新高考数学一轮复习知识点解析21--- 恒成立和存在性问题

新高考数学一轮复习知识点解析
1．积累常用的不等式，熟练运用导数解决不等式恒成立问题、存在性问题． 2．熟练使用分离参数、分类讨论等方法解决参数范围问题． 3．能够大致描绘函数图象，能借助图象理解题意和解题．
【例1】已知函数()ln x
f x ax x
=-
，a ∈R ． （1）若()()2g x x f x '=，其中()f x '是函数()f x 的导函数，试讨论()g x 的单调性； （2）证明：当1
2a e
≥
时，()0f x ≥． 【答案】（1）当0a ≥时，()g x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，()g x
在⎛ ⎝
单调
递增，在⎫
+∞⎪⎪⎭
单调递减；
（2）证明见解析． 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22
1
ln 1ln x x
x x f x a a x x
⋅--'=-=-，
恒成立和存在性问题
()22
2
1ln ln 1x a a x x g x x x -⎛⎫-=+- ⎪
⎝⎭=，()2
1212ax g x ax x x
+'=+=， 当0a ≥时，()0g x '≥恒成立，此时()g x 在()0,∞+上单调递增； 当0a <时，()0g x '>，即2210ax +>可得212x a
-<
，所以0x <<，
由()0g x '<，即2210ax +<可得212x a
->
，所以x >
所以当0a <时，()g x
在⎛ ⎝
单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递减， 综上所述：当0a ≥时，()g x 在()0,∞+上单调递增；
当0a <时，()g x
在⎛ ⎝
单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递减． （2）当12a e
≥
时，()1ln 2x
f x x e x ≥-， 设()1ln 2x h x x e x =-，则()2
222
11ln ln 1111ln 222x x x x x x e
h x e x e x x ⋅-+--'=-=-=， 令()21ln 12t x x x e =+-，则()11
0t x x e x '=+>， 所以()2
1ln 12t x x x e
=
+-在()0,∞+
上单调递增，且
1102t e e =⨯+=，
所以0x <<时，()0t x <，即()0h x '<，此时()h x 单调递减；
当x >()0t x >，即()0h x '>，此时()h x 单调递增， 所以()1ln 2x h x x e x
=
-
在(
上单调递减，在)
+∞单调递增，
所以(
)
min 102h x h e ==
==， 所以()1ln 02x
h x x e x
=
-≥对于()0,x ∈+∞恒成立， 所以()0f x ≥．
【变式1．1】已知函数()2ln f x ax x =-． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：当1
2
a >
时，()3f x >恒成立． 【答案】（1）0a ≤时，()f x 在()0,∞+为单调减函数；0a >时，()f x 在1
(0,)2a
为单调减函数，在1
(
,)2a
+∞为单调增函数；（2）证明见解析． 【解析】（1）121()2ax f x a x x
-'=-
=，其中0x >； 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+为单调减函数； 当0a >时，1
(0,)2x a ∈，()0f x '<，()f x 为单调减函数；1(,)2x a
∈+∞，()0f x '>，()f x 为单调增函数，
综上，0a ≤时，()f x 在()0,∞+为单调减函数；
0a >时，()f x 在1
(0,
)2a 为单调减函数，在1(,)2a
+∞为单调增函数．
（2）证明：因为1
2
a >2=≥
当且仅当2
=
1
2x a
=时，取等号．
由（1）知
min 1
()(
)1ln 22f x f a a
==+，所以()ln 21f x a +≥+，
令1
()ln 21()2
g x x x =+>，则()g x 为增函数，
所以1()()3
2g x g >=，即1
2
a >时，()3f x >恒成立． 【例2】已知函数()x
e f x x
=．
（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；
（2）设()()ln 2G x xf x x x =--，证明：()3
ln 22
G x >--．
【答案】（1）2
4
e y x =；（2）证明见解析．
【解析】（1）2()x x e x e f x x -'=，22222(2)24e e e f -'==且2
(2)2e f =，
所以切线方程22(2)24e e y x -=-，即2
4
e y x =．
（2）由()()ln 2(0)G x xf x x x x =-->，1()2x G x e x '=--，21()0x
G x e x
''=+>，
所以 ()G x '在(0,)+∞为增函数，
又因为(1)30G e '=-<，2
5
(2)02
G e ''=-
>， 所以存在唯一0(1,2)x ∈，使()0
00
1
20x G x e x '=-
-=， 即0
1
2x e x =
+且当()00,x x ∈时，()0G x '<，()G x 为减函数， ()0,x x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 为增函数，
所以()0
min 000000
1
()ln 22ln 2x G x G x e x x x x x ==--=
+--，0(1,2)x ∈， 记1
()2ln 2H x x x x =
+--，(12)x <<， 211
()20H x x x
'=---<，所以()H x 在(1,2)上为减函数，
所以13
()(2)2ln 24ln 222H x H >=+--=--，
所以
()03
()ln 22
G x G x ≥>--． 【变式2．1】已知函数()()32
2361f x x ax a x =++-（a ∈R ）．
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()15f =，4m <，求证：当1x >时，()()2
ln 1mx x f x +≤．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，且
()()()()26661611f x x ax a x x a '=++-=++-⎡⎤⎣⎦．
①若2a =，则()0f x '≥，因而()f x 在(),-∞+∞上单调递增；
②若2a <，则当(),1x ∈-∞-及()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当()1,1x a ∈--时，()0f x '<，()f x 单调递减；
③若2a >，则当(),1x a ∈-∞-及()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当()1,1x a ∈--时，()0f x '<，()f x 单调递减， 综上，当2a =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；
当2a <时，()f x 在(),1-∞-，()1,a -+∞上单调递增；在()1,1a --上单调递减； 当2a >时，()f x 在(),1-∞-a ，()1,-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减． （2）由题意知()()123615f a a =++-=，∴1a =，
故()32
23f x x x +=．
欲证当1x >时，()()2
ln 1mx x f x +≤，
∵当1x >时，21x >，ln 11x +>． ∴只需证：()()2ln 1f x m x x ≤
+，即23
ln 1
x m x +≤+在()1,+∞上恒成立，
设()()()123
,ln 1
x h x x x +=
∈++∞，则()()()()
()
2
2
13
2ln 1232ln ln 1ln 1x x x x x h x x x +-+⨯
-'==++．
设()32ln x x x ϕ=-，则()223
x x x
ϕ'=+，
故当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增． 又()3ln16322ln 2022ϕ-=-
=<，()320e e
ϕ=->，
∴()0h x '=有且只有一个根0x ，且02x e <<，00
32ln x x =
． ∴在()01,x 上，()0h x '<，()h x 单调递减；在()0,x +∞上，()0h x '>，()h x 单调递增， ∴函数()h x 的最小值()000000
2323
243ln 112x x h x x x x ++=
==>++． 又∵4m <，∴23
ln 1
x m x +≤
+在()1,+∞上恒成立， 故()()2
ln 1mx x f x +≤成立．
利用导数证明不等式恒成立的两种情形
（1）若函数最值可以通过研究导数求得，则可先利用导数研究函数单调性，将不等式恒成立问题转化成函数最值问题来解决：
()()min f x a f x a >⇒>；()()max f x a f x a <⇒<．
（2）若函数最值无法通过研究导数求得，即导函数的零点无法精确求出时，可以利用“虚设和代换”的方法求解．
“虚设和代换”法
当导函数()f x '的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为0x ，接下来通常有两个方向：
（1）由()0f x '=得到一个关于0x 的方程，再将这个关于0x 的方程的整体或局部代入
()0f x ，从而求得()0f x ，然后解决相关问题．
（2）根据导函数()f x '的单调性，得出0x
两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性
和极值，使问题得解．
【例3】已知函数()()ln 1f x x =+，()()g x kx k =∈R ． （1）证明：当0x >时，()f x x <；
（2）证明：当1k <时，存在00x >，使得任意()00,x x ∈，恒有()()f x g x >；
（3）确定k 的所有可能取值，使得存在0t >，对任意的()0,x t ∈，恒有()()2
f x
g x x -<．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1k =． 【解析】（1）证明：令()()()[)ln 1,0,F x f x x x x x =-=+-∈+∞， 所以()1111x
F x x x
-'=
-=++． 当[)0,x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在()0,+∞上单调递减． 又因为()00F =，所以当0x >时，()0F x <，即()0f x x -<， 所以()f x x <．
（2）证明：令()()()()ln 1G x f x g x x kx =-=+-，[)0,x ∈+∞，
()()11
11kx k G x k x x
-+-'=
-=++． 当0k ≤时，()0G x '>，所以()G x 在()0,+∞上单调递增， 所以()()00G x G >=，即()()f x g x >， 故对任意的正实数0x 均满足题意． 当01k <<时，令()0G x '=，得11
10k x k k
-==->， 取01
1x k
=
-，对任意()00,x x ∈，恒有()0G x '>， 所以()G x 在()00,x 上单调递增，()()00G x G >=，即()()f x g x >．
综上，当1k <，总存在00x >，使得对任意()00,x x ∈，恒有()()f x g x >． （3）当1k >时，由（1）知，对于任意()0,x ∈+∞，()()g x x f x >>， 故()()g x f x >．
此时()()()()()ln 1f x g x g x f x kx x -=-=-+．
令()()[)2
ln 1,0,M x kx x x x =-+-∈+∞，
则有()()22211
211x k x k M x k x x x
-+-+-'=--=
++． 令()0M x '=，得()2
2210x k x k -+-+-=，
x =
（另一根为负，舍去），
故当x ⎛ ∈ ⎝
⎭
时，()0M x '>，
即()M x 在⎛ ⎝
⎭
上单调递增， 故()()00M x M >=，即()()2
f x
g x x ->．
所以满足题意的t 不存在．
当1k <时，由（2）知，存在00x >，使得对任意的()00,x x ∈，恒有()()f x g x >， 此时()()()()()ln 1f x g x f x g x x kx -=-=+-．
令()()[)2
ln 1,0,N x x kx x x =+--∈+∞，
则有()()22211
211x k x k N x k x x x
--+-+'=--=
++． 令()0N x '=，即()2
2210x k x k --+-+=，
得x =
（另一根为负，舍去），
故当x ⎛ ∈ ⎝
⎭
时，()0N x '>，
即()N x 在⎛ ⎝
⎭
上单调递增， 故()()00N x N >=，即()()2
f x
g x x -=．
记0x 中较小的为1x ，
则当()10,x x ∈时，恒有()()2
f x
g x x ->，
故满足题意的t 不存在．
当1k =时，由（1）知，当()0,x ∈+∞时，
()()()()()ln 1f x g x g x f x x x -=-=-+．
令()()[)2
ln 1,0,H x x x x x =-+-∈+∞，则有()2121211x x
H x x x x
--'=--=
++． 当0x >时，()0H x '<，即()H x 在()0+∞，上单调递减， 故()()00H x H <=．
故当0x >时，恒有()()2
f x
g x x -<，此时任意正实数t 满足题意，
综上，k 的取值为1．
【变式3．1】已知函数()x
f x e x =-． （1）求函数()x
f x e x =-的极值；
（2）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式1
1x e a x
--<成立． 【答案】（1）()1f x =极小值，无极大值；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-，
令()0f x '=，则0x =，
当0x >时，()0f x '>，即()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0x <时，()0f x '<，即()f x 在(),0-∞上单调递减，
所以0x =时，()f x 取得极小值，()()01f x f ==极小值，无极大值．
（2）由（1）知当0x >时，110x e x -->，要证11x e a x --<，即1
1x e a x
--<，即证当0a >时，不等式1x e x ax -<-，即10x e ax x ---<在(0,)+∞上有解． 令()1x H x e ax x =---，即证min ()0H x <， 由()10x H x e a '=--=，得ln(1)0x a =+>． 当0ln(1)x a <<+时，()0H x '<，()H x 单调递减； 当ln(1)x a >+时，()0H x '>，()H x 单调递增，
min ()(ln(1))1ln(1)ln(1)1H x H a a a a a ∴=+=+-+-+-，
令()ln 1V x x x x =--，其中11x a =+>，
则()1(1ln )ln 0V x x x '=-+=-<，()V x ∴递减，()()10V x V ∴<=， 综上得证．
【例4】已知函数()2
ln ()f x ax x a =-+∈R ．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若存在()(),1,x f x a ∈+∞>-，求a 的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭．
【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()2
1122ax f x ax x x
-='=-+，
当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上递增， 当0a >时，由()0f x '=，得
x =
由()0f x '>，得
x ⎛∈ ⎝；由()0f x '<，得x ⎫
∈+∞⎪⎭，
于是有()f x 在
⎛ ⎝上递增，在⎫
+∞⎪⎭
上递减．
（2）由()f x a >-，得()2
1ln 0a x x --<，(1,)x ∈+∞， 2ln 0,10x x -<->，当0a ≤时，()
2
1ln 0a x x --<，满足题意；
当12a ≥时，令()()2
1()ln 1g x a x x x =-->，()2210ax x x
g '=->，()g x 在()1,+∞上递增，
则()()10g x g >=，不合题意； 当1
2a <<
时，由()0g x '>，得x ⎫∈+∞⎪⎭；由()0g x '<，得x ⎛∈ ⎝
，
于是有()g x 在
⎛ ⎝上递减，在⎫
+∞⎪⎭上递增，()()min 10g g g x <==， 则1
02a <<时，()()1,,0x g x ∃∈+∞<，
综上，a 的取值范围为1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭．
【变式4．1】已知函数()()()2
1222
x f x xe a x x a =-+-∈R ．
（1）当1
a e
≤时，讨论函数()f x 的极值；
（2）若存在()00,x ∈+∞，使得()()00001
ln 222f x x x a ax <+--，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）(),1-∞-．
【解析】（1）由题意，函数()()2
1222
x f x xe a x x =-+-，
可得()()()()()111x x
f x e a x x e a x '=+-+=+-．
①当0a ≤时，若1x <-，则()0f x '<；若1x >-，则()0f x '>， 所以()f x 在区间(),1-∞-上是减函数，在区间()1,-+∞上是增函数，
所以当1x =-时，()f x 取得极小值()1
312
f e a --=-+，无极大值；
②当1
0a e
<<时，若ln x a <或1x >-，则()0f x '>；若ln 1a x <<-，则()0f x '<，
()f x 在区间(),ln a -∞上是增函数，在区间()ln ,1a -上是减函数，在区间()1,-+∞上是增函数，
所以当ln x a =时，()f x 取得极大值()()2
1ln ln 2f a a a a =-，
当1x =-时，()f x 取得极小值()1
312
f e a --=-+；
③当1a e =时，()0f x '≥，∴()f x 在区间(),-∞+∞上是增函数，
∴()f x 既无极大值又无极小值，
综上所述，当0a ≤时，()f x 有极小值()1
312
f e a --=-+，无极大值；
当10a e <<
时，()f x 有极大值()()21ln ln 2
f a a a a =-，极小值()1
312f e a --=-+； 当1
a e
=时，()f x 既无极大值又无极小值．
（2）由题知，存在()00,x ∈+∞，使得0000ln 0x
x e x x a --+<，
设()ln x
h x xe x x a =--+，则()()()11111x x h x x e x e x x ⎛
⎫'=+-
-=+- ⎪⎝
⎭， 设()()1
0x
m x e x x
=-
>，∴()m x 在区间()0,∞+上是增函数，
又1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭
，()110m e =->，
∴存在11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10m x =，即1
1
1x e x =，∴11ln x x =-， 当10x x <<时，()0m x <，即()0h x '<；当1x x >时，()0m x >，即()0h x '>， ∴()h x 在区间()10,x 上是减函数，在区间()1,x +∞上是增函数，
∴()()1
1111111min 1
1
ln 1x h x h x x e x x a x x x a a x ==--+=⨯
+-+=+， ∴10a +<，∴1a <-，
∴实数a 的取值范围为(),1-∞-．
【例5】已知函数()2
2ln 1f x x x x ax =+-+．
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
（2）若存在01,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()02f x ≥-成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）320x y --=；（2）1,23e e ⎛⎤
-∞-++
⎥⎝⎦
． 【解析】（1）当1a =时，()2
2ln 1f x x x x x =+-+，
则()2ln 2212ln 21f x x x x x '=++-=++，所以()13f '=，而()11f =，
所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()131y x -=-，即320x y --=．
（2）若存在01,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()02f x ≥-成立，
即存在01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式2
00002ln 12x x x ax +-+≥-成立，
存在01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式000
32ln a x x x ≤++成立， 设()32ln h x x x x =++，1,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则()2(3)(1)x x h x x +-'=，
当1[,1)x e ∈时，()0h x '<，()h x 在1
[,1)e
上单调递减；当(]1,x e ∈时，
()0h x '>，()h x 在(]1,e
上单调递增，
又1123h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，()12240h e h e e e ⎛⎫
-=-++< ⎪⎝⎭， 即()max 1123h x h e e e ⎛⎫
==-++ ⎪⎝⎭
，故()max 123a h x e e ≤-++=，
所以实数a 的取值范围为1,23e e
⎛⎤-∞-++ ⎥⎝
⎦
．
【变式5．1】已知e 是自然对数的底数，函数()cos x
f x x me =+，[]π,πx ∈-．
（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线斜率为1，求()f x 的最小值；
（2）若当[]π,πx ∈-时，()x
f x e >有解，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）π11e -；（2
）π41,e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
． 【解析】（1）由()cos x f x x me =+，得()sin x
f x x me '=-+．
曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线斜率为1，()01f m '∴==，
()cos x f x x e ∴=+，()sin x f x x e '=-+．
当[)π,0x ∈-时，sin 0x -≥，0x e >，()0f x '∴>， 当[0,π]x ∈时，01x e e ≥=，sin 1x ≤，则()0f x '≥，
()f x ∴在[]π,π-上单调递增，()()πmin 1
π1f x f e
∴=-=
-． （2）()cos 1x
x x f x e m e >⇔>-
，设()cos 1x
x
g x e =-，[]π,πx ∈-，
则当[]π,πx ∈-时，()x
f x e >有解()min m
g x ⇔>．
()cos 1x x g x e
=-，(
)πsin cos 4x x
x x x g x e e ⎛
⎫+ ⎪
+⎝⎭'∴==． 当[]π,πx ∈-时，
π3π5π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，解()0g x '=，可得04πx +=或π4πx +=，解得14
π
x =-，
23π4
x =
． 当π
π4
x -≤<-时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减； 当π3π44
x -<<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当
3π
π4
x <≤时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减．
4π14πg e ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，()π1π1g e =+，且()π4πg g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，
()n
π4mi 142πg x g e ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭，m ∴的取值范围为π
41,2e ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
． 【例6】已知函数()2
ln f x x x ax a =+-(a ∈R )．
（1）当1a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）330x y --=；（2）[)
0,+∞． 【解析】（1）当1a =时，()2
ln 1f x x x x =+-，()ln 21f x x x +'=+．
则曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线的斜率为()13f '=． 又()10f =，所以切线方程为330x y --=．
（2）由函数()()
2
ln 10f x x x a x =+-≥，等价于ln 0a
x ax x
+-
≥恒成立， 则()ln a g x x ax x =+-，其中1x ≥，()2221a ax x a
g x a x x x ++=++='，
当0a ≥时，因为1x ≥，所以0g x ，()g x 在[)1,+∞上单调递增，
则()()10g x g ≥=，符合题意；
当0a <时，令()2
t x ax x a =++，214Δa =-，
当2140Δa =-≤时，解得1
2
a ≤-，()0g x '≤，()g x 在[)1,+∞上单调递减，
则()()10g x g <=，对于任意1x >恒成立，不合题意；
当2140Δa =->时，102
a -<<，设()2
t x ax x a =++的两个零点为12,x x ，
设12x x <，12121
,1x x x x a
+=-=，
则1201x x <<<，当[)21,x x ∈，()()0,0t x g x '>>，()g x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()0t x <，0g x
，()g x 单调递减，
又∵当x →+∞时，对数函数ln x 的增长速度远不如a
ax x
-的减小速度， ∴()g x →-∞，所以不合题意，
综上所述，实数a 的取值范围是[)0,+∞． 【变式6．1】函数()()ln 1,f x a x a =+∈R ．
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在3x =处的切线方程； （2）若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()2
12
f x x x ≥-
恒成立，求实数a 的取值范围． 附：()1
[ln 1]1
x x '+=
+． 【答案】（1）48ln230x y -+-=；（2）[)1,+∞．
【解析】（1）当1a =时，()ln(1)f x x =+，得出切点(3,ln 4)， 因为1()1
f x x '=
+，所以切线的斜率为()1
43k f ='=，
所以曲线()y f x =在3x =处的切线方程为1
ln 4(3)4y x -=-，
化简得48ln 230x y -+-=．
（2）对任意的[)0,x ∈+∞，都有()2
12
f x x x ≥-
恒成立， 即()
2
1ln 102
a x x x -+≥+恒成立，
令()()()21ln 102h x a x x x x =+-+≥，()()21
1011
a x a h x x x x x +-=-+=+'≥+．
①当1a ≥时，()0h x '≥恒成立，
∴函数()h x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，()()00h x h ∴≥=，1a ∴≥时符合条件．
②当1a <时，由()0h x '=，及0x ≥，解得x =．
当(x ∈时，()0h x '<；当)
x ∞∈
+时，()0h x '>，
()()
min 00h x h
h =<=，这与()0h x ≥相矛盾，应舍去．
综上可知，1a ≥，
所以a 的取值范围为[)1,+∞．
【例7】已知函数()1x
f x e ax --=．
（1）当1a =时，求证：()0f x ≥；
（2）当0x ≥时，()2
f x x ≥，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）(,2]e -∞-．
【解析】（1）证明：当1a =时，()1x f x e x =--，定义域为R ，
则()1x f x e '=-，
由()0f x '>，得0x >；由()0f x '<，得0x <， 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，
所以0x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，且min ()(0)0f x f ==， 所以()0f x ≥．
（2）解：由()2
f x x ≥（0x ≥），得21x ax e x ≤--（0x ≥），
当0x =时，上述不等式恒成立，
当0x >时，21x e x a x
--≤，
令2
1()x e x g x x
--=（0x >），
则222
(2)(1)(1)(1)
()x x x e x x e x x e x g x x x
-------'==， 由（1）可知，当0x >时，10x e x -->，
所以由()0g x '<，得01x <<；由()0g x '>，得1x >， 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
所以1x =是()g x 的极小值点，也是()g x 的最小值点，且min ()(1)2g x g e ==-， 所以2a e ≤-，
所以实数a 的取值范围为(,2]e -∞-．
【变式7．1】已知函数2()2ln ,()f x x ax x a =+++∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()x f x e ≤恒成立，求a 的最大值． 【答案】（1）答案见解析；（2）3e -．
【解析】（1）2121
()2,(0,)x ax f x x a x x x
∞'++=++=
∈+，
当a -≤≤()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当a <-时，在0,,,,()0,
()44a a f x f x ∞⎛⎛⎫
--+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭单调递增；在
,()0,()f x f x <'⎝⎭
单调递减；
当a >(0,),
()0,()f x f x ∞+>'单调递增，
综上所述：当a ≥-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当a <-时，()f x 在0,,44a a ∞⎛⎫⎛⎫
--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
单调递增，
在⎝⎭
单调递减． （2）2
()2ln x
f x x ax x e =+++≤在(0,)+∞恒成立，可得2ln 2
x e x x a x
---≤恒成立；
设2ln 2()x e x x g x x ---=，则22
(1)ln 1
()x e x x x g x x
-'+-+=， 令2()(1)ln 1x h x e x x x =-+-+，则1
()2x
h x xe x x
+
'=-， 令()1x x e x μ=--，则()1x x e μ=-'，
因为0x >，所以()0x μ>，()x μ∴在(0,)+∞上单调递增，
22111
22x xe x x x x x x x x x ∴+->++-=+-，
211
()2x h x xe x x x x x
∴=+->-'+，
令2
1()j x x x x =-+，则3222
121
()21x x j x x x x
-='-=--， 易知在(0,1),()0,()j x j x <'单调递减；在(1,),()0,()j x j x ∞+>'单调递增，
()(1)1j x j ∴≥=，可得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，
又因为(1)0h =，所以在(0,1)上，()0h x <；在(1,)+∞上，()0h x >，
所以在(0,1)上，()0,()g x g x '<单调递减；在(1,)+∞上，()0,()g x g x '>单调递增， 所以在(0,)+∞上，()(1)3g x g e ≥=-，所以3a e ≤-， 所以a 的最大值为3e -．
（1）解决“已知不等式恒成立或能成立求参数”问题常用方法之一是“分离参数法”，即将
参数k 与含有变量的式子分离，转化成()k h x <或()k h x >的形式，利用“()k h x <恒成立
()min k h x ⇔<，()k h x >恒成立()max k h x ⇔>，()k h x <能成立()max k h x ⇔<，()k h x >能成立()min k h x ⇔>”把不等式恒成立或能成立问题转化成利用导数求函数值问题． （2）在恒成立或能成立问题中，若参数无法分离，可以尝试带着参数对原函数求导，然后令导数得零，得出极值点，根据极值点与区间端点的大小对参数进行分类讨论，然后再从正面证明或者从反面找反例来说明每一类是否符合条件，最后取并集．
【例8】已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠． （1）当1a >时，求()f x 的单调区间；
（2）若对任意的[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≤-，求实数a 的取值范围（e 为自然对数的底数）．
【答案】（1）()f x 的单调减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1[,1)(1,]e e
．
【解析】（1）()ln 2ln (1)ln 2x x f x a a x a a a x '=+-=-+（x ∈R ）， 由于1a >，则ln 0a >，当0x >时，10x a ->，则()0f x '>； 当0x <时，10x a -<，则()0f x '<，
所以()f x 的单调减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞． （2）对任意的[]12,1,1x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-， 则12max ()()1f x f x e -≤-，即max min ()()1f x f x e -≤-， 当01a <<时，ln 0a <，当0x >时，10x a -<，则()0f x '>，
当0x <时，10x a ->，则()0f x '<，
所以此时()f x 的单调减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞，
结合第（1）问知，当0,1a a >≠时，()f x 的单调减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞， 所以min ()(0)1f x f ==，{}max ()max (1),(1)f x f f =-， 由1(1)1ln f a a
-=
++，(1)1ln f a a =+-，则1
(1)(1)2ln f f a a a --=--，
令1()2ln g x x x x =--，则2
22
12(1)()10x g x x x x -'=+-=≥， 所以()g x 在(0,)+∞上是增函数， 又(1)0g =，
故当1x >时，()0g x >；当01x <<时，()0g x <， 即当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-， ①当1a >时，max min ()()(1)(0)ln 1f x f x f f a a e -=-=-≤-， 令()ln (1)h x x x x =->，则()()h a h e ≤，
又11()10x h x x x
-'=-
=>，即()h x 在(1,)+∞上是增函数，所以1a e <≤； ②当01a <<时，有1(1)(0)ln 1f f a e a --=+≤-，则11ln 1e a a -≤-，即1
()()h h e a
≤，
所以
1e a
≤，即1
1a e ≤<，
综上可知，实数a 的取值范围是1
[,1)(1,]e e
．
【变式8．1】设a ∈R ，已知函数()()()6x f x e x x a +-=-，函数()ln 1
x
x g x e x x
=-
-．（注：e 为自然对数的底数）
（1）若5a =-，求函数()f x 的最小值；
（2）若对任意实数1x 和正数2x ，均有()()1248f x g x a +≥-，求a 的取值范围．
【答案】（1）29-；（2）3
5,e ⎡⎤-⎣⎦．
【解析】（1）当5a =-时，()21x
f x e x '=+-为增函数，且()00f '=，
所以()f x 在
,0递减，在0,递增，
所以()()min 01629f x f a ==+=-．
（2）因为()2ln 111ln ln x x x
x g x e e e x x x x ⎛⎫'=+
=- ⎪⎝⎭
， 由于函数2ln x
y x e x =+在0,
上单增，且1
2
10e g e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭
，()10g e '=>， 所以存在唯一的01,1x e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
使得()00g x '=，且()()0min g x g x =．
再令()ln u x x x =，()1ln u x x '=+，可知()u x 在1,
单增，
而由()00g x '=可知()
001x
u e u x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，01x e >，011x >，所以00
1x e x =．
于是()000001ln 11x x g x e x x ⎛⎫ ⎪
⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎝
⎭，所以()min 1g x =．
又()26x
f x e x a '=+--为增函数，当0a ≥时，()050f a '=--<，
当0a <时，2602a
a f e ⎛⎫
'=-< ⎪⎝⎭；
又当6a ≥时，2602a
a f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭
， 当6a <时，()3
30f e a '=->，所以对任意a ∈R ，存在唯一实数3x ， 使得()30f x '=，即3326x
a e x =+-，且()()3min f x f x =．
由题意，即使得()()min min 48f x g x a ≥+-，
也即()()
3333333626148248x x x
e x x e x e x +---++≥+--， 即()()
333310x
x e x -+-≤，
又由于()1x
v x e x =+-单调递增且()00v =，
所以3x 的值范围为[]0,3，代入3326x
a e x =+-求得a 的取值范围为35,e ⎡⎤-⎣⎦．
【例9】已知函数()1
ln a a x x
f x ++=
，(),0a a ∈≠R ． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设函数()()()()2
23,0g x x f x xf x a a '=--<，存在实数212,1,x x e ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式
()()122g x g x <成立，求a 的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）3,026a e ⎛⎫
∈
⎪-⎝⎭
． 【解析】（1）∵()()1
ln ,0a f x a x x x +=
+>，∴()()2
1ax a f x x -+'=， ①当0a >时，∵
10a a +>，∴10,a x a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()0f x '<，
∴()f x 单减，∴减区间是10,a a +⎛⎫
⎪⎝
⎭；
1,a x a +⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，∴()f x 单增，∴增区间是1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． ②当10a -<<时，∵
1
0a a
+<，∴()0f x '<，∴()f x 的减区间是()0,∞+． ③当1a =-时，∵()1
0f x x
'=-
<，∴()f x 的减区间是()0,∞+． ④当1a <-时，10,a x a +⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，∴()0f x '>，∴()f x 的增区间是10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭； 1,a x a +⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，∴()f x 的减区间是1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （2）()()()2ln 63,0g x ax ax x a a =--+<，
因为存在实数2
12,1,x x e ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()122g x g x <成立，
∴()()min max 2g x g x <，
()()1ln g x a x '=-，
∵0a <，[)1,x e ∈，()0g x '<，()g x 单减；(
2
,x e e ⎤∈⎦，()0g x '>，∴()g x 单增， ∴()()min 63g x g e ae a =--=，()()(){}
2
max max 1,63g x g g e a ==--．
∴212663ae a a --<--，∴3
26
a e >
-， ∵0a <，∴3,026a e ⎛⎫∈
⎪-⎝⎭
． 【变式9．1】已知函数()x f x xe =，()||g x a x e =-．
（1）若0x ≥，求证：当2a e =时，函数()||g x a x e =-与()x f x xe =的图象相切； （2）若1[2,1]x ∃∈-，对2[2,1]x ∀∈-，都有()()12f x g x ≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）(,]e -∞．
【解析】（1）证明：∵()x f x xe =，∴()(1)x x x f x e xe e x ='=++， 当0x ≥时，()2g x ax e ex e =-=-，
设点()
000,x
P x x e 为函数()f x 图象上的一点，
令()()000()12x
g x f x e x k e '=+==，
设()(1)x h x e x =+，∴()(2)0x h x e x '=+>，所以()h x 单调递增， 又(1)2h e =，∴01x =，
此时()0(1)f x f e ==，()0(1)g x g e ==， 即当2a e =时，结论成立，切点为()1,e ． （2）解：由已知得max max ()()f x g x ≥， ∵()x f x xe =，∴()(1)x x x f x e xe e x ='=++， 可知，当[2,1)x ∈--时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当[1,1]x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，
又∵22
(2)f e
-=-
；(1)f e =， ∴当[2,1]x ∈-时，max ()f x e =，
又∵当0a ≤时，||a x e e -≤-，∴max ()g x e =-， ∴max max ()()g x f x ≤，∴0a ≤①；
若0a >，当[2,1]x ∈-时，max ()(2)2g x g a e e a e -=-≤⇒≤=， 又∵0a >，∴0a e <≤②；
由①②可得a e ≤，∴a 的取值范围为(,]e -∞． 【例10】已知函数()ln 2f x a x x =-+，其中0a ≠． （1）求()f x 的单调区间；
（2）若对任意的[]11,x e ∈，总存在[]21,x e ∈，使得12()()4f x f x +=，求实数a 的值． 【答案】（1）见解析；（2）1e +． 【解析】（1）∵()1a a x
f x x x
-'=
-=，0x >， 当0a <时，对()0,x ∀∈+∞，()0f x '<， 所以()f x 的单调递减区间为()0,∞+． 当0a >时，令()0f x '=，得x a =，
∵()0,x a ∈时，()0f x '>；(),x a ∈+∞时，()0f x '<， 所以()f x 的单调递增区间为()0,a ，单调递减区间为(),a +∞．
综上所述，0a <时，()f x 的单调递减区间为()0,∞+；0a >时，()f x 的单调递增区间为
()0,a ，单调递减区间为(),a +∞．
（2）讨论：
①当1a ≤且0a ≠时，由（1）知，()f x 在[]1,e 上单调递减， 则()()max 11f x f ==，
因为对任意的[]11,x e ∈，总存在[]21,x e ∈，使得()()()122124f x f x f +≤=<， 所以对任意的[]11,x e ∈，不存在[]21,x e ∈，使得()()124f x f x +=；
②当1a e <<时，由（1）知，在[]1,a 上()f x 是增函数，在[],a e 上()f x 是减函数， 则()()max ln 2f x f a a a a ==-+， 因为对11x =，对[]21,x e ∀∈，
()()()()()1211ln 2ln 133f x f x f f a a a a a a +≤+=+-+=-+<， 所以对[]111,x e =∈，不存在[]21,x e ∈，使得()()124f x f x +=； ③当a e ≥时，令()()()4[1,]g x f x x e =-∈，
由（1）知，()f x 在[]1,e 是增函数，进而知()g x 是减函数， 所以()()min 11f x f ==，()()max 2f x f e a e ==-+，
()()()max 141g x g f ==-，()()()min 4g x g e f e ==-，
因为对任意的[]11,x e ∈，总存在[]21,x e ∈，使得()()124f x f x +=，
即()()12f x g x =，故有()()()()11f g e f e g ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，即()()()()14
14f f e f e f ⎧+≥⎪⎨+≤⎪⎩
，
所以()()134f f e a e +=-+=，解得1a e =+， 综上，a 的值为1e +．
【变式10．1】已知函数()()3
2
22f x x x m x =-+-+，22
3()x m g x x m
+=-，m ∈R ．
（1）当2m =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）求()g x 的单调区间；
（3）设0m <，若对于任意[]00,1x ∈，总存在[]10,1x ∈，使得()()10f x g x =成立，求m 的取值范围．
【答案】（1）1y x =+；（2）见解析；（3）[]2,1--．
【解析】（1）当2m =时，()322f x x x =-+，所以()2
32f x x x '=-，
所以()()12,11f f '==，
所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+．
（2）()22
3x m g x x m
+=-的定义域是{}|x x m ≠，()()()()2
3x m x m g x x m +-'=-， 令()0g x '=，得12,3x m x m =-=，
①当0m =时，()(),0g x x x =≠，所以函数()g x 的单调增区间是(,0),(0,)-∞+∞； ②当0m <时，()(),,x g x g x '变化如下：
所以函数()g x 的单调增区间是()(),3,,m m -∞-+∞，单调减区间是()()3,,,m m m m -； ③当0m >时，()(),,x g x g x '变化如下：
所以函数()g x 的单调增区间是()(),,3,m m -∞-+∞，单调减区间是()(),,,3m m m m -．
（3）因为()()3222f x x x m x =-+-+，所以()()2
322f x x x m '=-+-，
当0m <时，()412212200Δm m =--=-<，
所以()0f x '>在()0,1上恒成立，所以()f x 在()0,1上单调递增， 所以()f x 在[]0,1上的最小值是()02f =，最大值是()14f m =-，
即当[]0,1x ∈时，()f x 的取值范围为[]2,4m -，
由（2）知，当10m -<<时，01m <-<，()g x 在()0,m -上单调递减，在(),1m -上单调递增，
因为()22g m m -=-<，所以不合题意； 当1m ≤-时，1m ->，()g x 在[]0,1上单调递减，
所以()g x 在[]0,1上的最大值为()03g m =-，最小值为()2
1311m g m
+=-，
所以当[]0,1x ∈时，()g x 的取值范围为213,31m m m ⎡⎤
+-⎢⎥-⎣⎦
， “对于任意[]00,1x ∈，总存在[]10,1x ∈，使得()()10f x g x =成立”等价于
2
13,3[2,4]1m m m m ⎡⎤+-⊆-⎢⎥
-⎣⎦，即2
132134m m m m
⎧+≥⎪
-⎨⎪-≤-⎩
，解得21m -≤≤-， 所以m 的取值范围为[]2,1--．
不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈
（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．
一、解答题．
1．已知函数()()2
ln 21f x x ax a x =+-+，（0a ≥）．
（1）当0a =时，求函数()f x 的极值；
（2）函数()f x 在区间()1,+∞上存在最小值，记为()g a ，求证：()1
24g a a
<-． 【答案】（1）极大值为1-，无极小值；（2）证明见解析． 【解析】（1）当0a =时，()ln f x x x =-，0x >，则()1
1f x x
'=-， 当()0,1x ∈，()0f x '>；当[)1,x ∈+∞，所以()0f x '≤． 所以当1x =时，()f x 取得极大值为()11f =-，无极小值．
（2）由题可知()()()()()222112111
221ax a x ax x f x ax a x x x
-++--'=+-+==
． ①当0a =时，由（1）知，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递减，所以函数()f x 无最小值，此时不符合题意； ②当1
2
a ≥时，因为()1,x ∈+∞，所以210ax ->，此时函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，
所以函数()f x 无最小值，此时亦不符合题意； ③当102a <<
时，此时1
12a
<， 函数()f x 在区间11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在区间1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
所以()min 111ln
1224f x f a a a ⎛⎫
==-- ⎪⎝⎭
，即()11ln 124g a a a =--， 要证()111ln 12244a a a g a =--<-，只需证当102a <<时，11
ln 1022a a
-+<成立， 设1
2t a
=
，()()ln 11h t t t t =-+>， 由（1）知()()10h t h <=，所以()1
24g a a
<
-． 2．已知函数()2
ln ()f x a x a x =-∈R ．
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）{}2．
【解析】（1）()()2220a x a f x x x x x
-=-=>'，
当0a ≤时，()0f x '>，
所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；
当0a >时，由()0f x '>，得x >
()0f x '<，得0x <≤，
所以函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；
当0a >时，函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减﹐在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． （2）由（1）可得：当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； 又()11f =，所以当01x <<时，()1f x <，不满足题意；
当0a >时，函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减﹐在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增；
所以()min ln 2222a a a a
f x f a ==-=-， 为使()1f x ≥恒成立，只需()min ln 1222
a a a
f x =-≥， 令2
a
t =
，()ln g t t t t =-，则只需()1g t ≥恒成立， 又()1ln 1ln g t t t '=--=-，
由()0g t '>，得01t <<；由()0g t '<，得1t >， 所以()g t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 则()()max 11g t g ==； 又()1g t ≥，所以只有1t =，即12
a
=，则2a =， 综上，a 的取值范围为{}2．
3．设3x =是函数23()()()x f x x ax b e x -=++∈R 的一个极值点． （1）求a 与b 之间的关系式，并求当2a =时，函数()f x 的单调区间；
（2）设0a >，2
25()()4
x
g x a e =+
．若存在12,[0,4]x x ∈使得12()()1f x g x -<成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）由23b a =--，()f x 在()3,3-上单调递增，在(),3-∞-和()3,+∞单调递减；
（2）3(0,)2
a ∈．
【解析】（1）
()()()
232x f x x a x b a e -=-+-+-'，
由题意知()30f '=，解得23b a =--．
当2a =，则7b =-，故令()()
2390x
f x x e -=-->'，得33x -<<，
于是()f x 在()3,3-上单调递增，在(),3-∞-和()3,+∞单调递减．
（2）由（1）得()()()
23233x
f x x a x a e -=-+---'，
令()0f x '>，得13a x --<<（0a >），
所以()f x 在()0,3上单调递增，在(]3,4单调递减，
于是()()max 36f x f a ==+，()()(){}()3
min min 0,423f x f f a e ==-+；
另一方面()g x 在[]0,4上单调递增，()2242525,44g x a a e ⎡⎤
⎛⎫∈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦．
根据题意，只要()225614a a ⎛⎫+-+< ⎪⎝
⎭，解得1322a -<<，所以30,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭．
4．已知函数()2
ln f x x ax x =+-，()3
ln 12
x
x g x x e =-++．
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）27,4e ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
． 【解析】（1）函数()2
ln f x x ax x =+-的定义域为()0,∞+，且
()212121ax x f x ax x x
-+=+='-．
①当0a =时，()1x
f x x
-'=
，若01x <<，则()0f x '>；若1x >，则()0f x '<， 此时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；
②当0a <时，180Δa =->，令()0f x '=
，可得14x a =
（舍）或14x a
=．
若104x a <<
，则()0f x '>
；若14x a
>，则()0f x '<， 此时，函数()f x
的单调递增区间为0⎛ ⎝⎭
，单调递减区间为+⎫
⎪∞⎪⎝⎭
； ③当0a >时，18Δa =-．
（i ）若180Δa =-≤，即当1
8
a ≥时，对任意的0x >，()0f x '≥，。