2019_2020学年高二数学下学期开学考试试题含解析
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17。如图，正方体 中
(1）求证：
(2）求证： 平面
【答案】（1)见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1)利用线面垂直的结论，进而可得线线垂直结论；
（2）利用线面垂直的判定定理，进而可得结论。
【详解】证明：(1）连结 、
平面 ， 平面
又 ， , 平面
平面 ,又 平面
(2)由 ，即 同理可得 ，
又 ， 平面
∴
∴ ，即 ，
故抛物线方程为 ，所以准线方程为 。
故选:D。
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的弦长公式，属于基础题。
11。已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线
③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面
【详解】解：对于①，一个平面内已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线，即①错误;
对于②，一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的无数条直线，即②正确；
对于③，一个平面内任一条直线不一定垂直于另一个平面,即③错误;
对于④,在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，即④正确,
点 是椭圆 : 上两点，
则
解得： ，
故椭圆 的方程为： .
（2）∵直线 的斜率为1，故设直线 的方程为： 即 ，
∵直线 与圆 相切，∴ ,
由 ，即
∴
∴ .
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与圆相切，直线与椭圆相交等基础知识，属于基础题。
21。如图，四棱锥 中,侧面 为等边三角形且垂直于底面 , ， ， 是 的中点。
7.已知圆 ，圆 ，则圆 和圆 的位置关系为（）
A.相切B。内含C.外离D.相交
【答案】B
【解析】
【分析】
将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心与半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距 与半径和与差的关系，即可得到结论。
【详解】圆 ,即 ，∴ ， ，
圆 ，即 ，∴ ， ,
∴两圆的圆心距 , ， ，
∴ ,故两圆内含.
【详解】设 ，点 的坐标为 ，
由定点 ,且 是线段 的中点，则 ， ,
即 ， ，
∴ ，
又点 在圆 上运动，即 ，
整理得 ，
∴线段 中点 的轨迹方程是 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查中点的坐标公式，求轨迹方程的方法，相关点法,设出动点坐标，求出相关的点的坐标，代入已知曲线方程,属于基础题.
16。已知 ， ，点 在圆 上运动，则 的最小值是________.
∴ ,∴ 。
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.
3。如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）
A。 B。 C。 D。
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱柱,结合图中数据即可求出体积。
【详解】根据几何体 三视图,得该几何体是直三棱柱，且直三棱柱的底面是等腰直角三角形,高为 ，则该直三棱柱的体积为 .
取 的中点 ，连 ，可得 为等腰直角三角形， ，
【答案】C
【解析】
【分析】
利用点斜式的方程判定即可.
【详解】由 有 ，故直线 过点 ,斜率为 。
故选:C
【点睛】本题主要考查了点斜式的运用,属于基础题型。
2。双曲线 的离心率是( )
A. B。 C。 D。
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线的标准方程求得 和 ，从而求得离心率 的值.
【详解】由双曲线方程 可得 ， ，
则 ,即 ，解得 或 ,
所以“ ”是“直线 与直线 互相垂直” 充分不必要条件。
故选：A.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及直线垂直的条件应用，属于基础题.
9。下列命题是真命题的是（）
A。“若 ，则 ”的逆命题
B. “若 ,则 "的否定
C。“若 都是偶数,则 是偶数”的否命题
D. “若函数 都是R上的奇函数，则 是R上的奇函数”的逆否命题
5.双曲线 的一条渐近线的方程为（）
A. B。 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将双曲线方程化为标准形式，即可得到渐近线方程。
【详解】由双曲线 ，得 ,
所以渐近线的方程为 ，即 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题.
6.已知圆 与圆 关于直线 对称，则直线 的方程是（)
【答案】
【解析】
【分析】
由题意设 ,利用两点之间的距离公式表示出 ，进而可得结论。
【详解】由题意得圆的参数方程为 （ 为参数），设 ，
则 ，
，
∴ ,其中 ，
当 时, 有最小值为 。
故答案为: 。
【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用,属于基础题。
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【详解】(1）由 可得顶点 ,
又因为 得，
所以设 的方程为 ，
将 代入得
由 可得顶点为
所以 和 的坐标分别为 和
（2）设 的外接圆方程为 ，
将 、 和 三点的坐标分别代入，得 ,
解得 ，
所以 的外接圆的一般方程为 。
【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题.
20。已知点 是椭圆 ： 上两点.
故选：B.
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法,属于基础题。
8。“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C 充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
结合直线垂直的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】要使直线 与直线 互相垂直，
(1)证明:直线 平面 ；
（2）若 的面积为 ，求四棱锥 的体积 .
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
(1）取 的中点 ，连 、 ,证明四边形 是平行四边形，可得 ，即可证明 平面 ;
（2)在平面 内作 于 ,先设 ,然后利用 的面积为 ，求出 ,再结合三棱锥体积公式求解即可。
【详解】解：(1）取 中点 ，连 、 ,
A. B。 C. D。
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线 的方程为 ，由直线与 轴交于 ，得 ，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理列式即可得抛物线的方程，进而可得准线方程。
【详解】由抛物线 知焦点 ,设直线 的方程为 ， , ,则 ，
∵直线 与 轴交于 ，则 ,得 ，
∴直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点 ，对称轴为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线方程为 ，则焦点 ，
∵ 轴，∴
∴
又∵ 轴于点 ， ， ，
∴ 或 ,
∵ 在抛物线上,
∴ ，
∴ 即 成等比数列.
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，以及抛物线的通径公式,考查分析与推理证明的能力，属于基础题.
19.已知 的顶点 ，直线 的方程为 ， 边上的高 所在直线的方程为
安徽省合肥市2019—2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）
考试时间:120分钟满分150分
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）
1。直线 的方程为 ，则（）
A.直线 过点 ，斜率为 B。直线 过点 ,斜率为
C。直线 过点 ,斜率为 D.直线 过点 ，斜率为
（1）求顶点 和 的坐标；
（2）求 外接圆的一般方程。
【答案】（1) 和 ;（2）
【解析】
【分析】
（1)联立直线 与直线 的方程可得点 的坐标，由 ，进而设出直线 的方程，将 的坐标代入得方程，再与直线 方程联立即可得点 的坐标；
（2）由（1)知 ， ， 的坐标，设 外接圆的一般方程，代入求解即可.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据命题的定义,写出已知中命题的四种命题或否定命题，再逐一判断真假即可得到答案.
【详解】对于A:“若 ,则 ”的逆命题为：“若 ,则 "为假命题，故A错误；
对于B：“若 ,则 ”的否定为:“若 ，则 "为假命题,故B错误；
对于C：“若 都是偶数，则 是偶数”的否命题为:“若 不都是偶数,则 不是偶数”为假命题,故C错误;
【答案】
【解析】
【分析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论。
【详解】命题为特称量词，则命题“ ”的否定为：“ ”.
故答案为： 。
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题。
14.焦点在 轴上,离心率 ，且过 的椭圆的标准方程为_______。
【答案】
【解析】
【分析】
设椭圆方程,利用离心率为 ，且经过点 ,建立方程，从而可求得椭圆方程.
A. B.
C。 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和,可得两圆外离，把两个圆的方程相减可得对称轴 的方程.
【详解】∵两圆 与圆 关于直线 对称，且两圆的圆心距为 ，
∴两圆外离，将两个圆的方程相减可得 ，即 .
故直线 的方程为 .
故选：B.
【点睛】本题考查两圆关于直线对称的性质，把两个圆的方程相减可得此直线的方程，属于基础题。
∵ 是 的中点,
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
又 平面 , 平面 ，
∴ 平面 。
(2）在平面 内作 于 ，
不妨设 ，则 ，
由 是等边三角形，则 ，
又 为 的中点，则 ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
又 ， ， 平面 ； ， 平面 .
∴ 平面 ; 平面 ，
∴ ， ，
∴ , ，
对于D:“若函数 都是 上的奇函数，则 是 上的奇函数”的逆否命题为：“若 是 上的奇函数，则函数 都是 上的奇函数”为真命题，故D正确。
故选：D。
【点睛】本题考查的知识点是四种命题，命题的否定，熟练掌握四种命题的定义是解答的关键，属于基础题.
10.已知抛物线 焦点为 ，直线 过点 与抛物线交于两点 ,与 轴交于 ,若 ，则抛物线的准线方程为(）
【详解】由题意，设椭圆方程为 ，
因椭圆离心率为 ，且经过点 ，则 ， ，
解得 , ,
故椭圆的标准方程为 。
故答案为: .
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题.
15。已知定点 ，点 在圆 上运动，则线段 中点 的轨迹方程是___________
【答案】
【解析】
【分析】
设出点 ,根据 是 中点的坐标，利用中点坐标公式求出 的坐标,再根据 在圆上，得到轨迹方程.
④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题的个数为（）
A。0B。1C. 2D。3
【答案】C
【解析】
分析】
对于①，由空间中的线线关系可得①错误；
对于②，由面面垂直的性质定理可得②正确；
对于③，由空间中的线面关系可得③错误;
对于④，由面面垂直的性质定理可得④正确,得解.
【详解】如图所示：
在三棱锥 中, ， ， ， ，
因 ，则 ，
由题意知， , ，
所以 互相垂直，
即三棱锥 的外接球的半径为 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：A.
【点睛】本题考查了空间几何体的性质，运算求解外接球表面积，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分)
13。命题“ "的否定为：_______________.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 的斜率为1,直线 与圆 相切，且与椭圆 交于点 ,求线段 的长。
【答案】（1） ；（2)
【解析】
【分析】
（1）设椭圆方程为 ，将两点坐标代入解得即可；
（2）设直线方程为 ,由直线 与圆 相切，得 ，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求得线段的长。
【详解】（1）设椭圆 的方程为： ，
即正确命题的个数为2，
故选：C.
【点睛】本题考查了空间中线面、线线关系，重点考查了面面ห้องสมุดไป่ตู้直的性质定理,属基础题.
12.已知正方形 的边长为 ， 分别为边 上的点,且 。将 分别沿 和 折起，使点 和 重合于点 ，则三棱锥 的外接球表面积为（）
A. B. C。 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
用球的内接长方体的性质，得出半径,求解外接球表面积．
故选：A.
【点睛】本题考查空间几何图三视图的应用问题，空间想象能力与计算能力的应用问题，属于基础题.
4。已知空间两点 ，则 间的距离是（）
A. B. C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间中两点之间的距离公式即可得到结论。
【详解】根据空间中两点之间的距离公式得 。
故选：C。
【点睛】本题主要考查空间中两点之间的距离公式的应用，属于基础题。
平面
【点睛】本题主要考查线线垂直,线面垂直的证明方法，属于基础题.
18.设抛物线的顶点为 ,经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点 ,经过抛物线上一点 垂直于对称轴的直线和对称轴交于点 ,设 , ， ,求证： 成等比数列。
【答案】见解析
【解析】
【分析】
设抛物线为 ，由题意可得 ，由 轴于点 可得 或 ，进而可得结论。
(1）求证：
(2）求证： 平面
【答案】（1)见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1)利用线面垂直的结论，进而可得线线垂直结论；
（2）利用线面垂直的判定定理，进而可得结论。
【详解】证明：(1）连结 、
平面 ， 平面
又 ， , 平面
平面 ,又 平面
(2)由 ，即 同理可得 ，
又 ， 平面
∴
∴ ，即 ，
故抛物线方程为 ，所以准线方程为 。
故选:D。
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的弦长公式，属于基础题。
11。已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线
③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面
【详解】解：对于①，一个平面内已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线，即①错误;
对于②，一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的无数条直线，即②正确；
对于③，一个平面内任一条直线不一定垂直于另一个平面,即③错误;
对于④,在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，即④正确,
点 是椭圆 : 上两点，
则
解得： ，
故椭圆 的方程为： .
（2）∵直线 的斜率为1，故设直线 的方程为： 即 ，
∵直线 与圆 相切，∴ ,
由 ，即
∴
∴ .
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与圆相切，直线与椭圆相交等基础知识，属于基础题。
21。如图，四棱锥 中,侧面 为等边三角形且垂直于底面 , ， ， 是 的中点。
7.已知圆 ，圆 ，则圆 和圆 的位置关系为（）
A.相切B。内含C.外离D.相交
【答案】B
【解析】
【分析】
将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心与半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距 与半径和与差的关系，即可得到结论。
【详解】圆 ,即 ，∴ ， ，
圆 ，即 ，∴ ， ,
∴两圆的圆心距 , ， ，
∴ ,故两圆内含.
【详解】设 ，点 的坐标为 ，
由定点 ,且 是线段 的中点，则 ， ,
即 ， ，
∴ ，
又点 在圆 上运动，即 ，
整理得 ，
∴线段 中点 的轨迹方程是 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查中点的坐标公式，求轨迹方程的方法，相关点法,设出动点坐标，求出相关的点的坐标，代入已知曲线方程,属于基础题.
16。已知 ， ，点 在圆 上运动，则 的最小值是________.
∴ ,∴ 。
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.
3。如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）
A。 B。 C。 D。
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱柱,结合图中数据即可求出体积。
【详解】根据几何体 三视图,得该几何体是直三棱柱，且直三棱柱的底面是等腰直角三角形,高为 ，则该直三棱柱的体积为 .
取 的中点 ，连 ，可得 为等腰直角三角形， ，
【答案】C
【解析】
【分析】
利用点斜式的方程判定即可.
【详解】由 有 ，故直线 过点 ,斜率为 。
故选:C
【点睛】本题主要考查了点斜式的运用,属于基础题型。
2。双曲线 的离心率是( )
A. B。 C。 D。
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线的标准方程求得 和 ，从而求得离心率 的值.
【详解】由双曲线方程 可得 ， ，
则 ,即 ，解得 或 ,
所以“ ”是“直线 与直线 互相垂直” 充分不必要条件。
故选：A.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及直线垂直的条件应用，属于基础题.
9。下列命题是真命题的是（）
A。“若 ，则 ”的逆命题
B. “若 ,则 "的否定
C。“若 都是偶数,则 是偶数”的否命题
D. “若函数 都是R上的奇函数，则 是R上的奇函数”的逆否命题
5.双曲线 的一条渐近线的方程为（）
A. B。 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将双曲线方程化为标准形式，即可得到渐近线方程。
【详解】由双曲线 ，得 ,
所以渐近线的方程为 ，即 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题.
6.已知圆 与圆 关于直线 对称，则直线 的方程是（)
【答案】
【解析】
【分析】
由题意设 ,利用两点之间的距离公式表示出 ，进而可得结论。
【详解】由题意得圆的参数方程为 （ 为参数），设 ，
则 ，
，
∴ ,其中 ，
当 时, 有最小值为 。
故答案为: 。
【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用,属于基础题。
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【详解】(1）由 可得顶点 ,
又因为 得，
所以设 的方程为 ，
将 代入得
由 可得顶点为
所以 和 的坐标分别为 和
（2）设 的外接圆方程为 ，
将 、 和 三点的坐标分别代入，得 ,
解得 ，
所以 的外接圆的一般方程为 。
【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题.
20。已知点 是椭圆 ： 上两点.
故选：B.
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法,属于基础题。
8。“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C 充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
结合直线垂直的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】要使直线 与直线 互相垂直，
(1)证明:直线 平面 ；
（2）若 的面积为 ，求四棱锥 的体积 .
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
(1）取 的中点 ，连 、 ,证明四边形 是平行四边形，可得 ，即可证明 平面 ;
（2)在平面 内作 于 ,先设 ,然后利用 的面积为 ，求出 ,再结合三棱锥体积公式求解即可。
【详解】解：(1）取 中点 ，连 、 ,
A. B。 C. D。
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线 的方程为 ，由直线与 轴交于 ，得 ，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理列式即可得抛物线的方程，进而可得准线方程。
【详解】由抛物线 知焦点 ,设直线 的方程为 ， , ,则 ，
∵直线 与 轴交于 ，则 ,得 ，
∴直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点 ，对称轴为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线方程为 ，则焦点 ，
∵ 轴，∴
∴
又∵ 轴于点 ， ， ，
∴ 或 ,
∵ 在抛物线上,
∴ ，
∴ 即 成等比数列.
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，以及抛物线的通径公式,考查分析与推理证明的能力，属于基础题.
19.已知 的顶点 ，直线 的方程为 ， 边上的高 所在直线的方程为
安徽省合肥市2019—2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）
考试时间:120分钟满分150分
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）
1。直线 的方程为 ，则（）
A.直线 过点 ，斜率为 B。直线 过点 ,斜率为
C。直线 过点 ,斜率为 D.直线 过点 ，斜率为
（1）求顶点 和 的坐标；
（2）求 外接圆的一般方程。
【答案】（1) 和 ;（2）
【解析】
【分析】
（1)联立直线 与直线 的方程可得点 的坐标，由 ，进而设出直线 的方程，将 的坐标代入得方程，再与直线 方程联立即可得点 的坐标；
（2）由（1)知 ， ， 的坐标，设 外接圆的一般方程，代入求解即可.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据命题的定义,写出已知中命题的四种命题或否定命题，再逐一判断真假即可得到答案.
【详解】对于A:“若 ,则 ”的逆命题为：“若 ,则 "为假命题，故A错误；
对于B：“若 ,则 ”的否定为:“若 ，则 "为假命题,故B错误；
对于C：“若 都是偶数，则 是偶数”的否命题为:“若 不都是偶数,则 不是偶数”为假命题,故C错误;
【答案】
【解析】
【分析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论。
【详解】命题为特称量词，则命题“ ”的否定为：“ ”.
故答案为： 。
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题。
14.焦点在 轴上,离心率 ，且过 的椭圆的标准方程为_______。
【答案】
【解析】
【分析】
设椭圆方程,利用离心率为 ，且经过点 ,建立方程，从而可求得椭圆方程.
A. B.
C。 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和,可得两圆外离，把两个圆的方程相减可得对称轴 的方程.
【详解】∵两圆 与圆 关于直线 对称，且两圆的圆心距为 ，
∴两圆外离，将两个圆的方程相减可得 ，即 .
故直线 的方程为 .
故选：B.
【点睛】本题考查两圆关于直线对称的性质，把两个圆的方程相减可得此直线的方程，属于基础题。
∵ 是 的中点,
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
又 平面 , 平面 ，
∴ 平面 。
(2）在平面 内作 于 ，
不妨设 ，则 ，
由 是等边三角形，则 ，
又 为 的中点，则 ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
又 ， ， 平面 ； ， 平面 .
∴ 平面 ; 平面 ，
∴ ， ，
∴ , ，
对于D:“若函数 都是 上的奇函数，则 是 上的奇函数”的逆否命题为：“若 是 上的奇函数，则函数 都是 上的奇函数”为真命题，故D正确。
故选：D。
【点睛】本题考查的知识点是四种命题，命题的否定，熟练掌握四种命题的定义是解答的关键，属于基础题.
10.已知抛物线 焦点为 ，直线 过点 与抛物线交于两点 ,与 轴交于 ,若 ，则抛物线的准线方程为(）
【详解】由题意，设椭圆方程为 ，
因椭圆离心率为 ，且经过点 ，则 ， ，
解得 , ,
故椭圆的标准方程为 。
故答案为: .
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题.
15。已知定点 ，点 在圆 上运动，则线段 中点 的轨迹方程是___________
【答案】
【解析】
【分析】
设出点 ,根据 是 中点的坐标，利用中点坐标公式求出 的坐标,再根据 在圆上，得到轨迹方程.
④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题的个数为（）
A。0B。1C. 2D。3
【答案】C
【解析】
分析】
对于①，由空间中的线线关系可得①错误；
对于②，由面面垂直的性质定理可得②正确；
对于③，由空间中的线面关系可得③错误;
对于④，由面面垂直的性质定理可得④正确,得解.
【详解】如图所示：
在三棱锥 中, ， ， ， ，
因 ，则 ，
由题意知， , ，
所以 互相垂直，
即三棱锥 的外接球的半径为 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：A.
【点睛】本题考查了空间几何体的性质，运算求解外接球表面积，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分)
13。命题“ "的否定为：_______________.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 的斜率为1,直线 与圆 相切，且与椭圆 交于点 ,求线段 的长。
【答案】（1） ；（2)
【解析】
【分析】
（1）设椭圆方程为 ，将两点坐标代入解得即可；
（2）设直线方程为 ,由直线 与圆 相切，得 ，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求得线段的长。
【详解】（1）设椭圆 的方程为： ，
即正确命题的个数为2，
故选：C.
【点睛】本题考查了空间中线面、线线关系，重点考查了面面ห้องสมุดไป่ตู้直的性质定理,属基础题.
12.已知正方形 的边长为 ， 分别为边 上的点,且 。将 分别沿 和 折起，使点 和 重合于点 ，则三棱锥 的外接球表面积为（）
A. B. C。 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
用球的内接长方体的性质，得出半径,求解外接球表面积．
故选：A.
【点睛】本题考查空间几何图三视图的应用问题，空间想象能力与计算能力的应用问题，属于基础题.
4。已知空间两点 ，则 间的距离是（）
A. B. C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间中两点之间的距离公式即可得到结论。
【详解】根据空间中两点之间的距离公式得 。
故选：C。
【点睛】本题主要考查空间中两点之间的距离公式的应用，属于基础题。
平面
【点睛】本题主要考查线线垂直,线面垂直的证明方法，属于基础题.
18.设抛物线的顶点为 ,经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点 ,经过抛物线上一点 垂直于对称轴的直线和对称轴交于点 ,设 , ， ,求证： 成等比数列。
【答案】见解析
【解析】
【分析】
设抛物线为 ，由题意可得 ，由 轴于点 可得 或 ，进而可得结论。