2023-2024学年山东省青岛市市南区九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)

2023-2024学年山东省青岛市市南区九年级（上）月考数学试卷（10月
份）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列说法中，错误的是( )
A. 菱形的对角线互相垂直
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 平行四边形的对角线互相平分
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A. 测量两条对角线是否相等
B. 度量两个角是否是90°
C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D. 测量两组对边是否分别相等
3.一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是( )
A. 1
3B. 1
2
C. 1
4
D. 1
6
4.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为( )
A. 2.4cm
B. 4.8cm
C. 5cm
D. 9.6cm
5.用配方法解一元二次方程3x2−6x−5=0时，下列变形正确的是( )
A. (x−1)2=8
3B. (x−1)2=2
3
C. (x−1)2=8
D. (x−1)2=6
6.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直
线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段AC=15
2
，则线段AB的长是( )
A. 5
2
B. 2
C. 3
2
D. 5
7.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( )
A. 6cm2
B. 7cm2
C. 8cm2
D. 9cm2
8.三角形两边长分别为7和4，第三边是方程x2−11x+18=0的解，则这个三角形的周长是( )
A. 13
B. 13或20
C. 12
D. 20
9.如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形
的休闲场所，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边如图所示，
若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域(阴影部分)的面积为192平方米.设小
道宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是( )
A. (20−x)2=192
B. 4×3x(20−4x)=192
C. (20−4x)2=192
D. 202−4×3x2−(20−3x)2=192
10.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿M N所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是( )
A. 7
B. 7−1
C. 6
D. 6−1
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.已知a
6=b
5
=c
4
，且a+b−2c=6，则a的值为______．
12.某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为56万元.设每月的平均增长率为x，则可列方程为______ ．
13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E 作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为．
14.若x=−1关于x的一元二次方程ax2+bx+23=0的解，则−a+b+2020的值是______ ．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若
矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为2
3
，连接CF，则CF=______．
16.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥A
E于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①AD=AE；
②∠AED=∠CED；
③OE=OD；
④BH=HF．
其中正确的有.(项序号)
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题4.0分)
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：矩形ABCD，
求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上．
18.(本小题16.0分)
解方程：
(直接开平方法)；
(1)4(x+1)2=1
4
(2)x2+4x+2=0(配方法)；
(3)x(x−2)=2−x(因式分解法)；
(4)8x2+10x=3(公式法)．
19.(本小题6.0分)
已知关于x的一元二次方程mx2−4x+1=0．
(1)若1是该方程mx2−4x+1=0的一个根，求m的值；
(2)若一元二次方程mx2−4x+1=0有实数根，求m的取值范围．
20.(本小题6.0分)
随着经济的发展和科技的进步，支付方式也在发生变化.多样的支付方式便利了人们的生活，提升了人们的生活品质，也改变了人们的消费观念和习惯，是人们幸福指数提高的有力见证.目前常见的支付方式有：现金支付、刷卡支付、扫码支付、数字人民币支付(分别用A，B，C，D表示).若小明和小华两人在购物时，选择以上四种支付方式的可能性相同．
(1)求小明采用“扫码支付”的概率；
(2)请通过列表或画树状图的方法，求小明和小华采用同一种支付方式的概率．
21.(本小题8.0分)
第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元.如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件.据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．
(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；
(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？
22.(本小题10.0分)
如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)求证：四边形BEDF是菱形；
(3)若AD=42，AE=2，求菱形BEDF的面积．
23.(本小题10.0分)
阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1，x2和系数a、b、c，有如下关系：x1
+x2=−b
a ，x1x2=c
a
．
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根．
∴m+n=1，mn=−1．
则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
(1)应用：一元二次方程2x 2+3x−1=0的两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2= ______ ，x 1x 2= ______ ．(2)类比：已知一元二次方程2x 2+3x−1=0的两个实数根为m 、n ，求m 2+n 2的值；(3)提升：已知实数s ，t 满足2s 2+3s−1=0，2t 2+3t−1=0，且s ≠t ．求：①4s 2+7s +t ；②1s −1t
的值．24.(本小题12.0分)
如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，∠ADC =90°，AD =12cm ，AB =18cm ，CD =23cm ，动点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度向终点B 运动，同时动点Q 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿折线B−C−D 向终点D 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．(1)用含t 的式子表示PB ．
(2)当t 为何值时，直线PQ 把四边形ABCD 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(3)只改变点Q 的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ 为菱形，则点Q 的运动速度应为多少？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、菱形的对角线互相垂直，故不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，故不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故不符合题意；
故选：B．
由菱形的判定和性质可判断各个选项．
本题考查了矩形，菱形，平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
列表得出所有等可能的情况数，找出第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：列表得：
红1
红2白1白2红1---(红2，红1)(白1，红1)(白2，红1)红2(红1，红2)---(白1，红2)(白2，红2)白1(红1，白1)(红2，白1)---(白2，白1)白2
(红1，白2)
(红2，白2)
(白1，白2)
---
所有等可能的情况有12种，其中第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况有4种，则P =
4
12=13
，故选：A ．
4.【答案】B
【解析】解：如图所示：因为四边形ABCD 是菱形，所以OA =12
AC =4cm ，OB =12
BD =3cm ，AC ⊥BD ，所以AB = OA 2+OB 2= 42+32=5(cm )，
因为菱形ABCD 的面积=AB ⋅DE =12
AC ⋅BD =12
×8×6=24(cm 2)，所以DE =
24
5
=4.8(cm )；故选：B ．
先由菱形的性质和勾股定理求出边长，再根据菱形面积的两种计算方法，即可求出菱形的高．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出边长是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵3x 2−6x =5，∴x 2−2x =53
，
则x 2−2x +1=53
+1，即(x−1)2=83
，故选：A ．
根据配方法解方程的步骤求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，
∴AB AC =AD
AE
，
∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，
∴AD AE =2
3
，
∴AB
15
2
=2
3
，
解得AB=5，
故选：D．
过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解．
此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键．7.【答案】B
【解析】【分析】
本题分两部分求解，首先设不规则图案的面积为xcm2，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，继而根据折线图用频率估算概率，综合以上列方程求解即可．
本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行题目创新，解题的关键在于理解题意，能从复杂的题目背景中找到考点化繁为简．
【解答】解：假设不规则图案的面积为xcm2，
由已知得：长方形面积为20cm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：x
20
，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上：x
20
=0.35，
解得：x=7，
∴不规则图案的面积大约为7cm2，
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：x2−11x+18=0，
(x−2)(x−9)=0，
x−2=0或x−9=0，
x1=2，x2=9，
∵三角形两边长分别为7和4，
∴x=2不符合题意，舍去，
∴这个三角形的周长=7+4+9=20，
故选：D．
先利用解一元二次方程的解−因式分解法进行计算，可求出x1=2，x2=9，然后根据三角形的三边关系可得：x=2不符合题意，舍去，从而根据三角形的周长公式进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，三角形三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由题意得：4×3x(20−3x−x)=192，
即4×3x(20−4x)=192，
故选：B．
一个阴影矩形的长为(20−3x−x)米，根据花草种植区域(阴影部分)的面积为192平方米，列出一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10.【答案】B
【解析】解：根据题意，MA′是定值，A′C长度取最小值时，A′应在MC上，这时两点之间线段最短，
过点M作MF⊥DC，交CD的延长线于点F，
已知在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
所以AD=CD=2MD=2，∠FDM=60°，
所以∠FMD =30°，MD =1，所以FD =12MD =12
，FM =DM ×cos 30°=
32
，所以MC = FM 2+CF 2= 7，因为MA′=MA ，MA =MD =1，所以A′C =MC−MA′= 7−1．故选B ．
根据题意，由两点之间线段最短可知在N 的运动过程中，当点M 、A′、C 三点共线时，A′C 取最小值，由此得出A′C 取最小值时A′应在MC 上，然后在直角三角形中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出A′C 的长即可．
本题考查了图形的折叠和菱形的性质等相关知识，掌握解折叠的对称性和锐角三角函数的定义是关键；
11.【答案】12
【解析】【分析】
此题主要考查了比例的性质，正确表示出a ，b ，c 是解题关键．
直接利用已知比例式设出a =6x ，b =5x ，c =4x ，将a 、b 、c 的值代入a +b−2c =6中，即可求出x ，进而得出答案．
【解答】解：∵a
6=b
5=c
4，
∴设a =6x ，b =5x ，c =4x ，∵a +b−2c =6，∴6x +5x−8x =6，∴3x =6，解得：x =2，故a =6×2=12．故答案为：12．
12.【答案】30×(1+x )2=56
【解析】解：二月份的营业额为30×(1+x )，
三月份的营业额为30×(1+x )×(1+x )=30×(1+x )2，即所列的方程为30×(1+x )2=56，故答案为30×(1+x )2=56．
三月份的营业额=一月份的营业额×(1+增长率)2，把相关数值代入即可．考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键．
13.【答案】24
5
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．【解答】
解：∵AB =6，BC =8，
∴矩形ABCD 的面积为48，AC = AB 2+BC 2=10，∴AO =DO =12
AC =5，∵对角线AC ，BD 交于点O ，∴△AOD 的面积为12，∵EO ⊥AO ，EF ⊥DO ，
∴S △A O D =S △A O E +S △D O E ，即12=12
AO ×EO +12
DO ×EF ，∴12=12
×5×EO +12
×5×EF ，∴5(EO +EF )=24，∴EO +EF =
245
，故答案为：245
．
14.【答案】2043
【解析】解：∵x =−1关于x 的一元二次方程ax 2+bx +23=0的解，∴a−b +23=0，即a−b =−23，
∴−a +b +2020=−(a−b )+2020=−(−23)+2020=2043．故答案为：2043．
利用一元二次方程根的定义把x =−1代入方程可得到a−b 的值，再整体代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15.【答案】5或 37
【解析】解：延长GF 交BC 于M ，∵四边形AEFG 和ABCD 是矩形，
∴GF //AE ，∵AB ⊥BC ，∴GM ⊥BC ，分两种情况：①当AD 与AG 对应时，∵相似比为23
，
∴
AG AD =AE AB =2
3
，∵AB =12，AD =BC =9，
∴EF =AG =BM =6，GF =AE =8，∴FM =12−8=4，CM =9−6=3，
在Rt △CMF 中，由勾股定理得：CF = 42+32=5，②当AD 与AE 对应时，∵相似比为2
3
，∴AG AB =AE AD =2
3，∴
AG 12
=AE 9=2
3，∴AG =8，AE =6，
∴FM =12−6=6，CM =9−8=1，
在Rt △CMF 中，由勾股定理得：CF = 62+12= 37，故答案为：5或 37．
若矩形AEFG 与矩形ABCD 相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：
①当AD 与AG 对应时，先根据相似比求AG 和AE 的长，利用线段的差求FM 和CM 的长，根据勾股定理求CF 的长；
②当AD 与AE 对应时，同理可得CF 的长．
本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．
16.【答案】①②③④
【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=2AB，
∵AD=2AB，
∴AE=AD，故①正确，
在△ABE和△AHD中，
{∠B A E=∠D A E
∠A B E=∠A H D
，
A E=A D
∴△ABE≌△AHD(AAS)，
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
(180°−45°)=67.5°，
∴∠ADE=∠AED=1
2
∴∠CED=180°−45°−67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故②正确；
∵AB=AH，
(180°−45°)=67.5°，∠OHE=∠AHB，
∵∠AHB=1
2
∴∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°−67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°−45°=22.5°，∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故③正确；
连接CH．
∵AB=DC，∠BAH=∠CDH=45°，AH=DH，
∴△BAH≌△CDH(SAS)，
∴BH=CH，
∴∠HBC=∠HCB，
∵∠HBC+∠CFH=90°，∠HCB+∠HCF=90°，
∴∠HCF=∠HFC，
∴HC=HF，
∴HB=HF.故④正确．
故答案为：①②③④．
①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=2AB，从而得到AE=AD；
②然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出②正确；
③求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出③正确；
④连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=CH，再证明HF=CH，可得结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质；熟记各
性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角
形是解题的关键．
17.【答案】解：如图，菱形AECF为所作．
【解析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．连结AC，作AC的垂直平分线交BC于E、交AD于F，利用矩形的性质可得AC垂直平分EF，则四边形AECF为菱形．
18.【答案】解：(1)4(x+1)2=1
，
4
∴2(x+1)=±1
，
2
∴x 1=−34，x 2=−54
；(2)x 2+4x +2=0，∴x 2+4x +4=2，∴(x +2)2=2，∴x +2=± 2，
∴x 1=−2+ 2，x 2=−2− 2；(3)x (x−2)=2−x ，∴(x−2)(x +1)=0，∴x−2=0或x +1=0，∴x 1=2，x 2=−1；(4)8x 2+10x =3，∴8x 2+10x−3=0，∵a =8，b =10，c =−3，
∴b 2−4ac =100−4×8×(−3)=196>0，
∴x =−10± 196
16
，
∴x 1=14，x 2=−32
．
【解析】(1)根据直接开平方法解一元二次方程即可；(2)根据配方法解一元二次方程即可；(3)根据因式分解法解一元二次方程即可；(4)根据公式法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)把x =1代入方程mx 2−4x +1=0得m−4+1=0，
解得m =3，即m 的值为3；
(2)根据题意得m ≠0且Δ=(−4)2−4m ≥0，解得m ≤4且m ≠0，
即m 的取值范围为m ≤4且m ≠0．
【解析】(1)把x =1代入方程得到m−4+1=0，然后解一次方程即可；
(2)根据根的判别式的意义得到m ≠0且Δ=(−4)2−4m ≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解．
20.【答案】解：(1)小明能采用的支付方式有4种：A，B，C，D，
采用“扫码支付”的概率为P(C)=1
4
．
(2)列出所有可能出现的结果，如下表：
A B C D
A(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)
B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)
C(A,C)(B,C)(C,C)(D,C)
D(A,D)(B,D)(C,D)(D,D)
由上表知，小明和小华采用的支付方式的等可能结果有16种，其中采用同一种支付方式的结果有4种，即(A ,A)，(B,B)，(C,C)，(D,D)，
所以P=4
16=1
4
．
【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)根据题意得：(45−30)×[100−2×(45−40)]
=15×[100−2×5]
=15×[100−10]
=15×90
=1350(元)．
答：每天的销售利润为1350元；
(2)设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为(x−30)元，日销售量为100−2(x−40)=( 180−2x)件，
根据题意得：(x−30)(180−2x)=1600，
整理得：x2−120x+3500=0，
解得：x1=50，x2=70，
又∵要让利给顾客，
∴x=50．
答：该纪念品的售价单价应定为每件50元．
【解析】(1)利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，即可求出结论；
(2)设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为(x−30)元，日销售量为100−2(x−40)=( 180−2x)件，利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CB，∠DAE=∠BCF=45°．
在△ADE和△CBF中，
{A D=C B
∠D A E=∠B C F=45°
，
A E=C F
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
(2)证明：连接BD，交AC于点O，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF．
即OE=OF．
∵BD⊥AC，即BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形；
(3)解：∵四边形ABCD 是正方形，AD =4 2，∴AC =BD = 2AD =8，∴OD =OA =12
AC =4，∵AE =2，
∴OE =AO−AE =2，∴EF =2OE =4，
∴菱形BEDF 的面积=12
⋅BD ⋅EF =12
×8×4=16．
【解析】(1)根据正方形的性质得到AD =CB ，∠DAE =∠BCF =45°，再利用已知条件AE =CF ，可判断△A DE≌△CBF ；
(2)连接BD ，根据正方形的性质得到OD =OB ，OA =OC ，AC ⊥BD ，再根据AE =CF ，可得OE =OF ，根据对角线互相垂直平分得四边形是菱形进行判断；(3)判断出BD .EF 的长，即可求出菱形BEDF 的面积．
本题考查了正方形的性质与菱形的判定与性质，熟练掌握正方形对角线互相垂直平分且对角线平分每一组对角是解题的关键．
23.【答案】−32 −1
2
【解析】解：(1)∵一元二次方程2x 2+3x−1=0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=−32
，x 1x 2=−12
；故答案为：−32
，−12；
(2)∵一元二次方程2x 2+3x−1=0的两根分别为m ，n ，∴m +n =−32
，mn =−12
，
∴m 2+n 2=(m +n )2−2mn =94
+1=
134
；(3)①∵实数s ，t 满足2s 2+3s−1=0，2t 2+3t−1=0，且s ≠t ，∴s ，t 是一元二次方程2x 2+3x−1=0的两个实数根，∴2s 2+3s =1，s +t =−32
，
∴4s 2+7s +t =4s 2+6s +s +t =2(2s 2+3s )+(s +t )=2+(−32
)=12
；②∵实数s ，t 满足2s 2+3s−1=0，2t 2+3t−1=0，且s ≠t ，∴s ，t 是一元二次方程2x 2+3x−1=0的两个实数根，
∴s +t =−32，st =−12
，
∵(t−s )2=(t +s )2−4st =(−32)2−4×(−12)=174
，∴t−s =±
172
，∴1s −1t =t−s
st =±
17
2−1
2
=± 17．
(1)利用根与系数的关系，即可得出x 1+x 2及x 1x 2的值；
(2)利用根与系数的关系，可得出m +n =−32
，mn =−12
，将其代入m 2+n 2=(m +n )2−2mn 中，即可求出结论；
(3)由实数s 、t 满足2s 2+3s−1=0，2t 2+3t−1=0，且s ≠t ，可得出s ，t 是一元二次方程2x 2+3x−1=0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s +t =−32
，st =−12
，①代入所求代数式计算即可；②(t−s )2=(t +s )2−4st ，可求出s−t 的值，再将其代入1s −1
t
=t−s st 中，即可求出结论．
本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于−b a
，两根之积等于c
a ”是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由于P 从A 点以1cm /s 向B 点运动，
∴t s 时，AP =t ×1=t cm ，∵AB =18 cm ，
∴BP =AB−AP =(18−t )cm ；
(2)过B 点作BN ⊥CD 于N 点，∵AB //CD ，∠ADC =90°，
∴四边形ACNB 是矩形，
∴BN =AD =12 cm ，AD =DN =18 cm ，∵CD =23 cm ，∴CN =CD−CN =5 cm ，∴Rt △BNC 中，根据勾股定理可得：BC = BN 2+CN 2= 52+122=13 cm ，则Q 在BC 上运动时间为13÷2=6.5s ，∵BC +CD =23+13=36 cm ，
∴Q运动时间最长为36÷2=18 s，
∴6.5 s≤t≤18 s时，Q在CD边上，
此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：
∵AB//CD即PB//CQ，
∴只需PB=CQ即可，由(1)知：PB=(18−t)cm，
∵Q以2cm/s沿沿折线B−C−D向终点D运动，
∴运动时间为t s时，CQ=2 t−BC=(2 t−13)cm，
∴18−t=2 t−13，
s；
解得：t=31
3
②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：
同理∵AP//DQ，
∴只需AP=DQ，四边形ADQP是平行四边形，
由(1)知：AP=t cm，
点DQ=CD+CB−2 t=(36−2t)cm，
∴36−2t=t，
解得：t=12 s，
s或12 s时，
综上所述：当t=31
3
直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
(3)设Q的速度为x cm/s，由(2)可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，
∵PB//CQ，∴只需满足PB=BC=CQ即可，
由(1)知：PB=(18−t)cm，
由(2)知：CQ=(xt−13)cm，BC=1 cm，
∴18−t=13，xt−13=13，
解得：t=5 s，x=5.2 cm/s，
∴当Q点的速度为5.2 cm/s时，四边形PBCQ为菱形．
【解析】(1)根据P点的速度以及时间结合AB的长表示即可；
(2)根据勾股定理先求BC=13cm，只有Q点在CD上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形PQCB是平
行四边形；②四边形ADQP是平行四边形，进行解答即可；
(3)设Q的速度为x cm/s，Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，满足PB=BC=CQ，建立方程解决即可．
本题考查了四边形的综合题考察了菱形的性质，平行四边形的性质于判定，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．。