北京市朝阳区高三数学一模试题 理(含解析)北师大版

2013年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（5分）（2013•朝阳区一模）i为虚数单位，复数的虚部是（）
解：复数=的虚部是．
2．（5分）（2013•朝阳区一模）已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|lg（x+2）≥0}，则M∩N=
3．（5分）（2013•朝阳区一模）已知向量，
．若，则实数m的值为（）
先求得得=，再由
=，若
4．（5分）（2013•朝阳区一模）在极坐标系中，直线与曲线ρ=2cosθ相交于A，
即，曲线
中，∵cos∠ACO=，∴∠ACO=，
，∴∠AOB=2∠AOC=
5．（5分）（2013•朝阳区一模）在下列命题中，
①“”是“sinα=1”的充要条件；
②的展开式中的常数项为2；
③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则．
=
，得
，是能推得或其
的通项为（
C
﹣
6．（5分）（2013•朝阳区一模）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
12×=8
7．（5分）（2013•朝阳区一模）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则
的最大值为（）
又∵ab≤（）
（（
得到|AB|≥
≤=，即的最大值为．
的最大值，着重考查抛物线的定义和
8．（5分）（2013•朝阳区一模）已知函数f（x）=2x+1，x∈N*．若，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．函数f
，得或
，解出即可．
，得或，解得或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9．（5分）（2013•朝阳区一模）在等比数列{a n}中，2a3﹣a2a4=0，则a3= 2 ，{b n}为等差数列，且b3=a3，则数列{b n}的前5项和等于10 ．
，代入已知可解得
=
=0
=
10．（5分）（2013•朝阳区一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．已知角
A为锐角，且b=3asinB，则tanA= ．
sinA=，∴cosA== tanA==，
11．（5分）（2013•朝阳区一模）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= 20 ．
12．（5分）（2013•朝阳区一模）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA 的延长线于点D．若，AB=AC=2，则线段AD的长是 1 ；圆O的半径是 2 ．
即可．
CD=
cos∠ACD=，
，∴
根据弦切角定理可得∠ABC=∠DCA=
==4
13．（5分）（2013•朝阳区一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实
数根，则实数a的取值范围是．
==，
，
故答案为：
14．（5分）（2013•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当时，则点C的纵坐标的取值范围是[﹣5，5] ．
=，
）时，由
与的方向相同，故
）时，
）时，
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）（2013•朝阳区一模）已知函数（ω＞0）
的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．
，求得（Ⅱ）因为
答：
=
所以
，，得
（Ⅱ）因为，所以
所以
16．（13分）（2013•朝阳区一模）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字﹣1，0，1，2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；
（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；
（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξ，η，试求随机变量X=ξ•η的分布列与数学期望EX．
；
）
．
．
．
答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为
P
．
17．（14分）（2013•朝阳区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，
且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）当时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面A FD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）由=
两两垂直，以之为轴建立空间直角坐标系，可求得与
=，=（Ⅰ）由已知，==
时，
（，
=（﹣，，
＜，=
所成角的余弦值为
=，
=
=
，因为=
即，
=，
即
，解得．
时，平面
18．（13分）（2013•朝阳区一模）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，其中a≤2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
=
a≤0，即
或
，得）的单调递减区间为，
，或＜﹣
）在
，所以当
＜
=e﹣（alne ，，
＜﹣
19．（14分）（2013•朝阳区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率为，点A为其右顶点．过点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线
AE，AF与直线x=3分别交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求的取值范围．
（Ⅰ）设椭圆的方程为，依题意可得
为
，
依题意得
的方程为
易得
．…（6分）
由
，则
所以，
所以
=
，所以，即
综上所述，
20．（13分）（2013•朝阳区一模）设τ=（x1，x2，…，x10）是数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的任意一个全排列，定义，其中x11=x1．
（Ⅰ）若τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），求S（τ）的值；
（Ⅱ）求S（τ）的最大值；
（Ⅲ）求使S（τ）达到最大值的所有排列τ的个数．
=
=。