西岗区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

西岗区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z =2（+i ），则z=（ ）
A ．﹣1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1+i
D ．1﹣i
2． 下列命题中正确的是（ ）
A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题
B ．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x ≠0”
C ．“
”是“
”的充分不必要条件
D ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“
”
3． 已知函数()x F x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A ．(-∞
B ．(-∞
C ．
D ．)+∞ 4． 有一学校高中部有学生2000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15，10，25 B ．20，15，15 C ．10，10，30 D ．10，20，20
5． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ） A ．
14 B ．18 C ．23 D ．112
6． 以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大
值为O 的体积为（ ）
A ．81π
B ．128π
C ．144π
D ．288π
【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
8．如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，A=45°，O为△ABC的外心，则•等于（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
9．函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2.3）D．（3，4）
10．下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（）
A．f（x）=﹣xe|x| B．f（x）=x+sinx
C．f（x）=D．f（x）=x2|x|
11．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）
A．（﹣，﹣2] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣，+∞）
N ，则输出的S的值是（）
12．在下面程序框图中，输入44
A．251B．253C．255D．260
【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.
二、填空题
13．已知函数，则__________；的最小值为__________．
14．曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形的面积为．
15．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是．
16．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为．
17．曲线y=x+e x 在点A （0，1）处的切线方程是 ．
18．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．
三、解答题
19．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （﹣1，1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率
之积等于﹣．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .
（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .
21．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .
22．A={x|x 2﹣3x+2=0}，B={x|ax ﹣2=0}，若B ⊆A ，求a ．
23．已知f （x ）=log 3（1+x ）﹣log 3（1﹣x ）． （1）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明；
（2）已知函数g （x ）=log ，当x ∈[，
]时，不等式 f （x ）≥g （x ）有解，求k 的取值范围．
24．已知函数f （x ）=lg （2016+x ），g （x ）=lg （2016﹣x ） （1）判断函数f （x ）﹣g （x ）的奇偶性，并予以证明． （2）求使f （x ）﹣g （x ）＜0成立x 的集合．
西岗区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R
），则=a ﹣bi ， 由
z
=2
（+i ），得（a+bi ）（a ﹣bi ）=2[a+（b ﹣1）i]，
整理得a 2+b 2
=2a+2（b ﹣1）i ．
则
，解得．
所以z=1+i ． 故选B ．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
2． 【答案】 D
【解析】解：若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为假命题，故A 不正确； 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy ≠0，则x ≠0”，故B 不正确；
“”⇒
“+2k π
，或，k ∈Z ”，
“”⇒
“
”，
故
“
”是
“
”的必要不充分条件，故C 不正确；
命题“∀x ∈R ，2x
＞0”的否定是
“”，故D 正确．
故选D ．
【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为函数()x
F x e =满足()()()F x g x h x =+,且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函
数,()()()()()()(],,,,0,222x x x x
x
x
e e e e e g x h x e
g x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈ 使得不等式
()()20g x ah x -≥恒成立, 即
2202
2
x
x
x x
e e
e e a
--+--≥恒成立, ()2
222
x x x x
x x
x x
e e e e
a e e e e -----++∴≤
=
--
()2x x x x
e e e e
--=-+
+, 设x x t e e -=-，则函数x x t e e -=-在(]0,2上单调递增,22
0t e e -∴<≤-, 此时不等
式222t t +
≥,当且仅当2
t t
=,即2t =时, 取等号,22a ∴≤,故选B. 考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.
4． 【答案】B
【解析】解：每个个体被抽到的概率等于=
，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为
800×
=20，600×
=15，600×
=15，
故选B ．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 6． 【答案】D
【解析】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成
个分
数，
由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数，
故这种分数是可约分数的共有个，
则分数是可约分数的概率为P==
，
故答案为：D
【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7． 【答案】D
【解析】当OC ⊥平面AOB 平面时，三棱锥O ABC -的体积最大，且此时OC 为球的半径．设球的半径为R ，
则由题意，得211sin 6032R R ⨯
⨯︒⋅=6R =，所以球的体积为34
2883
R π=π，故选D ． 8． 【答案】A
【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O 在线段AB ，AC 上的射影为相应线段的中点，
可得，
，则
•
=
=16﹣18=
﹣2； 故选A ．
【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题
9． 【答案】A
【解析】解：∵f （0）=﹣2＜0，f （1）=1＞0，
∴由零点存在性定理可知函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（0，1）． 故选A
【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：满足“∀x ∈R ，f （x ）+f （﹣x ）=0，且f ′（x ）≤0”的函数为奇函数，且在R 上为减函数， A 中函数f （x ）=﹣xe |x|，满足f （﹣x ）=﹣f （x ），即函数为奇函数，
且f ′（x ）=
≤0恒成立，故在R 上为减函数，
B 中函数f （x ）=x+sinx ，满足f （﹣x ）=﹣f （x ），即函数为奇函数，但f ′（x ）=1+cosx ≥0，在R 上是增函数，
C 中函数f （x ）=
，满足f （﹣x ）=f （x ），故函数为偶函数；
D 中函数f （x ）=x 2|x|，满足f （﹣x ）=f （x ），故函数为偶函数，
故选：A ．
11．【答案】A
【解析】解：∵f （x ）=x 2
﹣3x+4与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，
故函数y=h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2
﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，
故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，
故选A．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
12．【答案】B
二、填空题
13．【答案】
【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
当时，
当时，
故的最小值为
故答案为：
14．【答案】．
【解析】解：∵曲线y=x2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）
∴曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形的面积为S=（）dx+dx=（x
﹣x3）+（x3﹣x）=．
故答案为：．
15．【答案】．
【解析】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y=k（x﹣1），
由，消去x得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4，
消去y
得k2=3，解之得k=±．
2
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
16．【答案】70．
【解析】解：根据题意二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，
则n=8，
所以二项式=展开式的通项为
T r+1=（﹣1）r C8r x8﹣2r
令8﹣2r=0得r=4
则其常数项为C84=70
故答案为70．
【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．17．【答案】2x﹣y+1=0．
【解析】解：由题意得，y′=（x+e x）′=1+e x，
∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e0=2，
则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0，
故答案为：2x﹣y+1=0．
【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题．
18．【答案】（1，±2）．
【解析】解：设点P坐标为（a2，a）
依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2
a2+2=，求得a=±2
∴点P的坐标为（1，±2）
故答案为：（1，±2）．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．
设点P的坐标为（x，y）
化简得x2+3y2=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）
（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）
则．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以
所以=
即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得
因为x02+3y02=4，所以
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．
【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．
20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD中
点F ，连结PF AF ,，可证明AF PQ //，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明⊥AC 平面SEQ ，即平面⊥SAC 平面SEQ . 试题解析：证明：（1）取SD 中点F ，连结PF AF ,. ∵F P 、分别是棱SD SC 、的中点，∴CD FP //，且CD FP 2
1
=. ∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，
∴CD AQ //，且CD AQ 2
1
=
，即AQ FP //且AQ FP =. ∴AQPF 为平行四边形，则AF PQ //.
∵⊄PQ 平面SAD ，⊂AF 平面SAD ，∴//PQ 平面SAD .
考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理.
21．【答案】（1）102n a n =-；（2）229(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪
=⎨-+>⎪⎩．
【解析】
试题分析：（1）由2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 是等差数列且18a =，42a =，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）令0n a =，得5n =，当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >，即可分类讨论求解数列n S ．
当5n ≤时，12||||||n n S a a a =++
2
129n a a a n n =+++=-
∴2
29(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩.1
考点：等差数列的通项公式；数列的求和． 22．【答案】
【解析】解：解：集合A={x|x 2
﹣3x+2=0}={1，2}
∵B ⊆A ，
∴（1）B=∅时，a=0 （2）当B={1}时，a=2 （3））当B={2}时，a=1 故a 值为：2或1或0．
23．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）为奇函数．
理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分）
又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x），
则f（x）是奇函数.
（2）g（x）=log=2log3，（5分）
又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分）
由f（x）≥g（x）得log3≥log3，
即≥，（8分）
即k2≥1﹣x2，（9分）
x∈[，]时，1﹣x2最小值为，（10分）
则k2≥，（11分）
又k＞0，则k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，].
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lg（2016+x）﹣lg（2016﹣x），h（x）的定义域为（﹣2016，2016）；
h（﹣x）=lg（2016﹣x）﹣lg（2016+x）=﹣h（x）；
∴f（x）﹣g（x）为奇函数；
（2）由f（x）﹣g（x）＜0得，f（x）＜g（x）；
即lg（2016+x）＜lg（2016﹣x）；
∴；
解得﹣2016＜x＜0；
∴使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合为（﹣2016，0）．
【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，对数的真数需大于0，以及对数函数的单调性．。