第三讲 温度场的有限元分析

传热基本原理
• 上述偏微分方程式是传热学理论中的最 基本公式，适合于包括铸造、焊接、热 处理过程在内的所有热传导问题的数学 描述，但在对具体热场进行求解时，除 了上述偏微分方程外，还要根据具体问 题给出导热体的初始条件与边界条件。
传热基本原理
对具体热场用上述微分方程进行求解时，需要根据具体问 题给出导热体的初始条件与边界条件。
• 初始条件： 初始条件是指物体开始导热时（即 t
= 0 时）的瞬时温度分布。
• 边界条件： 边界条件是指导热体表面与周围介质
间的热交换情况。
传热基本原理
• 常见的边界条件有以下三类： 第一类边界条件： 给定物体表面温度随时间的变 Tw f (t ) 化关系 第二类边界条件： 给出通过物体表面的比热流随 时间的变化关系 T q x , y , z , t
• 2、二维稳态热传导方程及边界条件

T T (k x ) (k y ) Q 0 在 内 x x y y 在 1上 在 2上 T (T a T ) n
T ( x, y , t ) T (1 , t ) k
平面稳态温度场的有限元法
• • • 1、泛函与变分 函数 y=f(x) 求y 的极值，即求微分，由dy=0 可得。 泛函J=J [y(x)] 函数y(x)为自变量，J为函数y的函数，称J为y的 泛函，求泛函的极值，即求变分， 由 J 0 可得。 • 例：平面上AB两点，连接AB的曲线很多，要求一条曲线使重物 靠自重由A沿此曲线滑到B所需的时间最短，即求最速下降曲线。 • 显然，AB间直线路径最短，但重物运动的速度增长并不是最大， 即下滑的时间并非最短。 A x n 设AB间有n条曲线 yi ( x) i 1, 2,... ， 每条曲线对应一个时间 Ti i 1, 2,...n ， 即T是y(x)函数，即泛函，求变分的极值 则可得最速下降曲线 p B v y
n
第三类边界条件： 给出物体周围介质温度以及物 体表面与周围介质的换热系数 T ＝ T w T f n


• 上述三类边界条件中，以第三类边界条件最为常 见。
传热基本原理
h,
h
温度场基本方程推导
• 一般三维问题，物体各点 的温度是坐标和时间变化 的，即
q q z z dz z
sk j
x
S S T (1 )Ti Tj SK SK
o
平面稳态温度场的有限元法
• B、单元温度刚度矩阵 • 从温度场插值函数可知，温度场已离散到全部节点上， 即求温度场实际是求节点的温度值。因而，泛函式实际 已成为描述未知节点温度的多元函数，而不是温度场 T(x,y)的函数，即问题转化为求多元函数的极值 • 设求解域有n个节点温度未知量，则泛函J[T(x,y)]转化 为 J [T1 , T2 ...Tn ] 的形式，极值条件为：
式中介质温度Ta, 换热系数a,固体导热系数k均为常数
2T 2T 0 2 2 x y T k (T a T ) n
在 内 在 1上
平面稳态温度场的有限元法
• 2、平面稳态温度场的泛函 具有内热源的平面稳态温度场
k T 2 k T 2 J [T ( x, y )] [ ( ) ( ) qT ]dxdy 2 x 2 y 1 2 T TaT )ds ( 2 1
求解域内部温度 场相应的泛函 求解域边界部分温 度场相应的泛函
平面稳态温度场的有限元法
• • 3、温度场单元分析 图示求解域离散为若干三角形单元， 含有边界的单元，称为边界单元，任 取一个单元i,j,k,如图。 A、温度插值函数
y
•
T ( x , y ) 1 2 x 3 y
e
• 传热基本原理 • 温度场基本方程推导 • 平面稳态温度场的有限元法 －－基于变分原理 （1）泛函与变分 （2）平面稳态温度场的泛函 （3）单元温度场分析 （4）整体温度场方程
传热基本原理
• 温度场方程
传热基本原理
• 不稳定温度场：温度场不仅在空间上变
化，并且也随时间变化的温度场：
T f x , y , z , t
• 类似，y，z方向的净热量：
qz dxdydzdt , dxdydzdt y z
q y
• • •
即传入微元体的净热量为： 由热传导定律：热流密度与温度 梯度成正比，而方向相反，即：
qx q y qz )dxdydzdt ( x y z
代入上式得传入微元体净热量为：
温度场基本方程推导
• 1、三维瞬态热传导方程及边界条件
c T T T T (kx ) (k y ) (kz ) Q 0 在内 t x x y y z z 在1上 在2上
若物体内无热源，则方 程退化为二维无热源稳 态热传导方程
T ( x, y, z, t ) T (1, t ) T k (Ta T ) n
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
c dxdydz T T T T dt [ (k x ) (k y ) (k z )]dxdydzdt Qdxdydzdt t x x y y z z
微元体温度升 高所需的热量
三个方向传入微 元体的净热量
微元体内热源 产生的热量
——物体密度 c ——比热，单位质量物体温度升高 一度所需的热量 k x ,k y , k z —— 热传导系数
位移函数的构造方法
• 广义坐标法 一维单元位移函数：
u( x) 0 1x 1x ...n x
2
n
i
简记为
为待定系数，也称为广义 坐标
u( x)
2
{1 x x
... x }
T
n
{0 1 2 ... n}
位移函数的构造方法
• 插值函数法 即将位移函数表示为各个节点位移与 已知插值基函数积的和。 如一维单元 u( x) N ( x)u N ( x)u
T ( x, y ) N T N iTi N jT j N k Tk
o k Tk y
x
1 (ai bi x ci y ) i,j,k轮换 Ni 2A
• 在边界线(如ij)上的任一点的温度T，可 用两个端点的节点温度线性插值表示：
sj
Ti
i s
si
T(x,y)
Tj
2T 2T 2 0 2 x y
T ( x, y ) f ( x, y )
平面稳态温度场的有限元法
• 2、平面稳态温度场的泛函 第二类边界条件平面稳态温度场
T 2 T 2 k J [T ( x, y )] [( ) ( ) ]dxdy qTds y 2 x 1

温度场基本方程推导
• 整理得：
c T T T T (k x ) (k y ) (k z ) Q 0 t x x y y z z
• 满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真 实的温度场，必须知道物体初始瞬态的温度分布， 即初始条件，称为第一类边界条件 T ( x, y, z, t )t 0 T ( x, y, z ) • 同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换 的规律，即边界条件，有三类边界条件。
qy
q y y
dy
qx dx x
T T ( x, y , z , t )
• 热平衡原理：任一dt时间 qx •Q dz 内，物体内任一微元体所 qy 积蓄的热量（即温度升高 z dy y 所需的热量）等于传入该 y dx qz x 微元体的热量与微元体内 热源所产生的热量之和。 • 微元温度 传入微元 微元内 即 • 升高 = 的 + 产生 • 所需热量 净热量 的热量
2T 2T k( 2 2 ) q 0 在内 x y T k (Ta T ) 在1上 n
平面稳态温度场的有限元法
• 2、平面稳态温度场的泛函 • 求满足平面温度场方程及边界条件的温度场T(x,y),设k 为常数 2 2
T T 0 x 2 y 2 T k (T a T ) n 在 内 在 1上
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 2、平面稳态温度场的泛函 第一类边界条件平面稳态温度场 T 2 T 2 k J [T ( x, y )] [( ) ( ) ]dxdy y 2 x 部分边界上的温度为已知 T ( x, y ) f ( x, y )
1 1 2
2
...
二维单元
Ni ( x)ui
1
n
注：Ni可为Lagrange、 Hamiton多项式或形函 数，在+1~-1间变化
u ( x, y ) N i ui
1
n
v( x, y ) N i vi
1
n
第三讲 温度场的有限元分析
参考： 《有限单元法在传热学中的应用》，孔祥谦 编著， 北京：科学出版社，第三版，1998.9 （TK124/7）
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什么是插值函数、形函数？ 什么是应变矩阵、应力矩阵？ 什么是单元刚度矩阵？ 什么是整体刚度矩阵？ 有限元基本步骤？
插值函数（或位移函数）
• 用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场） 的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理 量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理 量为位移，则该函数称为位移函数。 • 选择位移函数的一般原则： 1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移 （即单元内部是连续的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真 实解。 注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多 项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可 得到与真实解接近的近似解