人教A版数学选修4第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理课时作业(含答案解析).docx

1．只有一对边平行的圆内接四边形一定是( ) A ．正方形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．矩形
解析：选C.只有一对边平行的四边形为梯形且又为圆内接四边形．故四边形一定是等腰梯形．
2．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BAD 和∠BCD 的度数分别为( )
A ．50°，130°
B ．30°，130°
C ．100°，130°
D ．100°，50°
解析：选A.由圆周角定理，得∠BAD ＝1
2
∠BOD ＝50°.根据圆内接四边形的性质定理，
得∠BAD ＋∠BCD ＝180°，
∴∠BCD ＝130°，故选A.
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE＝50°，则∠BOD＝( )
A．75°B．90°
C．100°D．120°
答案：C
4．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB＝60°，AB＝a，则CD等于( )
A.
3
3
a B.
6
2
a
C.1
2
a D.
1
3
a
解析：选A.∵AC为BD的垂直平分线，∴AB＝AD＝a，AC⊥BD，
∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，
∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDB＝30°，
∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan30°·AD＝
3
3
a.
5．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AB ＝CD ＝5，AC ＝7，BE ＝3，下列命题错误的是( )
A ．△ABE ≌△DCE
B ．∠BDA ＝45°
C ．S 四边形ABC
D ＝24.5
D ．图中全等的三角形共有2对
解析：选D.在△ABE 和△CDE 中，∠CAB ＝∠CDB ，∠AEB ＝∠DEC ，AB ＝CD ， ∴△ABE ≌△DCE ，故A 正确；
据此，也可得AE ＝DE ，BE ＝CE ＝3，
∴AE ＝DE ＝4.∵在△ABE 中，AE 2＋BE 2＝AB 2
， ∴AC ⊥BD . ∵AE ＝DE ，
∴∠BDA ＝45°，故B 正确； S 四边形ABCD ＝2S △ABE ＋S △BEC ＋S △ADE
＝2×12×3×4＋12×32
＋12
×42＝24.5，故C 正确；
在该图形中，有3对全等三角形，故D 错误．
6．过点P (－1,0)，作⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2
＝1的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆的方程为________．
解析：∵PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴P 、A 、B 、C 四点共圆，且PC 是其直径，故此圆的方程为x 2
＋(y －1)2＝2，即为过A 、B 、C 的圆方程．
答案：x 2＋(y －1)2
＝2.
7．如图，AB＝10 cm，BC＝8 cm，CD平分∠ACB，则AC＝________，BD＝________. 解析：∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝AB2－BC2＝6.
又∵CD平分∠ACB，
即∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
∴BD＝AB2
2
＝5 2.
答案：6 5 2
8．正方形ABCD的中心为O，面积为50 cm2，P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝3∶4，则PB＝________.
解析：如图，连接OA，OB，则∠OAB＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OPB＝45°.
∴A，B，O，P四点共圆．
∴∠APB＝∠AOB＝90°，即△APB为直角三角形．
∴AP2＋PB2＝AB2＝50.
又∵PA∶PB＝3∶4，
∴2516
PB 2
＝50，即PB ＝4 2 (cm)． 答案：4 2 cm
9．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别是AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．
解：由于四点共圆，∴∠B ＋∠D ＝180°. ∴cos ∠B ＝－cos ∠D .
根据余弦定理，得AC 2＝22＋62－2×2×6cos ∠B ＝22＋62
＋2×2×6cos ∠D ， AC 2＝42＋42－2×4×4cos ∠D ，
∴cos ∠D ＝－17，sin ∠D ＝sin ∠B ＝4 3
7
.
∴四边形ABCD 的面积＝12×AB ×BC ×sin ∠B ＋1
2
×AD ×DC ×sin ∠D ＝8 3.
10．如图，锐角三角形ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．
(1)求证：A ，I ，H ，E 四点共圆； (2)若∠C ＝50°，求∠IEH 的度数．
解：(1)证明：由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ， 结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90°. 所以，四点A ，I ，H ，E 共圆．
(2)由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，则∠IEH ＝∠HAI . 在△HIA 中，
∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠ABC ＋1
2
∠BAC
＝12(∠ABC ＋∠BAC )＝12(180°－∠C )＝90°－1
2
∠C . 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝1
2
∠C ，
所以∠IEH ＝1
2
∠C .
由∠C ＝50°，得∠IEH ＝25°.
11．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB 、FC .
(1)求证：FB ＝FC ；
(2)求证：FB 2
＝FA ·FD ；
(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°， BC ＝6 cm ，求AD 的长．
解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB . ∴FB ＝FC .
(2)证明：∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ， ∠AFB ＝∠BFD ， ∴△FBA ∽△FDB .
∴FB FD ＝FA FB
，∴FB 2＝FA ·FD .
(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵∠EAC ＝120°，
∴∠DAC ＝1
2
∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.
∠D ＝30°.
∵BC ＝6，∴AC ＝2 3 (cm)． ∴AD ＝2AC ＝4 3 (cm)．。