北师大版九年级数学上册 (认识一元二次方程)一元二次方程教育教学课件

归纳总结
一元二次方程的概念
方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数 的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)
ax2是二次项， bx是一次项， c是常数项．
a是二次项的系数， b是一次项系数，
应用举例
例1 下列方程哪些是一元二次方程？为什么？
解：由于圆的半径为x cm，则它的面积 为 3x2 cm2. 根据题意有， 200150 3x2 200150 3
4
整理，得 x2 2500 0 ①
150 cm
200 cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万 辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均 增长率 x 应满足的方程.
2x2-13x+11=0 x2 -8x-20=0 x2＋12x－15＝0
只含有1个 未知数
未知数的最 高次数是2
都是整式方 程
新知讲解
一元二次方程的定义：
只含有一个未知数x，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
课堂练习
1.关于x的方程(a－1)x2＋3x－2＝0是一元二次方程的条件是( )C A．a≠0 B．a＝1 C．a≠1 D．a为任意实数
2.如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值 为( C) A．±3 B．3 C．－3 D．以上都不对
课堂练习 3．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取值范围是___a_≠_1___．
72 + (x + 6)2 = 102. 化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
新知讲解 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (8－2x)(5－2x ) = 18 x2 +(x＋1)2 +(x＋2)2 =(x＋3)2 +(x＋4)2 72＋(x＋6)2 ＝ 102 上述三个方程有什么共同特点？
72 + (x + 6)2 = 102. 化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③
xm 该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
活动总结
观察上述方程①、 ②、 ③，它们有什么共同特点呢？
2x2－13x＋11＝0
①
x2－8x－20＝0
②ห้องสมุดไป่ตู้
x2＋12x－15＝0
③
特点：1.只含有一个未知数； 2.未知数的最高次数是2； 3.整式方程．
x
x
x
毯中央长方形图案的长为(8 - 2x) m,
(5–2x)
宽为 (5 - 2x) m,根据题意,可得方程： ( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18. 化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .①
x
该方程中未知数的个数和最高 次数各是多少？
新知讲解
2.观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个
随堂练习
1．把方程－5x2＋6x＋3＝0的二次项系数化为1，方程
可变为 ( C )
A．x2＋ x＋ ＝0
B．x2－6x－3＝0
C．x2－ x－ ＝0
D．x2－ x＋ ＝0
2．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是
__2_x_2_－__x_－__7_＝___0__
3.把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一 般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项 系数及常数项．
2.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫 做一元一次方程.
新知讲解
1.幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块
面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个
宽度吗？ 解：如果设所求的宽为 x m ,那么地
(8–2x)
(1)都是整式方程 (2)只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2
新知讲解
一元二次方程的一般形式：
二次项系 数
一次项系数
ax2+bx+c=0 a≠0
二次项 一次项
常数项
新知讲解
特殊形式
特殊形式
ax2+bx=0(a ≠ 0，b ≠ 0) ax2+c=0(a ≠ 0，c ≠ 0)
ax2=0(a ≠ 0)
例4 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3； 一次项是-8x,系数是-8； 常数项是-10.
k_≠__±__1__时，是一元二次方程；当k_＝__－__1__时，是一元一 次方程．
【方法指导】当k2－1≠0，即k≠±1时，方程是一元二次方 程．当k2－1＝0时，且2(k－1)≠0时，即k＝－1时是一元一 次方程．
例3 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数 依次可表示为： x+1 , x+2 , x+3 , x+4 . 根据题意，可得方程：
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 该方程中未知数的个数
化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
二次项系 数
一次项系数
常数项
a
b
0
a
0
c
a
0
0
练一练
将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数及常数项．
解：化为一般形式为 3x2－8x－10＝0
其中二次项系数为3，一次项系数为-8， 常数项为-10.
二次项、二次 项系数、一次 项、一次项系 数、常数项都 是包括符号的
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
情景导入
一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长 和宽各是多少？ 解：设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m. 根据题意，得x(x＋2)＝120.
所列方程是否为一元一次方程？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么地毯中
(8 – 2x) x
4．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足____m_＝__－__2时，它是一元一次方程； 当m满足________m__≠时－，2 它是一元二次方程．
课堂练习
5．把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项．
解：将原方程化简为： 9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝4 x2 －24x＋36 9x2－ 4x2＋ 12x＋ 24x＋4－36＝0 5x2 ＋ 36 x －32＝0
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加这次 聚会？
解：设有x人参加了这次聚会, 根据题意，得 x(x-1)=10， 整理，得x2-x-20=0.
课堂总结
一元二次方程
概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且 都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数, a≠0)的形式.
(1) 7x2－6x＝0； (2) 2x2－5xy＋6y＝0； (3) 2x2－ －1＝0; (4) ＝0；(5) x2＋2x－3＝1＋x2.
【方法指导】根据一元二次方程的概念进行判定． 解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含两个未知数； (3)不是整式方程；(5)不含ax2这一项．
例2 关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，当
解：原方程化为一般形式是：5x2＋8x－2＝0，其中二 次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数 是8，常数项是－2.
4.(1) 如图，已知一矩形的长为200 cm,宽150 cm.现在矩形中挖 去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去 的圆的半径x cm应满足的方程（其中π 取3）.
央长方形图案的长为
x
x
(5 – 2x)
(8 - 2x) m,宽为 (5 - 2x) m,根据题意,
可得方程：
x
( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18. 化简：2x2 - 13x + 11 = 0 ①
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
探究2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等
和最高次数各是多少？
探究3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距
地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端
滑动多少米？ 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙
6 m.如果设梯子底端滑动 x m ,那么滑动 后梯子底端距墙 (x+6) m ,
1m
10m 8m
根据题意，可得方程：
数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表 示为： x+1 , x+2, x+,3 x+.根4 据题意，可得方程：
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
去括号、移项、合并同类项
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即 a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
点拨 用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知 数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除 使二次项系数等于0的字母的值．
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
新知讲解
3.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m. 如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距 墙 6 m.如果设梯子底端滑动x m ,那么 滑动后梯子底端距墙 x+6m ,根据题 意，可得方程：
解：该市两年来汽车拥有量的年平均 增长率为x， 根据题意有， 75(1＋x)2＝108 整理，得 25x2＋50x－11＝0 ②
课堂小结与作业
概念
一元二 次方程
一般 形式
①是整式方程； ②含一个未知数； ③未知数的最高次数是2.
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方 程的必要条件；
一般式
ax2+bx+c=0(a , b , c为常数, a≠0 ax2 称为二次项,a 称为二次项系数. bx 称为一次项,b 称为一次项系数 c 称为常数项.
板书设计
2.1.1认识一元二次方程 1.方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次 的方程，叫做一元二次方程．
2.判别一元二次方程的“两个方法”： (1)根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含有一个未知数；三是未知 数的最高次数是2. (2)根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2＋bx＋c＝0的形式，且a一定 不能为0，而b，c都可以为0；二是判断是否为一元二次方程与其解的情况 无关．
二次项系数为 5，一次项系数为 36，常数项为－32
课堂练习 6. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形?
解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得50x2-25x+3=0.
2.1.1 认识一元二次方程 第1课时
北师大版八年级上册
教学目标
1.理解一元二次方程的概念. 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
情景导入
1.什么叫方程？我们学过的方程有哪些？
一元一次方程
二元一次方程
含有未知数的等式叫做方程.
分式方程