随机信号分析 第一章随机信号基础2

y
o
(x,y)
x
利用分布函数，对任意实数 x1 x 2 , y1 y2 则
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
y o
( x1, y2 ) ( x1, y1)
F ( x ) f ( t )dt

x
F(x)
=

0
x0
0 x 1
x
tdt tdt
0 1
x
0
1
(2 t )dt
1 x 2
x2
1
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) x2 2x 1 , 1 x 2 2 1, x2
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论二维 r.v(X，Y),多维随机变量可类推。
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数
一维随机变量X X的分布函数
F ( x ) P( X x )
F ( x , y) P ( X x , Y y) x, y
4．F ( x , y ) F ( x 0 , y ), F ( x , y ) F ( x , y 0 );
即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。
5．对任意实数 x1 x2 , y1 y2
，有
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0.
- P{ X x }
1
= F(x2) F(x1)
因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全 面的描述.
-
F ( x ) P( X x ), x
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量.
2、分布函数的性质
(1) 0≤F(x)≤1, －∞<x<+∞; (2) F () lim F ( x) 0
第一章:随机信号基础
1.1 随机变量要点回顾 1.1.1 随机变量的分布率 一、随机变量的定义
随机变量定义：设E是随机试验，它的样本空间是S，如果对S中的每个基本事 件e，都有唯一的实数值X（e）与之对应，则称X（e）为随机变量，简记为X。 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）. 2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表 示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化. 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数. e. X(e) R
x
Xx Yy
两事件同时发生
定义：设（X，Y）二维随机变量，x, y为任意实数，则二 元函数
F ( x , y ) P( X x ,Y y )
称为（X，Y）的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数。
几何意义：如将( X，Y )看成是平面上随机点的坐标，则 F(x, y)就是(X，Y)落在以点(x, y)为顶点的左下方无穷矩形 域内的概率。
f ( x )x 在连续型r.v理论中所起的作用与
P( X xk ) pk
作用相类似.
在离散型r.v理论中所起的
需要指出的是: 连续型r.v取任一指定值的概率为0. 即： P ( X a) 0,
a为任一指定值
这是因为
0 P ( X a ) P (a x X a ) F (a ) F (a x ),
x
F () lim F ( x) 1
x
(3) F(x) 非降，即若 x1<x2，则F(x1)
(4)
F(x2) ;
F(x) 右连续，即
x x0
lim F ( x ) F ( x0 )
如果一个函数具有上述性质，则一定是
某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数 的充分必要条件.
f (x)
o
x
下面给出几个r.v的例子.
例设
x, 0 x 1 X ~ f ( x ) 2 x , 1 x 2 0, 其它
求 F(x). 由于f(x)是分段 表达的，求F(x)时 注意分段求.
F ( x ) f ( t )dt

x
x, 0 x 1 X ~ f ( x ) 2 x , 1 x 2 0, 其它
1、定义： 设 X 是一个 r.v，称
F ( x) P ( X x)
( x )
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x).
x 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 的概率.
———|——>
X x
F ( x ) P( X x ), x
0
a
（二）概率密度函数
1 . 连续型随机变量、概率密度定义 设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在一个非负的函数f(x),对任何实 数x，有 F ( x )

x

f (t )dt ，则称X为连续型随机变量，同时称f(x)为X的概率密
y
度函数，简称概率密度。
f (x)
o
x
由定义知
：1. 连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数.
y
o
x
f ( x )dx

x2
x1
f (x)
o
x 1 x2
x
4. 对 f(x)的进一步理解:
若x是 f(x)的连续点，则：
P ( x X x x ) lim lim x 0 x 0 x
=f(x)

x x
x
f ( t )dt x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上( x, x x ] 的概率 与区间长度 x 之比的极限. 这里， 如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
( x2, y2 ) ( x2, y1 )
x
分布函数性质：1.对任意实数x, y有0≤F(x, y)≤1; 2.
F ( x1 , y ) F ( x2 , y ), x1 x2 F ( x , y1 ) F ( x , y2 ), y1 y2 ,
即F(x, y)对每个自变量都是单调不减的； 3．对任意x, y有
2 x , 0 x 1 dF ( x ) (2) f(x)= dx 0, 其它
注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数 在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 F ( x ) 没意义的点处，任意规定 F ( x ) 的值.
(三) 多维随机变量的分布律
一维随机变量及其分布
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0 ,
x
F ( x , ) lim F ( x , y ) 0 ,
y
F ( , ) lim F ( x , y ) 0 ,
x y x y
F ( , ) lim F ( x , y ) 1;
问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什么区别？x是参变量. F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率. 由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落在区间（ x1 , x2 ] 的概率为：
P{ x1<X
x
2
} = P{ X
x
2}
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不 反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的 值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
若不计高阶无穷小，有：
P{x X x x} f ( x )x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x x ]的概率近似等 于 f ( x )x .
例 设有函数 F(x)
sin x 0 x F ( x) 0 其它 试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.
解： 注意到函数 F(x)在 [ 2 , ] 上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.
或者
F ( ) lim F ( x ) 0
x
若F(x ,y) 满足上述性质，则其必为某一二维r.v (X ,Y)的 分布函数。 如果二维r.v(X ,Y)的分布函数F(x ,y)已知， 可以分别求r.v X和Y的分布函数 FX ( x ),FY ( y ). 即：
x 0.
从而P( X = a )=0.
由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，
x 0
lim ( F ( a ) F ( a x )) 0
由此得， 1) 对连续型 r.v X,有
P( X = a )=0的充分必要条件是F( x )是连续函数。任意a∈R。
P ( a X b) P ( a X b)
s
这种实值函数与在高等数 学中大家接触到的函数一 样吗？
（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能 取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值. （2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值 和每个确定范围内的值也有一定的概率. 引入随机变量的意义 （1）有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系 式表达出来. （2）可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念 内. 也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是 一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样. （3） 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变 量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大 为对随机变量及其取值规律的研究. 随机变量及其 取值规律
事件及 事件概率
随机变量的分类
通常分为两类： 离散型随机变量
所有取值可以逐个 一一列举
全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间.
随 机 变 量
如“取到次品的个数”，
“收到的呼叫数”等.
连续型随机变量
例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.
二、随机变量的分布函数 （一）概率分布函数
对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出 f (x)， 请看下例.
例3 设r.vX的分布函数为
0, x 0 2 F ( x) x , 0 x 1 1, x 1
(1) 求X取值在区间
(2) 求X的概率密度.
(0.3,0.7)的概率；
解: (1) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3) =0.72-0.32=0.4
P ( a X b) P ( a X b)
2) 由P(X=a)=0 可推知
P ( X R a) f ( x )dx P ( X a) 1


而 {X=a} 并非不可能事件
{ X R {a}}
并非必然事件
可见， 由P(A)=0, 不能推出 A 由P(B)=1, 不能推出 B=S 称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件. 由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确定. 所以，若已知密度函数， 该连续型 r.v的概率规律就得到了全面描述.
2. 对f(x)的连续点，有
F' ( x ) f ( x )
由此 F(x)与f(x)可以互推。
2、概率密度函数的性质
1. 2.
f ( x) 0



f ( x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
y
f (x)
3．
P ( x1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 )
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数.
例. 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个
质点的坐标. 设这个质点落在 [0, a]中任意小区间内的概率 与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
0, x 0 x F ( x) , 0 x a a xa 1,