统一的培训和指导。每次指導，都 輔以精彩的優秀示範課。在這些示範課中，不乏全國名師和各 省名師中的佼佼者。
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作 垂线段
〔2〕求△APB的面积.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
S PDB
1 2
·AB·PD=28.
B
〔3〕求∆PDB的周长.
D
CPDB PD PB DB
P
PC PB DB
BC DB AD DB
A
C
AB 14
=
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
即
S = -2x2 +100x，0＜x＜50.
①
x
S=-2x2+100x，0＜x＜50. ①
有了公式①，我们对植物园的面积S随着 砌法的不同而变化的情况就了如指掌了.
知识讲解
电脑的价格. 一种型号的电脑两年前的销售价为6000元，
现在的售价为y元. 如果每年的平均降价率为x， 那么降价率变化时，电脑售价怎样变化呢？
小试牛刀
1. 写出以下函数的解析式，并且指出它们中 哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些 是反比例函数. 〔1〕正方形的面积S关于它的边长x的函数；
答：S = x2 .
〔2〕圆的周长C关于它的半径r的函数； 答：C = 2πr
〔3〕圆的面积S关于它的半径r的函数； 答：S = πr2
〔4〕当菱形的面积S一定时，它的一条对角线 的长度y关于另一条对角线的长度x的函数. 答：y=2xS. 其中(1)、(3)是二次函数，(2)是一次 函数，(4)是反比例函数.
像关系式①、②那样，如果函数的表达式 是自变量的二次多项式，这样的函数称为二次 函数，它的一般形式是
y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0).
二次函数的自变量的取值范围是所有实数.
但是对于实际问题中的二次函数，它的自 变量的取值范围会有一些限制.
例如，上面第一个例子中，0＜x＜50.
知识讲解 知识讲解
M
A
P角两边距离相等的点在角的平分线上， 到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
归纳总 结
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
C
P
P
已知 条件
结论
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
当堂练习
解：在RT△MOP和RT△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴RT△MOP≌RT△NOP〔HL〕.
O
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
A M
P
N
B
课堂小结
性质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
角平分线 判 定 定理
在一个角的内部，到角两边距离 相等的点在这个角的平分线上
2.联系角平分线性质：
面积 周长
利用角平分线的性 质所得到的等量关 系进行转化求解
二 角平分线的判定
思考：交换角的平分线性质中的和结论，你能得到什么结论，
这个新结论正确吗？
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
逆
命
O
题
A
D C
P
E
B
思考：这个结 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平论分正线确上吗．？
根据我们在上学期学过的一元二次方程的知 识，我们容易得到平均降价率x与售价y之间有如 下的关系：
y = 6000(1-x)2， 0＜x＜1，
即
y = 6000x2-12000x+6000，0＜x＜1. ②
在上面的两个例子中，矩形植物园的面积 S与相邻于围墙面的每一面墙的长度x的关系式 ①，电脑价格y与平均降价率x的关系式②有什 么共同点？
• 他们的课程，无论是在内容和形式上，都是经过认真研判， 把各学科的核心素养作为教学主线。既涵盖城市中小学、又包 括乡村大局部学校的教学模式。適合全國大局部教學大區。本 課件就是從全國一等獎作品中，优选出的具有代表性的作品。 示范性强，有很大的推广价值。
5.3 二次函数
新课导入
植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？ 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌 三面墙，围成一个矩形植物园，如图1-1所示.
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
例1：：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且
BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. E
F
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
B
D
C
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，
PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，
那么PE=_4_____cm.
B D
M P
A
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
E
∴∠AOP=∠BOP 〔全等三角形的对应角相等〕.
A P
B
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
知识总 u 判结定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
u应用格式：
图1-1
现在已备足可以砌100m长的墙的材料. 大家 来讨论对应于不同的砌法，植物园的面积会发生 什么样的变化.
有没有一种统一的能包括一切可能砌法的探
讨方法呢？
设与围墙相邻的每一面墙的长度都为x m， 那么与围墙相对的一面墙的长度为(100-2x)m.
于是矩形植物园的面积S为
S = x(100-2x)， 0＜x＜50，
2. 函数y=(a-2)x2+4x+3不是二次函数， 求a4的值.
答：函数y=(a-2)x2+4x+3不是 二次函数， 所以，a-2=0，即a=2 所以，a4=24=16.
第一章
八年级数学下〔BS〕 教学课件
三角形的证明
角平分线
第1课时 角平分线
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.会表达角平分线的性质及判定;〔重点〕 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理， 理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应 用这两个性质解决一些简单的实际问题;〔难点〕 3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步开展学 生的推理证明意识和能力．
了任何一个.
∴PD = PE 〔在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等〕.
判一判：〔1〕∵ 如下左图，AD平分∠BAC〔〕， ∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D
A
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB 〔〕.
D C
∴ BD = CD ,
EC
变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝
90°，AP平分∠BAC交BC于点P，假设PC＝4,
AB=14.
4
〔1〕那么点P到AB的距离为_______.
B
D
P
A
C
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900， AP平分∠BAC交BC于点P，假设PC＝4，AB=14.
O
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
A
D C
P
E
B
例3:如图，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，A FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.
导入新课
情境引
入如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路
和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这
个集贸市场应建在何处？
O
〔比例尺为1︰20000〕
解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
讲授新课
一 角平分线的性质 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别 是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，那么 ∠EBF= 60 度，BE= BF .
B
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,那么点D到AB的距离是 3 .
A E
C D
F G
C D
A
EB
3.用三角尺可按下面方法画角平分线：在∠AOB的两边上，分 别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画 射线OP,那么OP平分∠AOB.为什么？
验证猜 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ：如测图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
A
D C
P
E
B
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
OP= OP，
∴PD=PE.
知识
u要性点质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. A
应用所具备的条件：
D
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上；
O （3）垂直距离.
C P
定理的作用： 证明线段相等.
u应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
任意一点
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将
三次数据填入下表： A
D
C
PD PE
第一次
p
第二次
O
E
B
第三次
2. 观察测量结果，猜测线段PD与PE的大小关系，写 出猜结测：：_角P_D_的_=_平P_E_分__线_ 上的点到角的两边的距离相等.
E G
C
M
F
┑
B HD
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图
中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现方案修
建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，
到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建
在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，
不写作法，保存作图痕迹) A
M O
N
B
解：如以下图：
证明猜测 ：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线OP， ∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP〔公共边〕， O PD= PE〔 〕，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO〔 HL〕.
2021 年 “精 英 杯〞 全国公开课大赛
获奖作品展示
教育部“精英杯〞公开课大赛简介
• 2021年6月，由教育学会牵头，教材编审委员会具体组织实 施，在全国8个城市，设置了12个分会场，范围从“小学至高中 〞全系列部编新教材进行了统一的培训和指导。每次指導，都 輔以精彩的優秀示範課。在這些示範課中，不乏全國名師和各 省名師中的佼佼者。
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作 垂线段
〔2〕求△APB的面积.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
S PDB
1 2
·AB·PD=28.
B
〔3〕求∆PDB的周长.
D
CPDB PD PB DB
P
PC PB DB
BC DB AD DB
A
C
AB 14
=
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
即
S = -2x2 +100x，0＜x＜50.
①
x
S=-2x2+100x，0＜x＜50. ①
有了公式①，我们对植物园的面积S随着 砌法的不同而变化的情况就了如指掌了.
知识讲解
电脑的价格. 一种型号的电脑两年前的销售价为6000元，
现在的售价为y元. 如果每年的平均降价率为x， 那么降价率变化时，电脑售价怎样变化呢？